El concepto de infinito constituye uno de los conceptos más oscuros en la filosofía teórica de Kant. Pero esta oscuridad, lejos de ser un motivo disuasorio ha impulsado siempre las investigaciones sobre el sentido y es­tructura de este concepto, así como del lugar sistemático que ocupa en la obra de Kant.2 Comenzaremos en la presente introducción acotando este lugar y delimitando con ello el ámbito preciso en el que se desarrolla nuestro estudio.

El concepto de infinito está presente a lo largo de toda la obra crítica de Kant y, de hecho, encontramos una de las indagaciones más profundas sobre esta noción en la tercera de las Críticas.3 Dentro de este mar­co sistemático máximamente amplio el presente trabajo está sujeto, no obstante, a una primera acotación, toda vez que circunscribe el estudio de este concepto a KrV. Pero esta restricción de carácter general no es la única que delimita nuestro campo de estudio. Pues el concepto de infinito se inscribe en KrV, como es sabido, en la teoría kantiana de las magnitudes o las cantidades y, por tanto, su familia semántica se expresa en nociones como magnitud infinita dada, magnitud continua, magnitud extensiva, magnitud inten­siva, quantum, quantitas, etc. En este contexto, nuestro trabajo está sujeto a una segunda acotación, pues pese a que incluya referencias a la noción de magnitud intensiva se mueve, ante todo, en el ámbito de las magnitudes extensivas. Su objetivo es, de hecho, mostrar el modo en que la síntesis de estas magnitudes se fundamenta en la noción trascendental de infinito, sirviéndose para ello de la distinción entre infinito poten­cial e infinito actual que Kant recupera de la tradición reintegrándola, en Über Kästners Abhandlungen, en su teoría trascendental del espacio y el tiempo. Una vez señaladas estas dos acotaciones previas añadiremos en este apartado introductorio ciertas precisiones sobre el problema inicial del que parte este trabajo y del enfoque que hemos adoptado para abordar la relación de fundamentación señalada.

El intérprete que aborda la teoría kantiana de las magnitudes se encuentra envuelto inicialmente en una cierta perplejidad que atañe al sentido mismo del concepto de magnitud y, más concretamente, al modo en que este concepto conduce por sí mismo a la noción trascendental de infinito. En el contexto de las magnitudes extensivas, una magnitud es una cantidad determinada o delimitada que, como tal, expresa siempre cuán grande es o cuánto mide un determinado objeto de experiencia. Ahora bien, cuán grande es un objeto de experiencia se determina en función de la extensión de tiempo y espacio que comporta su mensuración. De lo cual se desprende que toda determinación de una magnitud comporta la producción a priori de un espacio y un tiempo determinados como marco de referencia de la propia mensuración del obje­to. Esta determinación de un marco de espacio y tiempo es no obstante una de-limitación de los mismos, es decir, un procedimiento de síntesis o esquematismo que Kant define como una numeración, donde el enlace sucesivo de las partes hace posible y por tanto antecede necesariamente a la representación del todo. La cuestión, no obstante, es que esta producción sintética del espacio y el tiempo conduce a un problema cuya resolución requiere de la introducción de la noción de infinito. Pues ciertamente, toda de-terminación o de-limitación es negación por cuanto “deja algo fuera” y, en esta exclusión, circunscribe un “adentro”, acotando así un contenido que como tal constituye lo determinado o lo delimitado (en nuestro contexto, una determinada extensión de espacio y de tiempo). Ahora bien, si toda determinación es negación, entonces toda determinación presupone algo previamente dado sobre lo cual ejercerse. Si esto es así, entonces la noción de un espacio y un tiempo determinados (i.e., del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas) conduce al siguiente interrogante: ¿sobre qué se ejerce la delimitación del espacio y el tiempo como mag­nitudes extensivas?

Por las razones que aludirá este trabajo, la respuesta sólo puede ser esta: la delimitación del espacio y el tiempo se ejerce sobre el espacio y el tiempo. Esta respuesta puede ser paradójica, pero no por ello aporética, pues admite (e incluso exige) una distinción de sentidos que implica la introducción del concepto de infinito: la delimitación del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas se ejerce sobre el espacio y el tiempo considerados como magnitudes infinitas dadas.4 De este modo, la indagación del sentido de las magnitudes extensivas conduce a la noción de magnitud infinita dada como trasfondo sobre el cual se fundamenta su modo síntesis. Para comprender esta relación de fundamentación el presente estudio precisa la significación del espacio y el tiempo como magnitudes infinitas dadas en relación con lo que Kant denomina, en el marco de las antinomias matemáticas5, concepto trascendental de infinito. Precisamente para pensar el modo en que la magnitud extensiva se fundamenta en la magnitud infinita dada resulta es­pecialmente esclarecedora la distinción entre infinito potencial e infinito actual mencionada anteriormente. A la luz del análisis que desarrollamos sirviéndonos de estas nociones se muestra que toda determinación de una magnitud se fundamenta en esta noción trascendental de infinito (i.e., en el espacio y el tiempo como magnitudes infinitas dadas), y que la comprensión del modo en que se ejerce esta determinación requiere pensar un desdoblamiento de niveles o estratos en el concepto de magnitud. En razón de este requerimiento, para abordar la teoría de las magnitudes de Kant hemos adoptado un enfoque basado en una distinción de estratos o niveles de constitución6 aplicado, en este contexto, al espacio y al tiempo (por tanto: al concepto de magnitud) y, en última instancia, a la forma de la sensibilidad. La adopción de este enfoque permite articular las distinciones señaladas en una compleja relación de fundamentación y, de este modo, hace posible deshacer el carácter paradójico mencionado y disipar la oscuridad inicial que rodea la noción trascendental de infinito.

En principio, una magnitud es una cantidad que, como tal, dispone de una medida determinada y, por tanto, de una grandeza determinada que responde a la pregunta “¿cuán grande es?” o “¿cuánto mide?” un determinado objeto de experiencia. Así, por ejemplo, decimos de un libro que mide quince centímetros, y “quince centímetros” es su magnitud, es decir, su medida, grandeza, o cantidad determinada (si se prefiere: su “cuán grande es” o “cuánto mide”). Evidentemente, en la determinación de la magnitud así entendida entran en juego las categorías de la cantidad (unidad, pluralidad y totalidad), mas lo relevante para nuestros propósitos es precisar el procedimiento de síntesis que las articula.

Para determinar la magnitud del libro hemos agregado, una a una, la pluralidad de partes del libro de acuerdo con una unidad de medida (en este caso, el centímetro), de tal modo que cuando llegamos al final de su mensuración apreciamos que el libro mide, en su totalidad, quince centímetros. Así pues, como ha seña­lado Sutherland, la determinación de una magnitud «requiere de una mensuración, es decir, una especifica­ción de una unidad de medida y de un número que especifique cuántas unidades, tomadas en su totalidad, constituyen o equivalen a lo que se mide» (Sutherland 2022, 79, traducción nuestra). La determinación de una magnitud consiste por tanto en especificar, de acuerdo con una unidad de medida, cuántas unidades tomadas conjuntamente (esto es: com-puestas) expresan la grandeza total del objeto en cuestión (en nues­tro ejemplo: quince centímetros, que es lo que mide el libro). Precisamente por ello, la determinación de una magnitud es una numeración7 o, como Kant precisa, una «síntesis de agregación» (KrV, A 162/B 201, nota a pie de página) que se mueve en una determinada anterioridad, toda vez que «la representación de las partes hace posible la representación del todo (y, por consiguiente, precede necesariamente a ésta)» (KrV, A 162/B 203, el subrayado es nuestro). Toda magnitud así considerada es por tanto susceptible de acrecentarse a medida que se le agregan unidades, y este acrecentarse es un extenderse en el espacio y el tiempo (o dicho de otro modo: un ocupar una extensión determinada de espacio y tiempo), razón por la cual Kant caracteriza estas magnitudes como extensivas (extensive Gröβe). Ya en este primer acercamiento se hace visible, por tanto, que el sentido de la magnitud o cantidad así considerada (esto es: del “cuán grande es” o del “ser más o menos grande”) radica sencillamente en el espacio y el tiempo determinados en los que ésta se extiende: que la mesa es más grande o mide más que el libro quiere decir sencillamente que tarda más tiempo en mensurarse y que, por tanto, ocupa también más espacio (y a la inversa). Como puede apreciarse, sin embar­go, se trata en este contexto de un espacio y un tiempo de-terminados o de-limitados, y esta constatación inicial puramente descriptiva es lo que nos conduce, a la postre, al concepto trascendental de infinito.

En la medida en que el espacio y el tiempo supuestos en toda determinación cuantitativa están determi­nados o delimitados, ocurre que se constituyen como una serie finita de instantes del tiempo y puntos del espacio. Se comprende, por tanto, que Kant sostenga que en toda numeración de una magnitud extensiva lo producido (erzeugen) es «el tiempo mismo» (KrV, A 143/B 182). Pues en efecto, que el espacio y el tiempo así considerados son producidos significa que son de-terminados o de-limitados a priori en su extensión, y esta determinación o delimitación se ejerce de forma sincrónica y coextensiva a la mensuración sucesi­va o numeración de las percepciones parciales del objeto en cuestión. De hecho, teniendo en cuenta que «percepción es conciencia empírica» (KrV, A 166/B 207), esta producción sincrónica es la razón que mueve a Kant a sostener que los fenómenos «no pueden ser aprehendidos, es decir, recogidos en la conciencia empírica, de otra manera que mediante la síntesis de lo múltiple, por la cual se generan las representaciones de un espacio o de un tiempo determinados» (KrV, A 162/B 203, el subrayado es nuestro). Así pues, la deter­minación a nivel material de la magnitud de un objeto de experiencia comporta a nivel formal la producción sincrónica de un espacio y tiempo determinados que constituyen el sentido mismo de su grandeza. Ahora bien, toda determinación es negación y, por tanto, presupone en última instancia algo previamente dado sobre lo cual ejercerse, de donde se desprende la siguiente cuestión: ¿sobre qué se ejerce la determina­ción del espacio y el tiempo? Si asumimos, con Kant, que «el espacio consiste solamente en espacios, y el tiempo, en tiempos» (KrV, A 169/B 211), entonces llegaremos a una formulación cuanto menos paradójica: la determinación o delimitación del espacio y el tiempo se ejerce sobre el espacio y el tiempo. La comprensión del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas aboca por tanto, a riesgo de desembocar en aporía, a una distinción de niveles o estratos de constitución del espacio y el tiempo como magnitudes.

A fin de deshacer esta paradoja hemos de precisar la siguiente distinción: la determinación o delimitación del espacio y el tiempo considerados como magnitudes extensivas se ejerce sobre el espacio y el tiempo comprendidos como magnitudes infinitas dadas (unendliche gegebene Gröβe). Gracias a esta distinción la paradoja recién señalada no pasa de presunta, pero para mostrar en qué sentido esto es así hemos de comenzar por precisar la significación del espacio y el tiempo como magnitudes infinitas dadas.

¿Qué quiere decir que el espacio y el tiempo son “magnitudes”, que son “infinitas” y que están “dadas”? En primer lugar, que el espacio y el tiempo son magnitudes in-finitas quiere decir que en sí mismos son in-determinados o i-limitados, en el sentido de que, a diferencia de una magnitud extensiva, no constan de pluralidad interna ni partes integrantes (Bestandteilen) que los constituyan. Mas para acceder a este concepto de indeterminación e infinitud hemos de preguntarnos en este contexto, como ha subrayado Heidegger, «qué relación guarda en general la totalidad con la parcialidad» (GA, 21, 303 –p. 241 de la edición castellana–), a diferencia del modo en que se expresa esta relación en el marco de las magnitudes extensivas.

Kant sostiene en la Estética Trascendental [ET] que «puede representarse sólo un único espacio», y que «cuando se habla de muchos espacios, se entiende por ellos sólo partes [Teilen] de uno y el mismo espacio único». Así pues, en este estrato de constitución de la magnitud hablamos de un único espacio, es decir, de una totalidad única con respecto a la cual todos los espacios construidos extensivamente son sólo partes. A diferencia de lo que ocurre en el caso de las magnitudes extensivas, por tanto, aquí las «partes tampoco pueden preceder al espacio único y omniabarcador» (KrV, A 25/B 40, el subrayado es nuestro). Antes bien, ocurre que toda síntesis de espacios presupone el espacio único sobre el que se ejerce, de donde se des­prende que en la magnitud infinita dada el todo es anterior8 a las partes construidas extensivamente en él. Esta anterioridad deja ver que dichas partes (Teilen) no son «partes integrantes [Bestandteilen] de las que se compondría [este espacio único], sino que solamente pueden ser pensadas en él» (KrV, A 25/B 40, el subrayado es nuestro, traducción de Caimi modificada). Puesto que la composición es el modo de síntesis que corresponde a la síntesis matemática de agregación, resulta que esta incomponibilidad muestra que el espacio, considerado como magnitud infinita dada, es anterior a la síntesis y dispone por tanto de una constitución pre-sintética. De lo cual se desprende otra importante característica que Kant subraya respecto del espacio uno y único, a saber: que «lo múltiple en él –[…]– se basa simplemente en limitaciones». Lo cual quiere decir que la pluralidad de espacios surge únicamente al ejercer sobre él una delimitación o determi­nación (o sea: una síntesis), pero en ausencia de esta delimitación o determinación sintética el espacio único «es esencialmente uno [wesentlich einig]» (KrV, A 25/B 40, el subrayado es nuestro, traducción de Caimi modificada). Rosefeldt ha señalado también con claridad esta doble presuposición: «nuestra representación del espacio infinito no resulta de una conciencia y combinación previas de todas sus partes finitas. Por el contrario, cualquier conciencia de regiones finitas del espacio presupone la representacion del espacio infinito, pues estas regiones solo pueden sernos dadas como limitaciones del espacio infinito» (Rosefeldt 2022, 3, traducción nuestra). En virtud de este carácter pre-sintético se hace visible que el espacio único no se compone de partes ni por tanto consta por sí mismo de ellas, sino que es unidad esencial, es decir, una unidad no obtenida por composición sintética. Lo mismo vale decir sobre el tiempo:

Este carácter pre-sintético muestra también, por tanto, la no-construibilidad sintética de la magnitud infinita, con lo cual hace visible, en segundo lugar, que ésta ha de ser necesariamente dada a la intuición como siendo ya una totalidad unida sobre la cual se ejerce la delimitación de espacios y tiempos. En este sentido, y de nuevo a diferencia de las magnitudes extensivas, esta peculiar unidad muestra que la estructura holística de la magnitud infinita se funda únicamente en la sensibilidad y, por tanto, no puede resultar de la actividad sintética y discursiva del entendimiento. Situándose a este respecto en una línea interpretativa no-conceptualista o no-intelectualista9, tanto Smyth (2014, p. 10) como Mclear (2015, p. 93) han subrayado este aspecto con claridad respecto del espacio y el tiempo. Así pues, en suma, la magnitud infinita es el trasfondo sobre el que se ejerce y en el cual se funda la síntesis de espacios y tiempos que lleva a cabo el entendimiento y es, por tanto, previa a esta última y estructuralmente autónoma respecto de ella. Es precisamente esta relación de fundamentación lo que deja ver, en tercer lugar, la significación del término “magnitud” en la expresión “magnitud infinita dada”.

La magnitud extensiva mienta, como hemos visto, una cantidad determinada o delimitada, para lo cual re­servamos la denominación de “quantitas”, pero puesto que la construcción de estas cantidades presupone la donación de la magnitud infinita como el trasfondo sobre el cual se ejerce, se sigue que en este estrato fundamental de constitución el término “magnitud” no se refiere a cantidad determinada alguna (esto es: al ser “así o asá” de grande), sino al ser de la cantidad en general, esto es: al horizonte previamente dado sobre el cual se funda la construcción de toda cantidad determinada. Para esta significación fundamental del tér­mino “magnitud” reservamos la denominación de “quantum”, y en esta medida sostenemos que la magnitud infinita es el quantum previamente dado sobre el que se fundamenta la construcción de toda quantitas de espacios y tiempos (i.e., del espacio y el tiempo considerados como magnitudes extensivas).10 Conclusión esta inicialmente problemática, pero sin duda exigida en la comprensión kantiana de la construcción del concepto de magnitud, como se aprecia de forma especialmente clara en Über Kästners Abhandlungen:

En geometría se trata, por tanto, de “describir” un espacio, pero puesto que «la descripción, que ocurre a priori a través de la imaginación según una regla (…) se llama construcción» (AA 20: 411 –p. 262 de la traducción castellana–), se sigue que dicho espacio se construye en el espacio “considerado como dado antes de toda determinación”, espacio este del cual aquel, como mero recorte, deriva su posibilidad (es en este sentido “derivado”), y que “es originario y sólo un espacio (unido)”. Por consiguiente, es verdad que en la geometría hay “(muchos) espacios”, pero respecto de esta pluralidad espacial “el geómetra, sin embargo, concordando con el metafísico, debe admitir, de acuerdo con la única representación fundamental del espacio, que sólo pueden ser pensados como partes”, que no partes integrantes, “del espacio único y originario” de toda construcción. Esta relación entre las partes (es decir, los espacios y tiempos generados extensivamente) y el todo (a saber: el espacio y el tiempo considerados como magnitudes infinitas dadas) plantea no obstante un interrogante cuya respuesta requiere la introducción del concepto trascendental de infinito. Pues en efecto, si todos los espacios y tiempos construidos extensivamente no son partes integrantes (Bestandteilen), sino partes (Teilen) del espacio y el tiempo dados como magnitudes infinitas, entonces, ¿qué relación guarda aquí el todo con sus partes? Tal y como Kant plantea las cosas, la relación del todo con las partes no puede asentarse aquí en una diferencia cuantitativa o de grado, como ocurre en las magnitudes extensivas resultantes de la composición, con lo cual sólo queda suponer una diferencia cualitativa o de naturaleza entre el todo infinito y las partes finitas “en” él construidas. Como decimos, no obstante, esta diferencia difícilmente puede ser esclarecida sin introducir el concepto trascendental de infinito que Kant enuncia en la Primera Antinomia [PA] y que, como veremos a continuación, es el mismo que se encuentra operativo ya en la ET.

En el contexto de la PA Kant formula el concepto trascendental de infinito por contraposición a otro concepto de la infinitud operativo en la metafísica anterior, y que contempla como «un concepto erróneo [fehlerhaften] de la infinitud de una magnitud dada» (KrV, A 431/B 459, traducción de Caimi modificada). El carácter erróneo de este concepto se debe a que el mismo resulta internamente contradictorio, pues bajo la rúbrica “magnitud infinita dada” se intenta conjugar un determinado concepto de infinito con el significado de la magnitud considerada como quantitas o magnitud extensiva. Comenzaremos precisando, por tanto, en qué consiste este defectuoso concepto de la infinitud y por qué resulta lógicamente incompatible con la magnitud extensiva.

Kant formula este “erróneo concepto” de infinito del siguiente modo: «infinita es una magnitud tal, que no es posible otra más grande que ella» (KrV, A 431/B 459, subrayado nuestro, traducción de Caimi modificada). Esta significación de la magnitud infinita alumbra lo que Kant denomina un «máximum» (KrV, A 431/B 459) de cantidad, es decir: una “cantidad máxima”, donde “cantidad” significa un «cuán grande es» (KrV, A 431/B 459) y, por tanto, una cantidad determinada (una quantitas). Precisamente este concepto de “cantidad máxima” encierra la contradicción señalada, pues una cantidad máxima es la más grande en sentido superlativo y, por tanto, impone un límite absoluto más allá del cual no es posible seguir agregando unidades, lo cual es lógicamente incompatible con su carácter de cantidad, toda vez que, como señala Kant, «ninguna cantidad es la más grande, ya que siempre pueden añadírsele una o más unidades» (KrV, A 431/B 459, subrayado nuestro, traducción de Caimi modificada). Así pues, haciendo uso de este concepto estaríamos afirmando un límite absoluto más allá del cual no es posible seguir agregando unidades (es decir, un maximum) y, a la vez, una cantidad a la que, como tal cantidad (quantitas), siempre se le pueden agregar más unidades. La conclusión a este respecto se precipita por sí misma: si empleamos este concepto entonces «una magnitud infinita dada es imposible» (KrV, A 432/B 460, traducción de Caimi modificada): imposible en sentido lógico, es decir, internamente contradictoria. En esta significación el todo infinito es más grande que las totalidades finitas numeradas en la síntesis de agregación, pero este excedente, este “más” mienta en este nivel, como anunciábamos, una diferencia meramente cuantitativa o de grado y representa algo así como el número más grande (concepto internamente contradictorio por las razones aludidas). Sin embargo, este no es el único modo posible de pensar la infinitud y, de hecho, Kant sostiene que el maximum de quantitas «no concuerda con lo que se entiende por un todo infinito» (KrV, A 431/B 459). Pero entonces: ¿qué se entiende por un “todo infinito”?

La relación entre el todo infinito (es decir: la magnitud infinita dada) y los espacios y tiempos construidos extensivamente en él ha de asentarse en una diferencia cualitativa o de naturaleza y, sin embargo, esta diferencia ha de ser pensada en el marco de una relación de fundamentación de éstos en aquel. Pues bien, no sólo ocurre que es posible pensar una relación de fundamentación cimentada en una diferencia cuali­tativa sino que, de hecho, este carácter cualitativo viene exigido a fin de fundamentar el carácter indefinido esencial a la construcción sintética de las magnitudes extensivas. Pues como hemos visto, a toda quantitas pueden agregársele siempre más unidades por muy grande que sea ya y, por tanto, la síntesis matemática de agregación puede llevarse tan lejos como se quiera en un «progressus in indefinitum» (KrV, A 511/B 539). Este carácter indefinido de la serie construida numéricamente no se funda sin embargo en la propia síntesis matemática, sino en que por muy lejos que esta vaya siempre quedan más allá de ella un espacio y un tiempo aún más grandes que, como tales, se mantienen irreductibles a la construcción. La relación de fundamenta- ción del progreso indefinido de la síntesis matemática de espacios y tiempos en el espacio y el tiempo como magnitudes infinitas dadas es por tanto una relación de irreductibilidad de éstos a aquellos. Esta relación de irreductibilidad exige en efecto una diferencia de naturaleza o, como ha sostenido Heidegger, una «diferencia esencial» (GA, 25, 138, traducción nuestra)11 en la que sostenerse. Semejante diferencia se expresa en que el todo infinito es siempre más grande o es siempre mayor que toda construcción numérica de una quantitas realizada en él. En efecto, sostiene Kant, por “todo infinito” entendemos precisamente esta relación, a saber: la «relación [del todo infinito] con una unidad arbitrariamente adoptada, con respecto a la cual él es siempre más grande que cualquier número» (KrV, A 432/B 460, subrayado nuestro, traducción de Caimi modificada). Así pues, ha de distinguirse cuidadosamente: no es lo mismo ser el número más grande que ser más grande que cualquier número.12 Mediante lo primero, se invoca la errónea infinitud propia del maximum de cantidad, pero mediante lo segundo se apela al concepto trascendental de infinito como condición posibilitante del progressus in indefinitum de la síntesis matemática. Desde esta caracterización podemos perfilar mejor la relación de fundamentación ya esclarecida.

Son al menos dos los matices que se aprecian en el modo en que este concepto trascendental de infi­nito, presente en la caracterización de la magnitud infinita dada, fundamenta la construcción extensiva de espacios y tiempos. Por una parte, ser más grande que cualquier magnitud extensiva de espacio y tiempo posibilita justamente el carácter indefinido de la síntesis matemática pero, por lo mismo, hace que ésta sea esencialmente incompleta por cuanto nunca puede llegar a mensurar el todo infinito (i.e., la magnitud infinita dada). En este sentido sostiene Kant que «el concepto verdadero (trascendental) de la infinitud es: que la síntesis sucesiva de la unidad en la medición de un quantum [en el sentido de la quantitas] nunca puede estar acabada» (KrV, A 433/B 461) o ser completa, a diferencia de lo que ocurre en el terreno de la magnitud extensiva, donde las totalidades finitas son enteramente reductibles a la suma de sus partes y pueden, por ello, ser mensuradas en su completitud. Como ha subrayado Chaplin, por tanto, esta definición de infinito «prohíbe la posibilidad de representar una multiplicidad infinita a través de un modo sucesivo de represen­tación y el fenómeno conexo de representar una sucesión infinita completa como tal» (Chaplin 2024, p. 375, traducción nuestra). Por otra parte, y precisamente debido a este carácter esencialmente incompleto, resulta claro que los espacios y tiempos construidos extensivamente sólo pueden ser considerados partes (Teilen) del espacio y tiempo únicos (i.e., de la magnitud infinita dada). Lo cual constituye otra forma de caracterizar la infinitud trascendental, como Kant subraya en Über Kästners Abhandlungen respecto del espacio: «un espacio, en relación con el cual un espacio determinado cualquiera (…) solo puede ser una parte, un espacio semejante (…) es más grande que cualquiera que yo pueda describir, y esto significa que es infinito» (AA 20: p. 419 –p. 266 de la traducción castellana, nota a pie de página–). Nótese, sin embargo, que el concepto trascendental de infinito no dispone de un sentido objetivo por cuanto no mienta una cantidad determinada (es decir, una quantitas) de espacio y tiempo, sino que delinea una totalidad o un todo «unido, infinito y sub­jetivamente dado» (AA 20: 419-420 –p. 267 de la traducción castellana–). Semejante carácter subjetivo no se traduce, como es evidente, en un subjetivismo empírico, sino que subraya, como han visto con claridad tanto Smyth (2021, p. 7) como Winegar (2022, p. 643), la idealidad trascendnetal de la magnitud infinita, a saber: el hecho de que está dada no al margen de la sensibilidad del sujeto, como una cosa en sí (lo cual haría imposible evitar la dialéctica cosmológica)13, sino precisamente en la forma de ésta. No se trata, por tanto, de una totalidad ya dada en sentido objetivo, sino más bien de un horizonte14 que se perfila negativamente, en su sustraerse a la propia determinación cuantitativa de la síntesis matemática posibilitándola así (en esta suerte de retracción e irreductibilidad) en su carácter indefinido e incompleto.

De este modo, y no sin incurrir en otra formulación aparentemente paradójica, la argumentación nos ha conducido a un infinito (la posible prolongación indefinida de la síntesis matemática de espacios y tiempos como magnitudes extensivas) que se funda en otro infinito (el espacio y tiempo únicos que son siempre más grandes que la posible prolongación de la síntesis matemática de agregación, y que por ello posibilitan el carácter indefinido de la misma). Es precisamente en este punto donde resulta especialmente esclarecedo- ra la distinción entre infinito actual e infinito potencial que Kant reformula en Über Kästners Abhandlungen.

Las siguientes palabras de Kant en Über Kästners Abhandlungen resultan especialmente claras respecto del modo en que el progressus in indefinitum de la síntesis matemática de las magnitudes extensivas se fundamenta en el concepto trascendental de infinito (i.e., en la magnitud infinita dada):

Si ahora el geómetra dice que una línea recta, tan lejos como ya haya sido trazada, puede siempre ser extendida un poco más: esto no significa lo que se dice del número en la aritmética, [a saber], que siempre se lo puede aumentar sin fin a través del agregado de otras unidades o números –[…]–, sino que –[…]– significa tanto como que el espacio, en el cual yo describo la línea, es más grande que cualquier línea que yo pueda trazar en él; y así el geómetra funda expresamente la posibilidad de su tarea –agrandar al infinito un espacio (del cual hay muchos)– sobre la representación originaria de un espacio unido, infinito y subjetivamente dado (AA 20: 419-420 –p. 267 de la traducción castellana–).

Sin duda “una línea recta, tan lejos como ya haya sido trazada, puede siempre ser extendida un poco más”, pero el fundamento del carácter indefinido de esta extensión no radica en la propia construcción y “no significa lo que se dice del número en la aritmética, [a saber], que siempre se lo puede aumentar sin fin a través del agregado de otras unidades o números”. Antes bien, como señalábamos, el carácter indefinido del trazado de la línea en la síntesis matemática se funda en que el espacio en el que ésta se traza es infinito en sentido trascendental, esto es: se funda en que “el espacio en el cual yo describo la línea es más grande que cualquier línea que yo pueda trazar en él”. Esta infinitud trascendental descansa en una peculiaridad exclusiva de la forma de la sensibilidad y que no pertenece al entendimiento, pues como señala Kant, «la representación del espacio (y aun la del tiempo) tiene en sí esto de característico, que no se encuentra en ningún otro concepto: que todos los espacios solo son posibles y pensables como partes de uno único» (AA 20: 419 –p. 266 de la traducción castellana, nota a pie de página–). Como puede apreciarse, por tanto, Kant mantiene en este escrito la distinción y articulación de los estratos de constitución de la magnitud (i.e., del espacio y el tiempo) que hemos descrito, pero además los esclarece introduciendo respectivamente la distinción entre infinito potencial e infinito actual. Pues en efecto, en Über Kästners Abhandlungen el carácter indefinido de la construcción matemática aparece descrito como un infinito potencial fundado, a su vez, en el infinito actual propio de la magnitud infinita dada:

Que se pueda trazar una línea al infinito o que se puedan separar planos tanto como se quiera, este infinito potencial, que el matemático necesariamente tiene como fundamento de sus determinaciones del espacio, presupone una infinitud actual (mas solo metafísica) y efectivamente real, y sólo es posible bajo esta presuposición (AA 20: p. 419 –p. 266 de la traducción castellana, nota a pie de página–).

Podrá invocarse por tanto el progressus in indefinitum para dar razón del hecho de que “se pueda trazar una línea al infinito tanto como se quiera”, pero habrá de tenerse presente que esta libertad de la construcción matemática es sencillamente un “infinito potencial, que el matemático necesariamente tiene como fundamento de sus determinaciones del espacio”. La potencialidad infinita de la construcción radica sencillamente, por decirlo al modo de Kant en El principio regulador de la razón pura respecto de las ideas cosmológicas, en que siempre es posible llevar la construcción más lejos, tan lejos como se quiera, mediante un «progreso indefinidamente prolongado (progressus in indefinitum)» (KrV, A 511/B 539). O dicho de otro modo: la potencialidad consiste en la posibilidad, siempre presente en la síntesis matemática, de agrandar indefinidamente un espacio y tiempo determinados, por muy grandes que estos sean ya. Como bien han visto Onof y Schulting, por tanto, «lo que el pensamiento conceptual puede hacer» en este punto es «considerar el concepto de un infinito potencial definido por la noción de progressus in indefinitum» (Onof & Schulting 2015, p. 38, traducción nuestra). Conforme a lo antedicho, no obstante, este infinito potencial propio de la construcción matemática arraiga en que el espacio y el tiempo únicos en los cuales ésta se realiza son siempre más grandes que (y por tanto irreductibles a) cualquiera que pueda sintetizarse. De donde se desprende que este infinito potencial presupone una infinitud trascendental ya dada o, como dice Kant en el fragmento citado, “presupone una infinitud actual (…) y sólo es posible bajo esta presuposición”, a saber: la infinitud actual propia de la magnitud infinita dada.15 La comprensión kantiana de este infinito actual habrá de ser comprensible, por tanto, en el marco de la descripción que venimos haciendo de este concepto.

Que el espacio y el tiempo son un infinito actual quiere decir que en cuanto magnitudes infinitas están actualmente dadas como totalidad y unidad, es decir, siendo por sí mismos (sin intervención de la síntesis) una totalidad unida. La actualidad no consiste aquí, por tanto, en que la magnitud infinita se dé como una infinita cantidad de partes o porciones de espacio y tiempo ya constituidas. Lejos de ello, consiste en que el espacio y tiempo infinitos se dan como siendo ya, es decir, en acto, una totalidad y una unidad que no constan por sí mismas de pluralidad interna ni parte integrante alguna, pues no son sintetizables, sino que están pre-sintética y pre-objetivamente dadas como un horizonte indeterminado presto, sin embargo, para la determinación sintético-cuantitativa. Con lo cual se muestra el modo en que Kant integra la distinción entre infinito potencial e infinito actual en una suerte de teoría trascendental de los estratos de constitución del espacio y el tiempo (y, por ende, del concepto de magnitud) en relación respectiva con la matemática y la metafísica en que la misma se funda. Cabe aún, con todo, señalar ciertas precisiones a fin de comprender, por así decir, la otra cara del concepto de magnitud en relación con el concepto trascendental de infinito. Pues hasta ahora hemos hecho más hincapié, por así decir, en la representación del infinito en la esfera de “lo infinitamente grande”, mas el concepto de magnitud infinita dada también dispone de un rendimiento esencial en el ámbito de lo “infinitamente pequeño”. Mientras que el primer aspecto hace más hincapié en la descripción de un todo o totalidad siempre más grande que cualquier construcción, el segundo subraya el tipo de unidad que corresponde a dicha totalidad no componible, a saber: su continuidad, en virtud de la cual la magnitud infinita dada no es sólo más grande que cualquier espacio y tiempo construidos, sino también más pequeña que cualquier porción de espacio y tiempo que pueda obtenerse a raíz de su división. Puesto que un tratamiento completo del concepto de continuidad exige introducir la noción de magnitud intensiva y su modo de síntesis y, por tanto, excluye las posibilidades de este trabajo, nos limitaremos a enunciar el concepto de continuidad y a esbozar el matiz que añade a la argumentación desarrollada hasta aquí. El fragmento relevante a este respecto es célebre:

Puesto que no hay ninguna parte del espacio y el tiempo “que no esté comprendida entre límites (puntos e instantes)”, se sigue que toda división de una extensión de espacio y tiempo dará como resultado una extensión más pequeña, pero que jamás podrá ser la parte más pequeña o parte simple (es decir, aquella parte que ya no sería a su vez divisible). Esta ausencia de simplicidad es lo que define, afirma Kant, la continuidad de una magnitud: «la propiedad de las magnitudes, según la cual en ellas ninguna parte es la más pequeña, se llama la continuidad de ellas» (KrV, A 169/B 211, traducción de Caimi modificada). Puesto que no cabe afirmar la simplicidad de ninguna porción del espacio y el tiempo, resulta que toda delimitación o división de éstos dará como resultado una porción de espacio y tiempo a su vez divisible, de donde se desprende que espacio y tiempo son infinitamente divisibles. Así pues, si bien es verdad que no es lo mismo ser el número más grande que ser más grande que cualquier número, también es verdad que no es lo mismo ser la parte más pequeña que ser más pequeño que cualquier parte. Este último excedente cualitativo (ser más pequeño que cualquier parte) permite describir la continuidad como el tipo de unidad que resulta esencial al ser de la magnitud en general (i.e., al concepto trascendental de infinito). Pues del mismo modo que ocurría con el concepto de totalidad, el ser unidad o el estar unido no pertenece al continuo como resultado de una composición sintética, sino que resulta anterior a esta como el horizonte sobre el que la misma se ejerce. Teniendo presente este carácter pre-sintético del continuo Kant sostiene, en efecto, que los puntos del espacio y los instantes del tiempo no son otra cosa que límites Grenzen), es decir, «meros lugares [Stellen] de la limitación [Einschränkung] de ellos» (KrV, A 169/B 211, el subrayado es nuestro), que generan una determinada magnitud (quantitas) espacial y temporal. Mas con anterioridad a esta delimitación o división sintética el espacio y el tiempo son ilimitados o indeterminados, en suma: son infinitos, en el sentido trascendental precisado anteriormente. Justamente por ello Kant subraya de nuevo en este contexto la incomponibilidad sintética16 de ambos:

De este modo la magnitud infinita dada, tal y como ha sido caracterizada, se revela como fundamento tanto de lo “infinitamente grande” como de lo “infinitamente pequeño”. Precisamente por ello también en el caso de lo “infinitamente pequeño” resulta vinculante la distinción entre infinito potencial e infinito actual que Kant propone en Über Kästners Abhandlungen. En efecto, el infinito potencial consiste en este contexto en la posibilidad de llevar tan lejos como se quiera el procedimiento de división del espacio y el tiempo comprendido como un regressus in infinitum17, pero este infinito potencial se funda en el infinito actual propio del espacio y el tiempo como magnitudes continuas dadas, esto es: en que ambos están dados en su “estar ya o actualmente unidos” (si se prefiere: están dados como una unidad esencial, no sólo no compuesta sino también no dividida), lo cual hace posible su posterior división en porciones de espacio y tiempo cada vez más pequeñas. Puesto que por muy lejos que vaya el proceso de división éste siempre encontrará ante sí un espacio y tiempo aún más pequeños, en este contexto se aprecia también la irreductibilidad de la magnitud infinita a semejante regressus y, por tanto, se hace visible también su diferencia cualitativa con respecto a las porciones de espacio y tiempo generadas en éste. Por tanto, también el ámbito de lo infinitamente pequeño es contemplado en la teoría kantiana de las magnitudes y se integra en los niveles de constitución que hemos descrito, y que pasamos a exponer en las conclusiones a la luz de lo antedicho.

De la argumentación anterior podemos concluir que dar razón de la síntesis del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas supuestas en la determinación cuantitativa de todo objeto de la experiencia posible pasa por distinguir tres sustratos de constitución que expresamos a continuación siguiendo el orden de la fundamentación.

El primer estrato de constitución es el de la magnitud infinita dada, donde en términos generales “infini­to” quiere decir incomponible y, por tanto, no-sintetizable, de donde se desprende que la magnitud infinita es en sí misma indeterminada en el sentido de que no consta por sí misma de una pluralidad de partes previas que la compongan. A esta noción de infinitud le corresponde también el rasgo de la continuidad (y, por tanto, la magnitud infinita es también quantum continuum), pues en efecto la magnitud infinita es el horizonte ya unido sobre el cual se ejercen los límites y posiciones de de-limitan sintéticamente un espacio y un tiempo determinados (i.e., constituidos como magnitudes extensivas). De ello se desprenden dos rasgos que constituyen el anverso y el reverso de una misma estructura. Por una parte, en cuanto horizonte de la determinación cuantitativa, la magnitud infinita esta ya dada como una totalidad donde la representación del todo (esto es: del “todo infinito”) antecede a la representación de las partes (es decir: a los espacios y tiempos delimitados extensivamente en él). Por otra parte, habida cuenta de su incomponibilidad, esta totalidad se da como una totalidad ya unida y es, en este sentido, una unidad esencial, esto es: una unidad que le pertenece conforme a su propia esencia en virtud de su continuidad. Este carácter de “ya”, es decir, el hecho de que la magnitud infinita se presente como siendo por sí misma, en acto, totalidad y unidad es lo que hace que Kant la caracterice como un infinito actual dado en la forma de la sensibilidad del sujeto (y, en este sentido, “subjetiva” o “idealmente” dada). El hecho de que este infinito actual esté ya dado en la forma de la sensibilidad muestra también que la magnitud infinita es estructuralmente autónoma respecto de toda determinación intelectual. Ambos rasgos de la magnitud infinita delinean el concepto de una tota­lidad continua dada como indeterminada y presta, por ello mismo, para su determinación sintética. En este sentido, la magnitud infinita es el fundamento de la síntesis de toda magnitud extensiva porque constituye el horizonte infinito del cual la síntesis extrae las posibilidades tanto de acrecentarse in indefinitum en la agregación como de decrecer in infinitum en la división. Pues en efecto, al concepto trascendental de infinito le pertenece el ser más grande que cualquier número en la agregación y el ser más pequeño que cualquier parte en la división, posibilitando con ello el infinito potencial de éstas. Ambos rasgos constituyen el sentido del ser de la magnitud en general o, sencillamente, el sentido del ser de lo cuantitativo, esto es: el horizonte supuesto en la síntesis o construcción (y, por tanto, en la comprensión) de toda magnitud determinada. Este horizonte es lo que designa en Kant el término quantum a diferencia de la quantitas propia de la magnitud extensiva, de la cual podemos ahora concluir lo siguiente.

Las magnitudes determinadas (esto es: extensivas e intensivas) constituyen el segundo estrato de cons­titución de la magnitud, cuyo análisis nosotros hemos limitado a la noción de magnitud extensiva. Las mag­nitudes extensivas, comprendidas como quantitas, disponen de una anterioridad mereológica inversa al de la magnitud infinita en la cual se funda su síntesis, pues en ellas la representación de las partes hace posible la del todo y, por tanto, necesariamente la precede. El modo de construcción de estas magnitudes radica en una numeración que, a su vez, consiste en una síntesis progresiva de agregación de unidades con vistas a la constitución del todo. Puesto que las unidades agregadas son, en última instancia, puntos del espacio e instantes del tiempo, la síntesis de agregación acaba por constituir un marco finito o, si se prefiere: una de­terminada extensión de espacio y tiempo. Con lo cual el procedimiento de síntesis o esquematismo consiste aquí, a la postre, en una de-limitación de una porción de espacio y tiempo que constituye una parte (que no parte integrante: Teil a diferencia de Bestandteil) del espacio y tiempo únicos, es decir, de la magnitud infinita dada. El hecho de que toda magnitud extensiva tenga que comprenderse como una parte de la magnitud infinita se basa en el sentido de esta infinitud trascendental, a saber: en que el espacio y el tiempo en los que se realiza la síntesis matemática son siempre más grandes que los espacios y tiempos construidos en esta. Ello comporta que la síntesis matemática es esencialmente incompleta y que, por lo mismo, puede proseguir indefinidamente por muy lejos que haya llegado ya. Semejante progressus in indefinitum es un infinito potencial consistente en la posibilidad inherente a la síntesis de agregación de seguir agregando unidades (puntos del espacio e instantes del tiempo) por muy grande que sea ya la magnitud construida. Este infinito potencial, no obstante, se aplica también en la divisibilidad infinita de las magnitudes, a saber: en que por muy lejos que vaya el regressus in infinitum propio de la división de espacios y tiempos, siempre encontrará ante sí una porción de espacio y tiempo más pequeña (nunca, por tanto, la parte más pequeña o parte simple). Ambos sentidos del infinito potencial se fundan, pues, en la magnitud actualmente dada como infinita en el sentido trascendental que hemos descrito. Pese a que en este segundo estrato de constitución intervengan, a diferencia del primero, elementos intelectuales (a saber: las categorías de la cantidad) y se trate por tanto de un nivel intelectual-intuitivo puro mediado por los esquemas trascendentales (en este caso: el número), no intervienen todavía elementos empíricos, como sí ocurre en el tercero.

En este tercer nivel de constitución tiene lugar, en efecto, la síntesis empírica de las percepciones que, en este contexto, son contempladas como partes del objeto que se van agregando de acuerdo con una unidad de medida de cara a la determinación de la medida total del mismo. Esta síntesis empírica se ejecuta siempre de forma sincrónica a la producción de un espacio y tiempo determinados que constituyen el marco a priori por referencia al cual tiene lugar la determinación cuantitativa (i.e., la medición o mensuración) de los fenómenos. El ejemplo del que nos servimos al comienzo de nuestro trabajo permite ilustrar esta sincronía en concreto. Pues en efecto, la síntesis numérica de las percepciones que constituyen las partes de un libro comporta la producción a priori de una serie finita de instantes del tiempo y puntos del espacio que constituyen el sentido mismo de su determinada grandeza: que el libro es más grande que el lápiz con el que escribo quiere decir sencillamente que tardo más tiempo en medirlo y que, en consecuencia, ocupa también más espacio. O dicho de otro modo: que el libro es más grande que el lápiz que empuño quiere decir sencillamente que el marco temporal y espacial que requiere su mensuración (i.e., la determinación de su magnitud) es más grande (requiere de más instantes del tiempo y más puntos del espacio) que el de aquel. El hecho de que afirmemos una sincronía entre la mensuración que acontece en el plano material de las percepciones y la producción que tiene lugar en el plano formal del espacio y el tiempo (considerados como magnitudes extensivas) es algo, sin embargo, de lo que no podemos dar razón aquí de un modo exhaustivo. Ello requeriría, en efecto, de otro trabajo que mostrase que, en efecto, entre el segundo y el tercer estrato de constitución se produce una suerte de determinación bidireccional simétrica (y, por tanto, en cierto sentido hilemórfica) que cabe suponer desde que Kant afirma la referencia inmediata entre forma y materia ya al co­mienzo de la ET. Por otra parte, la teoría de las magnitudes presentada en este trabajo es todavía incompleta a falta de introducir en ella la noción de magnitud intensiva. A fin de completarla habría de mostrarse, en efecto, por qué el procedimiento de síntesis o esquema de las magnitudes intensivas exige la divisibilidad in infinitum del espacio y el tiempo y se funda también, por tanto, en la magnitud infinita dada tal y como ha sido descrita. Ambos frentes serán objeto, no obstante, de otros trabajos.