1. Introducción
El concepto de infinito constituye uno de los conceptos más oscuros
en la filosofía teórica de Kant. Pero esta oscuridad, lejos de ser un
motivo disuasorio ha impulsado siempre las investigaciones sobre el
sentido y estructura de este concepto, así como del lugar sistemático
que ocupa en la obra de Kant. Comenzaremos en la
presente introducción acotando este lugar y delimitando con ello el
ámbito preciso en el que se desarrolla nuestro estudio.
El concepto de infinito está presente a lo largo de toda la obra
crítica de Kant y, de hecho, encontramos una de las indagaciones más
profundas sobre esta noción en la tercera de las Críticas. Dentro de este marco sistemático
máximamente amplio el presente trabajo está sujeto, no obstante, a una
primera acotación, toda vez que circunscribe el estudio de este concepto
a KrV. Pero esta restricción de carácter general no es la única
que delimita nuestro campo de estudio. Pues el concepto de infinito se
inscribe en KrV, como es sabido, en la teoría kantiana de las
magnitudes o las cantidades y, por tanto, su familia semántica se
expresa en nociones como magnitud infinita dada, magnitud continua,
magnitud extensiva, magnitud intensiva, quantum,
quantitas, etc. En este contexto, nuestro trabajo está sujeto a
una segunda acotación, pues pese a que incluya referencias a la noción
de magnitud intensiva se mueve, ante todo, en el ámbito de las
magnitudes extensivas. Su objetivo es, de hecho, mostrar el modo en que
la síntesis de estas magnitudes se fundamenta en la noción trascendental
de infinito, sirviéndose para ello de la distinción entre infinito
potencial e infinito actual que Kant recupera de la tradición
reintegrándola, en Über Kästners Abhandlungen, en su teoría
trascendental del espacio y el tiempo. Una vez señaladas estas dos
acotaciones previas añadiremos en este apartado introductorio ciertas
precisiones sobre el problema inicial del que parte este trabajo y del
enfoque que hemos adoptado para abordar la relación de fundamentación
señalada.
El intérprete que aborda la teoría kantiana de las magnitudes se
encuentra envuelto inicialmente en una cierta perplejidad que atañe al
sentido mismo del concepto de magnitud y, más concretamente, al modo en
que este concepto conduce por sí mismo a la noción trascendental de
infinito. En el contexto de las magnitudes extensivas, una magnitud es
una cantidad determinada o delimitada que, como tal, expresa siempre
cuán grande es o cuánto mide un determinado objeto de experiencia. Ahora
bien, cuán grande es un objeto de experiencia se determina en función de
la extensión de tiempo y espacio que comporta su mensuración. De lo cual
se desprende que toda determinación de una magnitud comporta la
producción a priori de un espacio y un tiempo
determinados como marco de referencia de la propia mensuración
del objeto. Esta determinación de un marco de espacio y tiempo es no
obstante una de-limitación de los mismos, es decir, un
procedimiento de síntesis o esquematismo que Kant define como una
numeración, donde el enlace sucesivo de las partes hace posible y por
tanto antecede necesariamente a la representación del todo. La cuestión,
no obstante, es que esta producción sintética del espacio y el tiempo
conduce a un problema cuya resolución requiere de la introducción de la
noción de infinito. Pues ciertamente, toda de-terminación o
de-limitación es negación por cuanto “deja algo fuera” y, en esta
exclusión, circunscribe un “adentro”, acotando así un contenido que como
tal constituye lo determinado o lo delimitado (en nuestro contexto, una
determinada extensión de espacio y de tiempo). Ahora bien, si toda
determinación es negación, entonces toda determinación presupone algo
previamente dado sobre lo cual ejercerse. Si esto es así,
entonces la noción de un espacio y un tiempo determinados (i.e., del
espacio y el tiempo como magnitudes extensivas) conduce al siguiente
interrogante: ¿sobre qué se ejerce la delimitación del espacio y el
tiempo como magnitudes extensivas?
Por las razones que aludirá este trabajo, la respuesta sólo puede ser
esta: la delimitación del espacio y el tiempo se ejerce sobre el espacio
y el tiempo. Esta respuesta puede ser paradójica, pero no por
ello aporética, pues admite (e incluso exige) una distinción de sentidos
que implica la introducción del concepto de infinito: la delimitación
del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas se ejerce sobre el
espacio y el tiempo considerados como magnitudes infinitas dadas. De este modo, la indagación del
sentido de las magnitudes extensivas conduce a la noción de magnitud
infinita dada como trasfondo sobre el cual se fundamenta su modo
síntesis. Para comprender esta relación de fundamentación el presente
estudio precisa la significación del espacio y el tiempo como magnitudes
infinitas dadas en relación con lo que Kant denomina, en el marco de las
antinomias matemáticas, concepto trascendental de infinito.
Precisamente para pensar el modo en que la magnitud extensiva se
fundamenta en la magnitud infinita dada resulta especialmente
esclarecedora la distinción entre infinito potencial e infinito actual
mencionada anteriormente. A la luz del análisis que desarrollamos
sirviéndonos de estas nociones se muestra que toda determinación de una
magnitud se fundamenta en esta noción trascendental de infinito (i.e.,
en el espacio y el tiempo como magnitudes infinitas dadas), y que la
comprensión del modo en que se ejerce esta determinación requiere pensar
un desdoblamiento de niveles o estratos en el concepto de magnitud. En
razón de este requerimiento, para abordar la teoría de las magnitudes de
Kant hemos adoptado un enfoque basado en una distinción de estratos o
niveles de constitución aplicado, en este contexto, al
espacio y al tiempo (por tanto: al concepto de magnitud) y, en última
instancia, a la forma de la sensibilidad. La adopción de este enfoque
permite articular las distinciones señaladas en una compleja relación de
fundamentación y, de este modo, hace posible deshacer el carácter
paradójico mencionado y disipar la oscuridad inicial que rodea la noción
trascendental de infinito.
2.
El espacio y el tiempo como magnitudes extensivas: delimitación de la
problemática inicial
En principio, una magnitud es una cantidad que, como tal, dispone de
una medida determinada y, por tanto, de una grandeza
determinada que responde a la pregunta “¿cuán grande es?” o
“¿cuánto mide?” un determinado objeto de experiencia. Así, por ejemplo,
decimos de un libro que mide quince centímetros, y “quince centímetros”
es su magnitud, es decir, su medida, grandeza, o cantidad determinada
(si se prefiere: su “cuán grande es” o “cuánto mide”). Evidentemente, en
la determinación de la magnitud así entendida entran en juego las
categorías de la cantidad (unidad, pluralidad y totalidad), mas lo
relevante para nuestros propósitos es precisar el procedimiento de
síntesis que las articula.
Para determinar la magnitud del libro hemos agregado,
una a una, la pluralidad de partes del libro
de acuerdo con una unidad de medida (en este caso, el
centímetro), de tal modo que cuando llegamos al final de su mensuración
apreciamos que el libro mide, en su totalidad, quince
centímetros. Así pues, como ha señalado Sutherland, la determinación de
una magnitud «requiere de una mensuración, es decir, una especificación
de una unidad de medida y de un número que especifique cuántas unidades,
tomadas en su totalidad, constituyen o equivalen a lo que se mide»
(Sutherland 2022, 79, traducción nuestra). La determinación de una
magnitud consiste por tanto en especificar, de acuerdo con una unidad de
medida, cuántas unidades tomadas conjuntamente (esto es: com-puestas)
expresan la grandeza total del objeto en cuestión (en nuestro ejemplo:
quince centímetros, que es lo que mide el libro). Precisamente por ello,
la determinación de una magnitud es una numeración o, como Kant precisa, una «síntesis
de agregación» (KrV, A 162/B 201, nota a pie de página) que se
mueve en una determinada anterioridad, toda vez que «la representación
de las partes hace posible la representación del todo (y, por
consiguiente, precede necesariamente a ésta)» (KrV, A
162/B 203, el subrayado es nuestro). Toda magnitud así considerada es
por tanto susceptible de acrecentarse a medida que se le agregan
unidades, y este acrecentarse es un extenderse en el espacio y
el tiempo (o dicho de otro modo: un ocupar una extensión determinada de
espacio y tiempo), razón por la cual Kant caracteriza estas magnitudes
como extensivas (extensive Gröβe). Ya en este primer
acercamiento se hace visible, por tanto, que el sentido de la magnitud o
cantidad así considerada (esto es: del “cuán grande es” o del
“ser más o menos grande”) radica sencillamente en el
espacio y el tiempo determinados en los que ésta se extiende: que la
mesa es más grande o mide más que el libro quiere
decir sencillamente que tarda más tiempo en mensurarse y que,
por tanto, ocupa también más espacio (y a la inversa). Como
puede apreciarse, sin embargo, se trata en este contexto de un espacio y
un tiempo de-terminados o de-limitados, y esta constatación inicial
puramente descriptiva es lo que nos conduce, a la postre, al concepto
trascendental de infinito.
En la medida en que el espacio y el tiempo supuestos en toda
determinación cuantitativa están determinados o delimitados, ocurre que
se constituyen como una serie finita de instantes del tiempo y
puntos del espacio. Se comprende, por tanto, que Kant sostenga que en
toda numeración de una magnitud extensiva lo producido
(erzeugen) es «el tiempo mismo» (KrV, A 143/B 182).
Pues en efecto, que el espacio y el tiempo así considerados son
producidos significa que son de-terminados o de-limitados a
priori en su extensión, y esta determinación o delimitación se
ejerce de forma sincrónica y coextensiva a la mensuración sucesiva o
numeración de las percepciones parciales del objeto en cuestión. De
hecho, teniendo en cuenta que «percepción es conciencia empírica»
(KrV, A 166/B 207), esta producción sincrónica es la razón que
mueve a Kant a sostener que los fenómenos «no pueden ser aprehendidos,
es decir, recogidos en la conciencia empírica, de otra manera que
mediante la síntesis de lo múltiple, por la cual se generan las
representaciones de un espacio o de un tiempo determinados»
(KrV, A 162/B 203, el subrayado es nuestro). Así pues, la
determinación a nivel material de la magnitud de un objeto de
experiencia comporta a nivel formal la producción sincrónica de un
espacio y tiempo determinados que constituyen el sentido mismo
de su grandeza. Ahora bien, toda determinación es negación y, por tanto,
presupone en última instancia algo previamente dado sobre lo cual
ejercerse, de donde se desprende la siguiente cuestión: ¿sobre qué se
ejerce la determinación del espacio y el tiempo? Si asumimos, con Kant,
que «el espacio consiste solamente en espacios, y el tiempo, en tiempos»
(KrV, A 169/B 211), entonces llegaremos a una formulación
cuanto menos paradójica: la determinación o delimitación del
espacio y el tiempo se ejerce sobre el espacio y el tiempo. La
comprensión del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas aboca por
tanto, a riesgo de desembocar en aporía, a una distinción de niveles o
estratos de constitución del espacio y el tiempo como magnitudes.
A fin de deshacer esta paradoja hemos de precisar la siguiente
distinción: la determinación o delimitación del espacio y el tiempo
considerados como magnitudes extensivas se ejerce sobre el espacio y el
tiempo comprendidos como magnitudes infinitas dadas (unendliche
gegebene Gröβe). Gracias a esta distinción la paradoja recién
señalada no pasa de presunta, pero para mostrar en qué sentido esto es
así hemos de comenzar por precisar la significación del espacio y el
tiempo como magnitudes infinitas dadas.
3.
Caracterización preliminar del espacio y el tiempo como magnitudes
infinitas dadas
¿Qué quiere decir que el espacio y el tiempo son “magnitudes”, que
son “infinitas” y que están “dadas”? En primer lugar, que el espacio y
el tiempo son magnitudes in-finitas quiere decir que en sí mismos son
in-determinados o i-limitados, en el sentido de que, a
diferencia de una magnitud extensiva, no constan de pluralidad interna
ni partes integrantes (Bestandteilen) que los constituyan. Mas
para acceder a este concepto de indeterminación e infinitud hemos de
preguntarnos en este contexto, como ha subrayado Heidegger, «qué
relación guarda en general la totalidad con la parcialidad» (GA, 21, 303
–p. 241 de la edición castellana–), a diferencia del modo en que se
expresa esta relación en el marco de las magnitudes extensivas.
Kant sostiene en la Estética Trascendental [ET] que «puede
representarse sólo un único espacio», y que «cuando se habla de
muchos espacios, se entiende por ellos sólo partes [Teilen] de
uno y el mismo espacio único». Así pues, en este estrato de
constitución de la magnitud hablamos de un único espacio, es decir, de
una totalidad única con respecto a la cual todos los espacios
construidos extensivamente son sólo partes. A diferencia de lo que
ocurre en el caso de las magnitudes extensivas, por tanto, aquí las
«partes tampoco pueden preceder al espacio único y
omniabarcador» (KrV, A 25/B 40, el subrayado es nuestro). Antes
bien, ocurre que toda síntesis de espacios presupone el espacio único
sobre el que se ejerce, de donde se desprende que en la
magnitud infinita dada el todo es anterior a
las partes construidas extensivamente en él. Esta anterioridad
deja ver que dichas partes (Teilen) no son «partes integrantes
[Bestandteilen] de las que se compondría [este espacio
único], sino que solamente pueden ser pensadas en él»
(KrV, A 25/B 40, el subrayado es nuestro, traducción de Caimi
modificada). Puesto que la composición es el modo de síntesis que
corresponde a la síntesis matemática de agregación, resulta que esta
incomponibilidad muestra que el espacio, considerado como magnitud
infinita dada, es anterior a la síntesis y dispone por tanto de
una constitución pre-sintética. De lo cual se desprende otra
importante característica que Kant subraya respecto del espacio uno y
único, a saber: que «lo múltiple en él –[…]– se basa simplemente en
limitaciones». Lo cual quiere decir que la pluralidad de espacios surge
únicamente al ejercer sobre él una delimitación o determinación
(o sea: una síntesis), pero en ausencia de esta delimitación o
determinación sintética el espacio único «es esencialmente uno
[wesentlich einig]» (KrV, A 25/B 40, el subrayado es
nuestro, traducción de Caimi modificada). Rosefeldt ha señalado también
con claridad esta doble presuposición: «nuestra representación del
espacio infinito no resulta de una conciencia y combinación previas de
todas sus partes finitas. Por el contrario, cualquier conciencia de
regiones finitas del espacio presupone la representacion del espacio
infinito, pues estas regiones solo pueden sernos dadas como limitaciones
del espacio infinito» (Rosefeldt 2022, 3, traducción nuestra). En virtud
de este carácter pre-sintético se hace visible que el espacio único no
se compone de partes ni por tanto consta por sí mismo de ellas, sino que
es unidad esencial, es decir, una unidad no obtenida por
composición sintética. Lo mismo vale decir sobre el tiempo:
La infinitud del tiempo no significa […] sino que toda cantidad
determinada de tiempo es posible sólo mediante limitaciones de un tiempo
único que sirve de fundamento. Por eso, la representación originaria
tiempo debe ser dada como ilimitada (KrV, A 32/ B
48).
Este carácter pre-sintético muestra también, por tanto, la
no-construibilidad sintética de la magnitud infinita, con lo
cual hace visible, en segundo lugar, que ésta ha de ser necesariamente
dada a la intuición como siendo ya una totalidad unida
sobre la cual se ejerce la delimitación de espacios y tiempos. En este
sentido, y de nuevo a diferencia de las magnitudes extensivas, esta
peculiar unidad muestra que la estructura holística de la magnitud
infinita se funda únicamente en la sensibilidad y, por tanto, no puede
resultar de la actividad sintética y discursiva del entendimiento.
Situándose a este respecto en una línea interpretativa no-conceptualista
o no-intelectualista, tanto Smyth (2014, p. 10) como
Mclear (2015, p. 93) han subrayado este aspecto con claridad respecto
del espacio y el tiempo. Así pues, en suma, la magnitud infinita es el
trasfondo sobre el que se ejerce y en el cual se funda la síntesis de
espacios y tiempos que lleva a cabo el entendimiento y es, por tanto,
previa a esta última y estructuralmente autónoma respecto de ella. Es
precisamente esta relación de fundamentación lo que deja ver, en tercer
lugar, la significación del término “magnitud” en la expresión “magnitud
infinita dada”.
La magnitud extensiva mienta, como hemos visto, una cantidad
determinada o delimitada, para lo cual reservamos la
denominación de “quantitas”, pero puesto que la construcción de
estas cantidades presupone la donación de la magnitud infinita como el
trasfondo sobre el cual se ejerce, se sigue que en este estrato
fundamental de constitución el término “magnitud” no se refiere a
cantidad determinada alguna (esto es: al ser “así o asá” de grande),
sino al ser de la cantidad en general, esto es: al horizonte
previamente dado sobre el cual se funda la construcción de toda cantidad
determinada. Para esta significación fundamental del término “magnitud”
reservamos la denominación de “quantum”, y en esta medida
sostenemos que la magnitud infinita es el quantum previamente
dado sobre el que se fundamenta la construcción de toda
quantitas de espacios y tiempos (i.e., del espacio y el tiempo
considerados como magnitudes extensivas).
Conclusión esta inicialmente problemática, pero sin duda exigida en la
comprensión kantiana de la construcción del concepto de magnitud, como
se aprecia de forma especialmente clara en Über Kästners
Abhandlungen:
La metafísica debe mostrar cómo se podría tener una
representación a priori del espacio; la geometría, en cambio, enseña
cómo se podría describir uno, esto es, cómo se lo puede exhibir
en la representación a priori (no por medio del dibujo). En aquella, el
espacio es considerado como dado antes de toda determinación,
según un cierto concepto de objeto; en esta, se constituye un
espacio. En aquella, él es originario y sólo un espacio
(unido); en esta, es derivado y hay allí (muchos) espacios, con
respecto a los cuales, el geómetra, sin embargo, concordando con el
metafísico, debe admitir, de acuerdo con la única representación
fundamental del espacio, que sólo pueden ser pensados como partes del
espacio único y originario (AA 20: 419, p. 266 de la traducción
castellana).
En geometría se trata, por tanto, de “describir” un espacio, pero
puesto que «la descripción, que ocurre a priori a
través de la imaginación según una regla (…) se llama
construcción» (AA 20: 411 –p. 262 de la traducción
castellana–), se sigue que dicho espacio se construye en el
espacio “considerado como dado antes de toda determinación”,
espacio este del cual aquel, como mero recorte, deriva su posibilidad
(es en este sentido “derivado”), y que “es originario y sólo un
espacio (unido)”. Por consiguiente, es verdad que en la geometría hay
“(muchos) espacios”, pero respecto de esta pluralidad espacial “el
geómetra, sin embargo, concordando con el metafísico, debe admitir, de
acuerdo con la única representación fundamental del espacio, que sólo
pueden ser pensados como partes”, que no partes integrantes, “del
espacio único y originario” de toda construcción. Esta relación entre
las partes (es decir, los espacios y tiempos generados
extensivamente) y el todo (a saber: el espacio y el
tiempo considerados como magnitudes infinitas dadas) plantea no obstante
un interrogante cuya respuesta requiere la introducción del concepto
trascendental de infinito. Pues en efecto, si todos los espacios y
tiempos construidos extensivamente no son partes integrantes
(Bestandteilen), sino partes (Teilen) del espacio y el
tiempo dados como magnitudes infinitas, entonces, ¿qué relación
guarda aquí el todo con sus partes? Tal y como Kant plantea las cosas,
la relación del todo con las partes no puede asentarse aquí en una
diferencia cuantitativa o de grado, como ocurre en las
magnitudes extensivas resultantes de la composición, con lo cual sólo
queda suponer una diferencia cualitativa o de
naturaleza entre el todo infinito y las partes finitas “en” él
construidas. Como decimos, no obstante, esta diferencia difícilmente
puede ser esclarecida sin introducir el concepto trascendental de
infinito que Kant enuncia en la Primera Antinomia [PA] y que, como
veremos a continuación, es el mismo que se encuentra operativo ya en la
ET.
4.
El concepto trascendental de infinito: una alternativa al “erróneo
(fehlerhaften)” concepto de la infinitud
En el contexto de la PA Kant formula el concepto trascendental de
infinito por contraposición a otro concepto de la infinitud operativo en
la metafísica anterior, y que contempla como «un concepto erróneo
[fehlerhaften] de la infinitud de una magnitud dada»
(KrV, A 431/B 459, traducción de Caimi modificada). El carácter
erróneo de este concepto se debe a que el mismo resulta internamente
contradictorio, pues bajo la rúbrica “magnitud infinita dada” se intenta
conjugar un determinado concepto de infinito con el significado de la
magnitud considerada como quantitas o magnitud extensiva.
Comenzaremos precisando, por tanto, en qué consiste este defectuoso
concepto de la infinitud y por qué resulta lógicamente incompatible con
la magnitud extensiva.
Kant formula este “erróneo concepto” de infinito del siguiente modo:
«infinita es una magnitud tal, que no es posible otra más
grande que ella» (KrV, A 431/B 459, subrayado nuestro,
traducción de Caimi modificada). Esta significación de la magnitud
infinita alumbra lo que Kant denomina un «máximum» (KrV, A
431/B 459) de cantidad, es decir: una “cantidad máxima”, donde
“cantidad” significa un «cuán grande es» (KrV, A 431/B
459) y, por tanto, una cantidad determinada (una quantitas).
Precisamente este concepto de “cantidad máxima” encierra la
contradicción señalada, pues una cantidad máxima es la más
grande en sentido superlativo y, por tanto, impone un límite absoluto
más allá del cual no es posible seguir agregando unidades, lo cual es
lógicamente incompatible con su carácter de cantidad, toda vez
que, como señala Kant, «ninguna cantidad es la más grande, ya
que siempre pueden añadírsele una o más unidades»
(KrV, A 431/B 459, subrayado nuestro, traducción de Caimi
modificada). Así pues, haciendo uso de este concepto estaríamos
afirmando un límite absoluto más allá del cual no es posible seguir
agregando unidades (es decir, un maximum) y, a la
vez, una cantidad a la que, como tal cantidad (quantitas),
siempre se le pueden agregar más unidades. La conclusión a este
respecto se precipita por sí misma: si empleamos este concepto entonces
«una magnitud infinita dada es imposible» (KrV, A 432/B 460,
traducción de Caimi modificada): imposible en sentido lógico, es decir,
internamente contradictoria. En esta significación el todo infinito es
más grande que las totalidades finitas numeradas en la síntesis
de agregación, pero este excedente, este “más” mienta
en este nivel, como anunciábamos, una diferencia meramente cuantitativa
o de grado y representa algo así como el número más grande
(concepto internamente contradictorio por las razones aludidas). Sin
embargo, este no es el único modo posible de pensar la infinitud y, de
hecho, Kant sostiene que el maximum de quantitas «no
concuerda con lo que se entiende por un todo infinito» (KrV, A
431/B 459). Pero entonces: ¿qué se entiende por un “todo infinito”?
La relación entre el todo infinito (es decir: la magnitud infinita
dada) y los espacios y tiempos construidos extensivamente en él ha de
asentarse en una diferencia cualitativa o de naturaleza y, sin embargo,
esta diferencia ha de ser pensada en el marco de una relación de
fundamentación de éstos en aquel. Pues bien, no sólo ocurre que es
posible pensar una relación de fundamentación cimentada en una
diferencia cualitativa sino que, de hecho, este carácter cualitativo
viene exigido a fin de fundamentar el carácter indefinido esencial a la
construcción sintética de las magnitudes extensivas. Pues como hemos
visto, a toda quantitas pueden agregársele siempre más
unidades por muy grande que sea ya y, por tanto, la síntesis matemática
de agregación puede llevarse tan lejos como se quiera en un
«progressus in indefinitum» (KrV, A 511/B 539). Este
carácter indefinido de la serie construida numéricamente no se funda sin
embargo en la propia síntesis matemática, sino en que por muy lejos que
esta vaya siempre quedan más allá de ella un espacio y un
tiempo aún más grandes que, como tales, se mantienen
irreductibles a la construcción. La relación de fundamenta-
ción del progreso indefinido de la síntesis matemática de
espacios y tiempos en el espacio y el tiempo como magnitudes
infinitas dadas es por tanto una relación de irreductibilidad de éstos a
aquellos. Esta relación de irreductibilidad exige en efecto una
diferencia de naturaleza o, como ha sostenido Heidegger, una «diferencia
esencial» (GA, 25, 138, traducción nuestra)
en la que sostenerse. Semejante diferencia se expresa en que el todo
infinito es siempre más grande o es siempre mayor que toda construcción
numérica de una quantitas realizada en él. En efecto, sostiene
Kant, por “todo infinito” entendemos precisamente esta relación, a
saber: la «relación [del todo infinito] con una unidad
arbitrariamente adoptada, con respecto a la cual él es siempre más
grande que cualquier número» (KrV, A 432/B 460, subrayado
nuestro, traducción de Caimi modificada). Así pues, ha de distinguirse
cuidadosamente: no es lo mismo ser el número más grande que
ser más grande que cualquier número.
Mediante lo primero, se invoca la errónea infinitud propia del
maximum de cantidad, pero mediante lo segundo se apela al
concepto trascendental de infinito como condición posibilitante del
progressus in indefinitum de la síntesis matemática. Desde esta
caracterización podemos perfilar mejor la relación de fundamentación ya
esclarecida.
Son al menos dos los matices que se aprecian en el modo en que este
concepto trascendental de infinito, presente en la caracterización de la
magnitud infinita dada, fundamenta la construcción extensiva de
espacios y tiempos. Por una parte, ser más grande que cualquier magnitud
extensiva de espacio y tiempo posibilita justamente el carácter
indefinido de la síntesis matemática pero, por lo mismo, hace que ésta
sea esencialmente incompleta por cuanto nunca puede llegar a
mensurar el todo infinito (i.e., la magnitud infinita dada). En este
sentido sostiene Kant que «el concepto verdadero (trascendental) de la
infinitud es: que la síntesis sucesiva de la unidad en la medición de un
quantum [en el sentido de la quantitas] nunca puede
estar acabada» (KrV, A 433/B 461) o ser completa, a diferencia
de lo que ocurre en el terreno de la magnitud extensiva, donde las
totalidades finitas son enteramente reductibles a la suma de sus partes
y pueden, por ello, ser mensuradas en su completitud. Como ha subrayado
Chaplin, por tanto, esta definición de infinito «prohíbe la posibilidad
de representar una multiplicidad infinita a través de un modo sucesivo
de representación y el fenómeno conexo de representar una sucesión
infinita completa como tal» (Chaplin 2024, p. 375, traducción nuestra).
Por otra parte, y precisamente debido a este carácter esencialmente
incompleto, resulta claro que los espacios y tiempos construidos
extensivamente sólo pueden ser considerados partes (Teilen) del
espacio y tiempo únicos (i.e., de la magnitud infinita dada). Lo cual
constituye otra forma de caracterizar la infinitud trascendental, como
Kant subraya en Über Kästners Abhandlungen respecto del
espacio: «un espacio, en relación con el cual un espacio determinado
cualquiera (…) solo puede ser una parte, un espacio semejante
(…) es más grande que cualquiera que yo pueda describir, y esto
significa que es infinito» (AA 20: p. 419 –p. 266 de la traducción
castellana, nota a pie de página–). Nótese, sin embargo, que el concepto
trascendental de infinito no dispone de un sentido objetivo por
cuanto no mienta una cantidad determinada (es decir, una
quantitas) de espacio y tiempo, sino que delinea una totalidad
o un todo «unido, infinito y subjetivamente dado» (AA 20:
419-420 –p. 267 de la traducción castellana–). Semejante carácter
subjetivo no se traduce, como es evidente, en un subjetivismo empírico,
sino que subraya, como han visto con claridad tanto Smyth (2021, p. 7)
como Winegar (2022, p. 643), la idealidad trascendnetal de la magnitud
infinita, a saber: el hecho de que está dada no al margen de la
sensibilidad del sujeto, como una cosa en sí (lo cual haría
imposible evitar la dialéctica cosmológica),
sino precisamente en la forma de ésta. No se trata, por tanto,
de una totalidad ya dada en sentido objetivo, sino más bien de un
horizonte que se perfila negativamente, en su
sustraerse a la propia determinación cuantitativa de la síntesis
matemática posibilitándola así (en esta suerte de retracción e
irreductibilidad) en su carácter indefinido e incompleto.
De este modo, y no sin incurrir en otra formulación aparentemente
paradójica, la argumentación nos ha conducido a un infinito (la posible
prolongación indefinida de la síntesis matemática de espacios y tiempos
como magnitudes extensivas) que se funda en otro infinito (el espacio y
tiempo únicos que son siempre más grandes que la posible prolongación de
la síntesis matemática de agregación, y que por ello posibilitan el
carácter indefinido de la misma). Es precisamente en este punto donde
resulta especialmente esclarecedo- ra la distinción entre infinito
actual e infinito potencial que Kant reformula en Über Kästners
Abhandlungen.
5.
Lo indefinido se funda en lo infinito: infinito potencial e infinito
actual
Las siguientes palabras de Kant en Über Kästners
Abhandlungen resultan especialmente claras respecto del modo en que
el progressus in indefinitum de la síntesis matemática de las
magnitudes extensivas se fundamenta en el concepto trascendental de
infinito (i.e., en la magnitud infinita dada):
Si ahora el geómetra dice que una línea recta, tan lejos como ya haya
sido trazada, puede siempre ser extendida un poco más: esto no significa
lo que se dice del número en la aritmética, [a saber], que siempre se lo
puede aumentar sin fin a través del agregado de otras unidades o números
–[…]–, sino que –[…]– significa tanto como que el espacio,
en el cual yo describo la línea, es más grande que
cualquier línea que yo pueda trazar en él; y así el geómetra
funda expresamente la posibilidad de su tarea –agrandar al infinito un
espacio (del cual hay muchos)– sobre la representación originaria de un
espacio unido, infinito y subjetivamente dado (AA 20: 419-420
–p. 267 de la traducción castellana–).
Sin duda “una línea recta, tan lejos como ya haya sido trazada, puede
siempre ser extendida un poco más”, pero el fundamento del carácter
indefinido de esta extensión no radica en la propia construcción y “no
significa lo que se dice del número en la aritmética, [a saber], que
siempre se lo puede aumentar sin fin a través del agregado de otras
unidades o números”. Antes bien, como señalábamos, el carácter
indefinido del trazado de la línea en la síntesis matemática se funda en
que el espacio en el que ésta se traza es infinito en sentido
trascendental, esto es: se funda en que “el espacio en el cual
yo describo la línea es más grande que cualquier línea que yo
pueda trazar en él”. Esta infinitud trascendental descansa en una
peculiaridad exclusiva de la forma de la sensibilidad y que no pertenece
al entendimiento, pues como señala Kant, «la representación del espacio
(y aun la del tiempo) tiene en sí esto de
característico, que no se encuentra en ningún otro concepto:
que todos los espacios solo son posibles y pensables como
partes de uno único» (AA 20: 419 –p. 266 de la traducción
castellana, nota a pie de página–). Como puede apreciarse, por tanto,
Kant mantiene en este escrito la distinción y articulación de los
estratos de constitución de la magnitud (i.e., del espacio y el tiempo)
que hemos descrito, pero además los esclarece introduciendo
respectivamente la distinción entre infinito potencial e infinito
actual. Pues en efecto, en Über Kästners Abhandlungen el
carácter indefinido de la construcción matemática aparece descrito como
un infinito potencial fundado, a su vez, en el infinito actual propio de
la magnitud infinita dada:
Que se pueda trazar una línea al infinito o que se puedan separar
planos tanto como se quiera, este infinito potencial, que el
matemático necesariamente tiene como fundamento de sus determinaciones
del espacio, presupone una infinitud actual (mas solo
metafísica) y efectivamente real, y sólo es posible bajo esta
presuposición (AA 20: p. 419 –p. 266 de la traducción castellana, nota a
pie de página–).
Podrá invocarse por tanto el progressus in indefinitum para
dar razón del hecho de que “se pueda trazar una línea al infinito
tanto como se quiera”, pero habrá de tenerse presente que esta
libertad de la construcción matemática es sencillamente un “infinito
potencial, que el matemático necesariamente tiene como
fundamento de sus determinaciones del espacio”. La potencialidad
infinita de la construcción radica sencillamente, por decirlo al modo de
Kant en El principio regulador de la razón pura respecto de las
ideas cosmológicas, en que siempre es posible llevar la
construcción más lejos, tan lejos como se quiera, mediante un
«progreso indefinidamente prolongado (progressus in
indefinitum)» (KrV, A 511/B 539). O dicho de otro modo: la
potencialidad consiste en la posibilidad, siempre
presente en la síntesis matemática, de agrandar indefinidamente un
espacio y tiempo determinados, por muy grandes que estos sean ya. Como
bien han visto Onof y Schulting, por tanto, «lo que el pensamiento
conceptual puede hacer» en este punto es «considerar el concepto de un
infinito potencial definido por la noción de progressus in
indefinitum» (Onof & Schulting 2015, p. 38, traducción
nuestra). Conforme a lo antedicho, no obstante, este infinito potencial
propio de la construcción matemática arraiga en que el espacio y el
tiempo únicos en los cuales ésta se realiza son siempre más
grandes que (y por tanto irreductibles a) cualquiera que pueda
sintetizarse. De donde se desprende que este infinito potencial
presupone una infinitud trascendental ya dada o, como dice Kant en el
fragmento citado, “presupone una infinitud actual (…) y sólo es
posible bajo esta presuposición”, a saber: la infinitud actual propia de
la magnitud infinita dada. La comprensión
kantiana de este infinito actual habrá de ser comprensible, por tanto,
en el marco de la descripción que venimos haciendo de este concepto.
Que el espacio y el tiempo son un infinito actual quiere decir que en
cuanto magnitudes infinitas están actualmente dadas como
totalidad y unidad, es decir, siendo por sí mismos
(sin intervención de la síntesis) una totalidad unida. La actualidad no
consiste aquí, por tanto, en que la magnitud infinita se dé como una
infinita cantidad de partes o porciones de espacio y tiempo ya
constituidas. Lejos de ello, consiste en que el espacio y tiempo
infinitos se dan como siendo ya, es decir, en acto,
una totalidad y una unidad que no constan por sí mismas de pluralidad
interna ni parte integrante alguna, pues no son sintetizables, sino que
están pre-sintética y pre-objetivamente dadas como un
horizonte indeterminado presto, sin embargo, para la determinación
sintético-cuantitativa. Con lo cual se muestra el modo en que Kant
integra la distinción entre infinito potencial e infinito actual en una
suerte de teoría trascendental de los estratos de constitución del
espacio y el tiempo (y, por ende, del concepto de magnitud) en relación
respectiva con la matemática y la metafísica en que la misma se funda.
Cabe aún, con todo, señalar ciertas precisiones a fin de comprender, por
así decir, la otra cara del concepto de magnitud en relación con el
concepto trascendental de infinito. Pues hasta ahora hemos hecho más
hincapié, por así decir, en la representación del infinito en la esfera
de “lo infinitamente grande”, mas el concepto de magnitud infinita dada
también dispone de un rendimiento esencial en el ámbito de lo
“infinitamente pequeño”. Mientras que el primer aspecto hace más
hincapié en la descripción de un todo o totalidad siempre más grande que
cualquier construcción, el segundo subraya el tipo de unidad que
corresponde a dicha totalidad no componible, a saber: su continuidad, en
virtud de la cual la magnitud infinita dada no es sólo más grande que
cualquier espacio y tiempo construidos, sino también más pequeña que
cualquier porción de espacio y tiempo que pueda obtenerse a raíz de su
división. Puesto que un tratamiento completo del concepto de continuidad
exige introducir la noción de magnitud intensiva y su modo de síntesis
y, por tanto, excluye las posibilidades de este trabajo, nos limitaremos
a enunciar el concepto de continuidad y a esbozar el matiz que añade a
la argumentación desarrollada hasta aquí. El fragmento relevante a este
respecto es célebre:
Espacio y tiempo son quanta continua, porque no puede ser
dada ninguna parte de ellos, sin encerrarla entre límites (puntos e
instantes); por tanto, solamente de modo tal que esta parte misma sea a
su vez un espacio o un tiempo (KrV, A 169/B 211).
Puesto que no hay ninguna parte del espacio y el tiempo “que no esté
comprendida entre límites (puntos e instantes)”, se sigue que toda
división de una extensión de espacio y tiempo dará como resultado una
extensión más pequeña, pero que jamás podrá ser la parte más
pequeña o parte simple (es decir, aquella parte que ya no
sería a su vez divisible). Esta ausencia de simplicidad es lo que
define, afirma Kant, la continuidad de una magnitud: «la propiedad de
las magnitudes, según la cual en ellas ninguna parte es la más pequeña,
se llama la continuidad de ellas» (KrV, A 169/B 211, traducción
de Caimi modificada). Puesto que no cabe afirmar la simplicidad de
ninguna porción del espacio y el tiempo, resulta que toda delimitación o
división de éstos dará como resultado una porción de espacio y tiempo
a su vez divisible, de donde se desprende que espacio y tiempo
son infinitamente divisibles. Así pues, si bien es verdad que
no es lo mismo ser el número más grande que ser más grande que cualquier
número, también es verdad que no es lo mismo ser la parte más
pequeña que ser más pequeño que cualquier parte. Este
último excedente cualitativo (ser más pequeño que cualquier parte)
permite describir la continuidad como el tipo de unidad que resulta
esencial al ser de la magnitud en general (i.e., al concepto
trascendental de infinito). Pues del mismo modo que ocurría con el
concepto de totalidad, el ser unidad o el estar unido no pertenece al
continuo como resultado de una composición sintética, sino que resulta
anterior a esta como el horizonte sobre el que la misma se ejerce.
Teniendo presente este carácter pre-sintético del continuo Kant
sostiene, en efecto, que los puntos del espacio y los
instantes del tiempo no son otra cosa que límites
Grenzen), es decir, «meros lugares [Stellen]
de la limitación [Einschränkung] de ellos» (KrV, A
169/B 211, el subrayado es nuestro), que generan una determinada
magnitud (quantitas) espacial y temporal. Mas con anterioridad
a esta delimitación o división sintética el espacio y el tiempo son
ilimitados o indeterminados, en suma: son infinitos, en el sentido
trascendental precisado anteriormente. Justamente por ello Kant subraya
de nuevo en este contexto la incomponibilidad sintética
de ambos:
Los lugares presuponen siempre aquellas intuiciones que
ellos han de limitar o determinar; y a partir de meros lugares,
como elementos que pudieran ser dados antes que el espacio o el tiempo,
no se pueden componer ni el espacio, ni el tiempo (KrV, A 170/B
211, el subrayado es nuestro).
De este modo la magnitud infinita dada, tal y como ha sido
caracterizada, se revela como fundamento tanto de lo “infinitamente
grande” como de lo “infinitamente pequeño”. Precisamente por ello
también en el caso de lo “infinitamente pequeño” resulta vinculante la
distinción entre infinito potencial e infinito actual que Kant propone
en Über Kästners Abhandlungen. En efecto, el infinito potencial
consiste en este contexto en la posibilidad de llevar tan lejos como
se quiera el procedimiento de división del espacio y el tiempo
comprendido como un regressus in infinitum,
pero este infinito potencial se funda en el infinito actual propio del
espacio y el tiempo como magnitudes continuas dadas, esto es:
en que ambos están dados en su “estar ya o actualmente
unidos” (si se prefiere: están dados como una unidad esencial, no sólo
no compuesta sino también no dividida), lo cual hace posible su
posterior división en porciones de espacio y tiempo cada vez más
pequeñas. Puesto que por muy lejos que vaya el proceso de división éste
siempre encontrará ante sí un espacio y tiempo aún más pequeños, en este
contexto se aprecia también la irreductibilidad de la magnitud infinita
a semejante regressus y, por tanto, se hace visible también su
diferencia cualitativa con respecto a las porciones de espacio y tiempo
generadas en éste. Por tanto, también el ámbito de lo infinitamente
pequeño es contemplado en la teoría kantiana de las magnitudes y se
integra en los niveles de constitución que hemos descrito, y que pasamos
a exponer en las conclusiones a la luz de lo antedicho.
6. Conclusiones
De la argumentación anterior podemos concluir que dar razón de la
síntesis del espacio y el tiempo como magnitudes extensivas supuestas en
la determinación cuantitativa de todo objeto de la experiencia posible
pasa por distinguir tres sustratos de constitución que expresamos a
continuación siguiendo el orden de la fundamentación.
El primer estrato de constitución es el de la magnitud infinita dada,
donde en términos generales “infinito” quiere decir incomponible y, por
tanto, no-sintetizable, de donde se desprende que la magnitud infinita
es en sí misma indeterminada en el sentido de que no consta por sí misma
de una pluralidad de partes previas que la compongan. A esta noción de
infinitud le corresponde también el rasgo de la continuidad (y, por
tanto, la magnitud infinita es también quantum continuum), pues
en efecto la magnitud infinita es el horizonte ya unido sobre el cual se
ejercen los límites y posiciones de de-limitan sintéticamente un espacio
y un tiempo determinados (i.e., constituidos como magnitudes
extensivas). De ello se desprenden dos rasgos que constituyen el anverso
y el reverso de una misma estructura. Por una parte, en cuanto horizonte
de la determinación cuantitativa, la magnitud infinita esta ya
dada como una totalidad donde la representación del todo (esto
es: del “todo infinito”) antecede a la representación de las partes (es
decir: a los espacios y tiempos delimitados extensivamente en él). Por
otra parte, habida cuenta de su incomponibilidad, esta totalidad se da
como una totalidad ya unida y es, en este sentido, una unidad
esencial, esto es: una unidad que le pertenece conforme a su propia
esencia en virtud de su continuidad. Este carácter de “ya”, es
decir, el hecho de que la magnitud infinita se presente como siendo
por sí misma, en acto, totalidad y unidad es lo que
hace que Kant la caracterice como un infinito actual dado en la forma de
la sensibilidad del sujeto (y, en este sentido, “subjetiva” o
“idealmente” dada). El hecho de que este infinito actual esté ya dado en
la forma de la sensibilidad muestra también que la magnitud infinita es
estructuralmente autónoma respecto de toda determinación intelectual.
Ambos rasgos de la magnitud infinita delinean el concepto de una
totalidad continua dada como indeterminada y presta, por ello mismo,
para su determinación sintética. En este sentido, la magnitud infinita
es el fundamento de la síntesis de toda magnitud extensiva porque
constituye el horizonte infinito del cual la síntesis extrae las
posibilidades tanto de acrecentarse in indefinitum en la
agregación como de decrecer in infinitum en la división. Pues
en efecto, al concepto trascendental de infinito le pertenece el ser más
grande que cualquier número en la agregación y el ser más pequeño que
cualquier parte en la división, posibilitando con ello el infinito
potencial de éstas. Ambos rasgos constituyen el sentido del ser de la
magnitud en general o, sencillamente, el sentido del ser de lo
cuantitativo, esto es: el horizonte supuesto en la síntesis o
construcción (y, por tanto, en la comprensión) de toda magnitud
determinada. Este horizonte es lo que designa en Kant el término
quantum a diferencia de la quantitas propia de la
magnitud extensiva, de la cual podemos ahora concluir lo siguiente.
Las magnitudes determinadas (esto es: extensivas e intensivas)
constituyen el segundo estrato de constitución de la magnitud, cuyo
análisis nosotros hemos limitado a la noción de magnitud extensiva. Las
magnitudes extensivas, comprendidas como quantitas, disponen de
una anterioridad mereológica inversa al de la magnitud infinita en la
cual se funda su síntesis, pues en ellas la representación de las partes
hace posible la del todo y, por tanto, necesariamente la precede. El
modo de construcción de estas magnitudes radica en una numeración que, a
su vez, consiste en una síntesis progresiva de agregación de unidades
con vistas a la constitución del todo. Puesto que las unidades agregadas
son, en última instancia, puntos del espacio e instantes del tiempo, la
síntesis de agregación acaba por constituir un marco finito o, si se
prefiere: una determinada extensión de espacio y tiempo. Con lo cual el
procedimiento de síntesis o esquematismo consiste aquí, a la postre, en
una de-limitación de una porción de espacio y tiempo que constituye una
parte (que no parte integrante: Teil a diferencia de
Bestandteil) del espacio y tiempo únicos, es decir, de la
magnitud infinita dada. El hecho de que toda magnitud extensiva tenga
que comprenderse como una parte de la magnitud infinita se basa en el
sentido de esta infinitud trascendental, a saber: en que el espacio y el
tiempo en los que se realiza la síntesis matemática son siempre más
grandes que los espacios y tiempos construidos en esta. Ello comporta
que la síntesis matemática es esencialmente incompleta y que, por lo
mismo, puede proseguir indefinidamente por muy lejos que haya llegado
ya. Semejante progressus in indefinitum es un infinito
potencial consistente en la posibilidad inherente a la síntesis de
agregación de seguir agregando unidades (puntos del espacio e instantes
del tiempo) por muy grande que sea ya la magnitud construida. Este
infinito potencial, no obstante, se aplica también en la divisibilidad
infinita de las magnitudes, a saber: en que por muy lejos que vaya el
regressus in infinitum propio de la división de espacios y
tiempos, siempre encontrará ante sí una porción de espacio y tiempo más
pequeña (nunca, por tanto, la parte más pequeña o parte simple). Ambos
sentidos del infinito potencial se fundan, pues, en la magnitud
actualmente dada como infinita en el sentido trascendental que hemos
descrito. Pese a que en este segundo estrato de constitución
intervengan, a diferencia del primero, elementos intelectuales (a saber:
las categorías de la cantidad) y se trate por tanto de un nivel
intelectual-intuitivo puro mediado por los esquemas trascendentales (en
este caso: el número), no intervienen todavía elementos empíricos, como
sí ocurre en el tercero.
En este tercer nivel de constitución tiene lugar, en efecto, la
síntesis empírica de las percepciones que, en este contexto, son
contempladas como partes del objeto que se van agregando de acuerdo con
una unidad de medida de cara a la determinación de la medida total del
mismo. Esta síntesis empírica se ejecuta siempre de forma sincrónica a
la producción de un espacio y tiempo determinados que constituyen el
marco a priori por referencia al cual tiene lugar la
determinación cuantitativa (i.e., la medición o mensuración) de los
fenómenos. El ejemplo del que nos servimos al comienzo de nuestro
trabajo permite ilustrar esta sincronía en concreto. Pues en efecto, la
síntesis numérica de las percepciones que constituyen las partes de un
libro comporta la producción a priori de una serie finita de
instantes del tiempo y puntos del espacio que constituyen el sentido
mismo de su determinada grandeza: que el libro es más grande
que el lápiz con el que escribo quiere decir sencillamente que tardo
más tiempo en medirlo y que, en consecuencia, ocupa también
más espacio. O dicho de otro modo: que el libro es más grande
que el lápiz que empuño quiere decir sencillamente que el marco temporal
y espacial que requiere su mensuración (i.e., la determinación de su
magnitud) es más grande (requiere de más instantes del tiempo y más
puntos del espacio) que el de aquel. El hecho de que afirmemos una
sincronía entre la mensuración que acontece en el plano material de las
percepciones y la producción que tiene lugar en el plano formal del
espacio y el tiempo (considerados como magnitudes extensivas) es algo,
sin embargo, de lo que no podemos dar razón aquí de un modo exhaustivo.
Ello requeriría, en efecto, de otro trabajo que mostrase que, en efecto,
entre el segundo y el tercer estrato de constitución se produce una
suerte de determinación bidireccional simétrica (y, por tanto, en cierto
sentido hilemórfica) que cabe suponer desde que Kant afirma la
referencia inmediata entre forma y materia ya al comienzo de la
ET. Por otra parte, la teoría de las magnitudes presentada en este
trabajo es todavía incompleta a falta de introducir en ella la noción de
magnitud intensiva. A fin de completarla habría de mostrarse, en efecto,
por qué el procedimiento de síntesis o esquema de las magnitudes
intensivas exige la divisibilidad in infinitum del espacio y el
tiempo y se funda también, por tanto, en la magnitud infinita dada tal y
como ha sido descrita. Ambos frentes serán objeto, no obstante, de otros
trabajos.
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