Sobre la figura menor, en el triángulo boz de la mayor, se
encuentra la ecuación:
gc : ac = ac : [ad] dc
Bajo la figura grande:
[√(bo2)- bc2]
[hb = √]
bo=√(2hb2)
|10| A la derecha, debajo de la figura grande hay dos pequeñas
figuras más:
Las siguientes ecuaciones se refieren a la figura cuyas
letras son visibles (cuya mitad superior naturalmente corresponde al triángulo hab de la figura
mayor):
bo : oc = oc : od
bo : bc = bc : bd
bc : bo = bd : bc
bc : oc = bd
× oc : bc × od
bd × oc2 = od × bc2
P. II:
x = s + t 2u
+ s + t = rst
r = 2u 2u
= r
|11| R4.1778-1779
|12| Luego se encuentran las ecuaciones, que en el ms. están en
el lado derecho de la figura:
|14|
1)[15]
√ (2(d-1)2) = ao = 1- ((√2) - 1)
l - ao = ha
bc:ac = 1:(√2)-1
bc : ac = mr
: ar
mr:ar =
1:(√2)-1
iq : qm = bc : hm
bc
: ac = 1 :(√2) - 1
hm : bc = qm : iq
hm : ha = qm : ac× iq
ac : co = 1
: 1 |
mr : ra = 1
: ac |
iq : qm = 1
: mr | ac/co = 1
ac : co = 1
: co |
mr
: 1 = ra : ac |
iq
: 1 = qm : mr |
1 : iq = hm : qm
mr : iq =
|15|
mr × ac/ra
= iq× mr/qm
mr × ac/ra = 1
[ac/ra=
iq/qm ] ac/co
= 1
[ra : qm =
iq : ac] mr/ra = 1/co
[ac : iq =
qm : ra]
ac × qm =
iq× ra
ac
: iq = ra : qm
ha
: hi = ra : qm
ra
= (√(2 ha2 +1) ) - 1
qm
= √
![Corchetes:
qvaest : ac : mr = co [hm] ar
ac : hb = co :
ac : 1 = co : 1
ha :](5.Trad.II.fld/image016.jpg)
mr× co = ra
|16| A la izquierda, debajo de la figura, se
encuentran las siguientes ecuaciones:
2)
ha : hi = ra : qm | ho : hm = oc : ra
ac : iq = ra
: qm | 
mr : [hx] yx
= qm : ix |
ac×mr : iq ×
[hx] yx = ra : ix | ha × hm : hi × hy = ra : ix
[ha× hm : hi] |
hi : ha= qm : ra
| (g = mr : yx)
| hm : hy=qm : ix
| ha : hi = ra :
qm
| hm × ha : hy ×hi=ra : ix
A la derecha de las primeras dos líneas de la anotación
previa se repiten otra vez las siguientes ecuaciones:
ac
: iq = ra : qm
ha
: hi = ra : qm
En el medio, abajo de la figura, se encuentra (en parte
tachado y por consiguiente ilegible) lo siguiente:
3)
ah : hb = ar
: mr
(√2) - 1 : 1 = ar : mr
ar
: mr : hz
|17|
4) Sea
hb = cb = rb = qb etc. = 1.
Sea
ac = ha = A, entonces:
ra = √ (1+A2) -1
mr = ra/A = √ (1 +-A2) -
1/A
ma = ac - mr = A - ra/A
mr : rz = am : ar = ac - mr : ar
ra/A × ra = rz × (A - ra/A)
[ra/A]
(A -ra/A) : ra/A = ra : rz o ma :
ra = mr (o mh) : rz
ra2/A2 × A/A-ra = ra2/A-ra = rz, i.e.
ra2/A : (A - ra/A)
= rz = ra2 × A/A2-ra/A
Sobre la mitad inferior, en el medio:
5) mr : 1 = qm : iq. ac : ra = iq : qm
[ha
= 1]
ac
= (√2) - 1
ao
= 1 - (√2) + 1
ao
= 2 - (√2)
[ma
= √ac2 -]
|18| En la parte
superior del triángulo obt:
6) ah
- mr = ma
En la parte inferior del triángulo obt:
7)
En el medio: co = (√2) - 1
2-2√2
+ 1 = 3 - 2√2
ao
= √(6 - 4√2)
ao2=36
- 18√2 + 1
8) a la derecha:
ao : co = 1 : 1
mr : ra = 1
: ac
ac = co = 1
mr × ac /ra =
ac
ac : co = 1 : ho
mr : ra = 1 : ac
ac × ho/co = mr × ac/ra
[co:] oh : co = ob : ao | ho/co = mr/ra
1 : (√2) - 1 =√2 : 2 - √2 |
ao = 2ho - ob |
ho × ra = mr × co
o
se interrumpe el texto.
9) a la izquierda:
co/ac
= 1
mr × ac/ra
= 1
mr × ac/ra = co/ac
mr × ac2 = co × ra
mr : ra = co : ac2
|19|
Arriba en el triángulo hba:
10) ra/ac
: ac - ra/ac = rz : ra
ra2/ac
: ac - ra/a = rz
Siguen las cuentas que también consideran los triángulos imq y hms. Primero en la parte superior del triángulo
abc:
11) ar =√(1 + ah2)
- 1
mr = ra/ah = ra/ac
ac : 1 =
ao : ob
ah = 1 - ao
1
: ah = mr : ra
En el triángulo aoc
y alrededor:
12) hz : mr : rz = mr : ar = hz : za = zr + ra
hs : iq : qs iq
: qm = hs : sm = qs + qm
hm = mr : rz
= am : ar = ac - mr : ar
|20| ha : hm = co : ar △ mra : △ hab = qr2 : 1
hm
: hi = ar : mq △ iqm : △ hbm = iq2 : 1
ha : hi = co
: mq
= ac : iq = hm : hi
[rz : mh]
rz : [mh] mr = ra : am
Arriba, en el margen izquierdo:
13) im
: [mq] ih = ih : hs
14) En el triángulo hab bajo las
líneas de (10):
hm : 1 = mq
: iq
mr = hm
mr : 1 =mq : iq - hi
= ra : ah = ac
iq = mq
/ mr
iq × mr = mq
[ra : mr]
[mq/mr = iq]
ah : ra=1 : mr
En la mitad inferior del triángulo abc y alrededor:
15) mr2 : iq2 = mb2
- 1 : ib2 -1
mr2 + iq2 : iq2
= mb2 + ib2 : ib2 |
|21| ![]()
=
ha : hi
ra
: qm = (ac : iq)
mr : iq = hm : hi
ra × mr : qm× iq = ha × hm : hi2
Por último, las ecuaciones que se vinculan con el triángulo yix, en el margen
izquierdo:
16) ha
: ra = iq : qm
[iq
: ac = ra : qm]
iq
: ac = qm : ra
iq
: qm = ac : ra = ha : ra
yx : ix = qm : mr
△mrb : △ iqb = mr : iq = hm : hi
(△mab : △ imb = 1 + ar : 1 + qm)
[△hmb : △ hib =]
ar
: qm = ha : hi
△ mab : △ imb =
1 + ha : 1 + hi
iq : qm = ac : ra
yx : ix = qm : mr
qm : iq =
mr : 1
yx × qm : ix × iq = qm : 1
|22|
En la parte superior del triángulo obt:
17) iq : qm =1 : mr
hx : ix = 1 : iq
iq × mr/qm = hx
× iq/ix
mr/qm = hx/ix
mr × ix = hx × qm
mr
: hx = qm : ix
En el ángulo inferior izquierdo del triángulo obt:
18) ya
: ah : ab [ya : yh yh : hb]
sm
: mh : mb
R5. 1778-1789. Traducción: Teo
Iovine.
|23|
ab : dec = or : oe
El círculo es una línea (sobre un
plano), en relación con la cual son perpendiculares todas las líneas que puedan
trazarse desde un punto (determinado).
R6. 1778-1789. Traducción: Teo
Iovine.
|31| P. 1
Definitio
El círculo
es una línea curva, cuyos arcos son divididos en dos partes iguales por la
misma línea perpendicular que divide sus cuerdas en dos partes iguales.
¿Cuánto se sigue de esta elucidación
del círculo?
Pienso que,
de una definición que no contiene en sí a su vez la construcción del concepto,
nada se sigue ([como] que fuera predicado sintético).
P. 2
“De modo que
la proposición podría invertirse, y probarse en esta inversión, lo cual es de
hecho requerido en una definición. La definición de líneas paralelas de
Euclides es de este tipo.
R7.
1778-1789 (?) Traducción: Laura Pelegrín.
|32|
P. I:
Si dos
líneas son intersecadas por una tercera de modo tal que ésta forma un ángulo
recto sólo con una de las dos, entonces no son paralelas. En estas
circunstancias [es], siempre que se traza una perpendicular desde el punto del
ángulo recto hasta la otra línea, las líneas quedan [en el infinito] del lado
de la convergencia; pero si se establece sobre el punto allí donde la línea no
forma ninguna perpendicular, entonces todas las |33| líneas se encuentran en el lado de la divergencia. Si el trazo
[a la v.] en una línea es perpendicular también en la otra línea, no convergen
ni divergen.
P. II:
Toda distancia[16] debe ser recíproca, entonces, si ab es la distancia del punto a desde la línea superior y al mismo
tiempo del punto b, sin embargo, la
distancia del punto b desde la línea
inferior, es decir, bc, no es la distancia desde el punto a, entonces ab es la
distancia de a desde b, pero no la distancia de b desde a.
La distancia de una línea a la otra
es la distancia de todos los puntos de una línea a la otra línea. Entonces,
todos ellos deben estar a la misma distancia; es decir, ser paralelos, de lo
contrario no puedo hablar de la distancia
en absoluto, sino de la inclinación o
posición de uno en relación con el
otro en un plano.
R8.
1778-1789. Traducción: Laura Pelegrín
P. I: |
Tenemos ciertamente una definición
de líneas paralelas, i.e., aquellas (líneas rectas) cuya distancia es
consistentemente igual de una a otra, pero ninguna de la distancia de una línea
(recta) a partir de [la] cualquier otra en el mismo plano.
De aquí se sigue que la primera
proposición de Euclides pudo deducirse sin rodeos pero la inversa no se
seguiría.
|34|
Se asumió que la línea perpendicular
desde un punto a de la superior
debería medir la distancia de la primera a la segunda, pero que la
perpendicular de b desde da debería medir la distancia de la
segunda a la primera y, dado que se supuso que la distancia era igual, estas
líneas son iguales. Hasta aquí esta conclusión también es correcta, aunque [a
través] a través de un paralogismo. En tanto puedo tomar db tan cerca de ac como
quiera, el punto b puede [también con
ac en conj] coincidir con c si solo bd = ca.
R9.
1778-1789. Traducción: Laura Pelegrín.
P. 1
La distancia de dos rectas entre sí
es la línea perpendicular, que se traza de un punto de una a otra, en la medida
en que es congruente con [con esta] la que (está) erigida desde el mismo punto
en la primera (perpendicular). Pues solo esta línea mide la distancia (de las
líneas entre sí). Pero que una línea recta, que está a una distancia
determinada de la otra, esté a la misma distancia de la otra en todos los
puntos, es una proposición idéntica; porque eso es sólo la distancia
determinada de una línea completa desde la otra.
|35|
A
la izquierda de la figura:
( be = ac, en consecuencia,
los tres lados del triángulo el texto
se corta).
A
la derecha de la figura:
[Si ahora la línea perpendicular ba también forma un ángulo recto o + u
en b y la línea perpendicular ce
también forma la misma x + y en c,
entonces: r + u = 2R, y + s + z = 2R. Ahora o + u + x + y = r + u + y + s + z.
Entonces: o + x = r + s + z. Pero z = y. Entonces: o + x = r + s + y. Ahora s =
o + u, entonces: o + x = r + o + u + y, x = r + u + y.]
o + u = x + y
o + u + x + y = 2R
u + r = 2R; ergo o + u + x + y = u +
r
o + x + y = r.
|36|
P. 2
La distancia de un objeto a otro es
recíproca e igual.
La distancia de un punto a una línea
es la línea perpendicular que se puede trazar desde ese punto hasta ella.
Una línea (recta) en la que la
distancia [cuya distancia] de un punto a otra línea no es igual a la distancia
del punto, donde su perpendicular la interseca, no tiene una determinada
distancia de ella, pues la distancia de las líneas no es recíproca e igual.
Por lo tanto, la distancia
determinada de una línea a otra es solo la posición de la misma, ya que la
línea perpendicular, que se traza de un punto de una a otra, es totalmente [zu]
congruente con la que se traza desde el punto de intersección en la última
sobre la primera.
Ahora
debería probarse que esta distancia es al mismo tiempo la medida de la
distancia entre las dos líneas en toda su longitud.
|37| Ahora bien, esto no se puede probar,
sino que es el concepto de una cierta distancia [o]
el de una
línea a partir de otra en general y, por lo tanto, es totalmente válido para
ambas líneas, i.e., por muy extensas que sean.
(Las
posiciones de dos líneas se pueden determinar, independientemente de si alguna
otra línea tiene una distancia determinada de la otra. La posición depende de
la proporción de las perpendiculares cuando las líneas se encuentran en uno y
el mismo plano.
Si las
líneas se encuentran en un punto, entonces delimitan en su posición un ángulo,
y esta posición puede ciertamente medirse por una curva del movimiento de una
sobre la otra; pero esto no expresa realmente la posición, que consiste en la
relación [de la] bien de la igualdad de la distancia en su posición mutua o del
acercamiento de una hacia la otra y la distancia entre ellas. Quizás esta sea
una proposición para la geometría de las posiciones.
R.10. 1778-1789. Traducción: Laura
Pelegrín.
P. I:
Teorema 1.
Una línea está a una determinada distancia de otra que se encuentra en el mismo
plano que ella si todos los puntos de una línea están a la misma distancia de
la otra.
|39| Prueba. Debido a que la distancia
[total] determinada no concierne a un punto de la línea sino a toda la línea,
pero todo punto de la otra línea se encuentra a una determinada distancia de la
otra, por tanto, no se puede decir que toda la línea está a una distancia
definida de la otra, a menos que cada punto de la primera línea esté
equidistante de ésta.
1.
Principio. La distancia de un punto a una línea es la línea perpendicular que
se puede trazar del punto a la línea dada.
2º
Principio. Toda distancia es recíprocamente igual entre sí, es decir a está tan lejos de b como b está de a.
Apéndice 1.
Entonces, si la línea perpendicular (EF) desde un punto de una de dos líneas
dadas AB sobre la otra CD no es la igual a la perpendicular desde un punto de
la segunda CD sobre la primera AB, entonces ambas líneas no están a una
distancia determinada una de otra, es decir ninguna de estas perpendiculares es
la medida de la distancia entre ellas.
Apéndice 2.
Las líneas que están a una determinada distancia (entre sí) están continuamente
[todas] a la misma distancia * entre sí, es decir, son paralelas, y las líneas
que no son paralelas no están a ninguna distancia determinada entre sí, sino
sólo en una posición determinada, es decir, la relación según la cual las
distancias entre sí aumentan o disminuyen en diferentes puntos.
* (Si la
[línea] perpendicular, que corta desde un punto de una de dos líneas a la otra,
coincide con la que se construye sobre la primera, entonces esas dos líneas son
paralelas).
Apéndice 3.
Si de dos líneas rectas [al infinito] (que no pueden considerarse meramente
como partes de una tercera línea recta, |40|
es decir, yacen in directum) la
distancia [que decrece] en el lado que se intersecan, a medida que disminuye,
se vuelve finalmente = 0, entonces la posición se llama ángulo, y la magnitud
del ángulo no es la magnitud de la distancia entre estas dos líneas, sino la
magnitud de la relación según la cual (la distancia de) los puntos de una línea
disminuyen o |42| aumentan en
relación a la otra. (Dado que no es el arco entre los catetos del ángulo, sino
el seno del arco lo que mide la distancia de un punto de una línea a la otra, y
la posición de estas líneas debe medirse a partir del (g la relación del)
aumento (g o disminución) de la distancia de todos los puntos igualmente
espaciados de una línea a la otra, entonces habría que mostrar cómo esta
relación es igual a la relación de los arcos, que se describirían con los
mismos radios; porque de lo contrario no se puede ver claramente cómo [por qué]
el arco puede ser la medida de la posición de las dos líneas una en relación a
la otra, es decir, la magnitud de las distancias [de la crec] crecientes de las
dos líneas, si se prolongan, sino que solo indican la medida [de esta] de la
creación de esta posición.)
P. II.
Teorema 2.
La línea que es perpendicular a una de dos líneas paralelas, también es
perpendicular a la otra (si se prolonga). [Pues de acuerdo con el primer principio
la distancia de un punto a una línea es la]
(Si una
línea [que] interseca dos líneas perpendicularmente, entonces éstas son
paralelas. *
De la
proposición se deduce que si ambas cortan perpendicularmente, los ángulos
alternos también deben ser iguales).
|44|* Esta proposición no se puede
exhibir matemáticamente, sino que simplemente se deriva de conceptos: que las
líneas paralelas sólo están a una determinada |45| distancia entre sí, que esta distancia es medible [medida], a
través de la línea perpendicular, que se traza de un punto a otro (A), que,
debido a que la distancia debe ser recíprocamente igual, la distancia del punto
B de la otra línea, y consecuentemente la perpendicular a esta línea, será al
mismo tiempo la distancia de esta línea a aquélla y será perpendicular [con] a
ella al mismo tiempo. (Y) (porque de lo contrario dos lados tomados en conjunto
en un triángulo serían tan grandes como el tercero) estas dos perpendiculares
son una y la misma.
Ahora, como
la prueba geométrica se basa únicamente en esta proposición (sin involucrar
superficies infinitas) y, en consecuencia, en |48| un concepto de distancias determinadas y de líneas paralelas
como líneas cuya distancia está determinada, que no puede construirse y, por
tanto, no puede probarse matemáticamente: entonces [sólo entre], incluso si
faltara una prueba geométrica, donde la cantidad (cuyas relaciones se van a
establecer) se puede dar completamente, una prueba matemática es mejor que una
prueba puramente filosófica.
¿Cómo es
posible que a partir de la igualdad de los ángulos alternos (en) |50|, pueda derivar la igualdad de la
distancia de todos los puntos de una línea a la otra línea, i.e., el
paralelismo de los mismos, pero a la inversa, de [de tal] la igualdad de todas
las distancias, del paralelismo no se pueda derivar la igualdad de los ángulos
alternos? La razón es ésta: porque si [un] el ángulo que forma la línea de
intersección (g con uno de los dados) es un ángulo recto, [también] la misma
línea también forma un ángulo recto con la otra, que ya es la definición de la
distancia determinada y también del paralelismo. Por el contrario, si la
distancia de todos los puntos (de) una línea dada [y] es igual a otra,
suponiendo que aquella es perpendicular a ésta, [por lo tanto, ninguna
distancia determinada] no se sigue que también sea perpendicular a la primera,
en consecuencia, no se sigue la igualdad de los ángulos alternos.
Por lo
tanto, la igualdad de los ángulos alternos no se puede deducir de la igualdad
de las distancias de una línea a la otra, sino más bien que se puede deducir
ésta de aquélla, porque la distancia [determinada] de toda la línea a otra solo
puede determinarse por la igualdad de los ángulos, cuya línea de intersección
determinante da la distancia de un punto a una línea, es decir, precede (el
concepto de paralelismo). Porque si los ángulos alternos son completamente los
mismos, la línea de intersección es perpendicular a ambos y las líneas son
paralelas. Esto se deriva del concepto amplio de determinación y no necesito
probar expresamente la igualdad de las perpendiculares. Pero si las distancias
deben llamarse [ser] iguales, entonces [51]
no solo se debe probar la perpendicularidad de la línea a una, sino a ambas, lo
que, sin embargo, no se sigue de la igualdad de las líneas que se intersecan.
Pues, ab está trazado de la superior por a, cd
de la inferior por c. Puesto que si
trazara ambos a partir de la superior ab y
luego dibujara la línea ac, entonces es ab = dc. ac = ac, b = d y, en
consecuencia, los triángulos o = u
iguales
(Si la
igualdad de las distancias de dos líneas constituye la definición de
paralelismo, entonces el definitum y
la definición deben ser recíprocos. Por tanto, se puede ver aquí que el primero
no necesita agotar todo el concepto del segundo. Sin embargo, la proposición es
recíproca, pero no se puede probar porque la totalidad de un concepto conduce
aquí al concepto de igualdad de los ángulos, pero no a la construcción de los
mismos. La razón por la que todas las distancias son iguales es: porque la
línea de intersección es perpendicular a ambas. Por lo tanto, debido a que la
causa no se puede deducir de la consecuencia, en la construcción tampoco se
puede concluir la igualdad de los ángulos alternos a partir de la igualdad de
las líneas, ya que sólo se toma en consideración un ángulo.)
R 11. 1790-1804. Traducción: Laura
Pelegrín.
|52|P. II:
Cómo la
proposición: si 2 líneas paralelas son intersecadas por una tercera, etc.,
etc., puede probarse estrictamente por un modo filosófico de representación por
conceptos pasando la construcción, pero no de modo euclidiano.
R12. 1780-1789 ?
ac: cd = ce
: cg
[ac × cg = cd × ce]
[ac2]
ac2 : cd2 = ce2
: cg2
ce2 + cg2 : cg2
= ac2 + cd2 : cd2
ce2 + cg2 = ge2
ge2 : cg2 = ac2
+ cd2 : cd2
|53|
R13.
1790. Traducción: Marcelo Lerman.
|53| P. I:
Si no tuviésemos
conceptos de espacio, entonces la cantidad ⎷2 no tendría para nosotros ningún significado, porque en ese caso uno
podría representarse cada número como un conjunto de unidades indivisibles.
Ahora, representémonos una línea como producida por fluxión y, por
consiguiente, [producida] en el tiempo, en la que no nos representemos nada
simple, y podemos pensar en 1/10, 1/100, etc. de la unidad dada.
|54| En la representación del espacio, no
hay nada pensado sobre el tiempo, [como] sino en la construcción del concepto
[mismo] de un espacio determinado, por ejemplo [como] en una línea. Toda
cantidad es producida en el tiempo por la mera posición repetida de lo mismo.
Los objetos
de la aritmética y del álgebra no están, en lo que hace a su posibilidad, bajo
las condiciones de tiempo, aunque sí la construcción del concepto de cantidad
[en tanto a través de esos objetos] en la representación de aquellos por medio
de la síntesis de la imaginación, es decir, la composición sin la cual no puede
darse ningún objeto de la matemática.
El álgebra
es en realidad el arte [el arte común del enlace] de llevar bajo regla, con
independencia de todo número efectivo [dado], apenas a través de las relaciones
de ellos, la producción [de las cantidades] de una cantidad desconocida.
La cantidad que se
produzca es siempre una regla del contar según la cual la cantidad puede ser
determinada [pensada como dada]; por ejemplo, la línea diagonal de un cuadrado
tiene significado, pero sólo en la construcción, no por medio de un número,
sino [un] por un símbolo del número √2 que significa el concepto de una
cantidad [a cuyo concepto una], que solo significa la regla de la aproximación
[a uno] del contar hacia un número que expresa el último. Que una cantidad tal sería
posible, no lo podríamos saber sin la geometría. Pero sin la aritmética (aún
antes del álgebra) |55| no podríamos tener ningún concepto
de la cantidad de la línea diagonal de un cuadrado.
P. II:
No es la
cantidad de tiempo (pues ello contendría una elucidación circular), sino solo
la forma del tiempo lo que viene a cuento en la estimación de cantidades. Pero,
sin espacio, el tiempo mismo no podría ser representado como cantidad y ese
concepto no tendría ningún objeto en absoluto. Los conceptos numéricos
requieren justamente imágenes sensibles puras (ej. Segner)[17].
__________
R
14. 1790. Traducción: Marcelo Lerman.
P. I:
|55| [Que a partir de ciertos números
dados y [[de esos]] una [[relación de la misma]] regla dada de la síntesis
positiva o negativa de los mismos].
El problema es: ¿por
qué el entendimiento, que crea arbitrariamente los números, no puede pensar √2
en números? ¿No hay aquí como fundamento una facultad de la imaginación
exuberante [facultad], al menos no sometida a la condición del contar, es
decir, al tiempo, a la que el entendimiento le da la regla de manera
incondicionada? Y, si se descubriera esta última, ¿no sería posible esperar el
descubrimiento de un nuevo sistema del álgebra, en el que podría esperarse la
resolución [de las] de todas las ecuaciones, [algunas de] muchas de las cuales
(ahora) solo podemos llevar a cabo por tanteo, según principios generales?
|56| Me parece que, sin volvernos a los
primeros fundamentos de la posibilidad de una ciencia de los números, podemos
dar respuesta a esta pregunta de la siguiente manera.
Puedo
considerar cada número como el producto de dos (números como factores); si
estos no me son dados a la vez, [pero], si uno de esos factores -cualquiera que
sea-, está dado, puedo calcular el otro, según las formas aritméticas
habituales (de la división) [por medio de]. Por ejemplo, 15 se vería como el
producto de dos números; tomo ahora uno de ellos como dado, por ejemplo, si
este fuera =3, entonces el otro factor =5. Si el primer factor tomado fuera =2,
entonces el otro sería =15/2 y así [hacia el infinito] en
todos los demás casos; pues 1:2 = x:15, entonces 15 = 2x, y con ello 15/2
= x. Si, en cambio, respecto de un número dado
que se considere como originado por (la) multiplicación de dos (factores), no
está dado ningún factor, sino sólo la relación, [por ejemplo] que los dos deben
ser iguales entre sí, por ejemplo: 1 : x = x : 2, entonces (no es siempre
posible verlo como un producto de tales. Yo) debo encontrar un número que [así]
a partir de otro [igual] se vuelva =x, así como resulta =x de la unidad; (sin
embargo, cómo este resulta de la unidad siempre es desconocido, porque x no
está de ningún modo dada). (Los factores buscados se encuentran siempre entre
cada número supuesto, pero claro que siempre entre los números, no como, por
ejemplo, √-2, que no significa nada.) Luego, para todos los números, que según
un orden natural (por sucesiva adición de unidad tras unidad) sean
representados como dados, ese factor desconocido o el que le sigue (entre los
naturales) solo es encontrado por medio de tanteo (e intentos) y no según un
principio.
Así, por
ejemplo, el número entero [más grande] inferior [más cercano] más cercano a la
raíz cuadrada de 15 es =3 y el superior más cercano es 4 [pero la raíz entre
los dos]. Si el número dado está compuesto de dos partes |57|, después de haber encontrado la raíz del primero por medio de
un mero intento, pueden encontrarse las dos partes dadas del número entero
según un principio de la multiplicación y la división. Ahora, si la raíz
cuadrada no puede ser hallada como número entero de esa manera, entonces es un
número irracional, esto es, tampoco puede ser hallado en las fracciones; por
consiguiente, no es en realidad ningún número, sino sólo una determinación de
la cantidad mediante una regla del contar, [mediante] la cual se da la
proporción según la cual la unidad con la que uno cuenta siempre constituye (p.
ej.) la décima parte de la precedente. Por consiguiente, también la serie cuya
suma es igual a la raíz cuadrada
P. II:
aunque nunca
pueda ser inmediatamente contada (en consecuencia, tampoco se considera
completamente dada), sin embargo [como sin parar] por medio del principio de
acercarse a ella tan cerca como se lo quiera, expresa [una determinada] la
cantidad del objeto.
La respuesta a la
primera cuestión sería entonces algo así. El entendimiento [piensa] puede pensar
entre dos cantidades similares, por ejemplo 1 y [dos] 2, todo el tiempo una
cantidad intermedia geométrico-proporcional); también darla efectivamente (en
el objeto), por ejemplo, en la diagonal de un cuadrado; (en cambio, si las
cantidades fueran desiguales, por ejemplo 1 y -2, la media proporcional =√-2
indicaría (una) cantidad absolutamente imposible). Él solo no puede dar esa
cantidad intermedia proporcional en un número, y esto por un motivo que no se
basa en absoluto en la facultad de la imaginación como (una) (facultad) (a su
manera) organizada en cierto modo mediante el entendimiento para la
representación de lo irracional, sino en una condición que el entendimiento
pone en su concepto (número), esto es, que el cuadrado supuesto no es el cuadrado
de un número entero, en consecuencia, tampoco de alguna fracción que se pueda
especificar completamente, pero, sin embargo, su raíz se encuentra en la serie
de fracciones posibles entre los dos enteros consecutivos según una cierta
progresión de los denominadores, y por consiguiente sólo se puede dar por
aproximación infinita.*
|58| * (Si no se pudiese probar a priori
que (en casos de esa clase) la cantidad intermedia proporcional es [una]
cantidad irracional, sino que esto se encontrase de modo meramente empírico,
entonces uno debería adivinar un motivo especial, no contenido en el concepto
de número (del entendimiento) y por consiguiente subjetivo, en una naturaleza
inexplorada de la imaginación, cuya naturaleza haría surgir [aquello] lo que no
puede venir directamente del entendimiento mismo en el pensamiento.)
Siempre
queda aquí algo digno de admiración: a saber, cómo es que lo que entendimiento
[se figura] piensa, a fin de cuentas arbitrariamente, para las relaciones entre
cantidades, de modo que sólo la regla de la síntesis correspondiente no se
contradiga ella misma, encuentra las intuiciones que le corresponden en el
espacio.
Pues [no
parece así que] sí permanece[no] problemático en sí, según la mera aritmética,
si a aquellos conceptos de cantidad (por ejemplo, irracionales) les corresponde
o no un objeto. De allí que también el principiante (en álgebra) se sorprenda
con una agradable admiración por el éxito de las construcciones (geométricas)
de las ecuaciones. Dado que el espacio
da la realidad objetiva a tales relaciones, pero el entendimiento [el] en el
concepto de número no considera el espacio, le parece al aprendiz que éste, por
así decir, tiene éxito (solamente) por suerte. Considerado de cerca, es la
producción sucesiva del espacio la que da base a los números en el tiempo por
medio de algún principio de divisibilidad infinita.
La
dificultad pensada podría entonces descomponerse: ¿Cómo sería posible, que
pueda pensarse una cantidad (finita) [que por medio de Z] cuyo concepto [entre
todas las Za] entre todas las particiones a dar |59| de la unidad, se encuentre en la serie de números? Y ¿Cómo
puede esto concordar con la facultad de reconocer cantidades a priori por medio
de números?
Esto se debe
a que siempre resulta posible ver [respecto a] la cantidad en general, como
unidad, como un conjunto de otras unidades y la cantidad no contiene ninguna
unidad absoluta.
R15[18] Anotación de Kant en la carta de Moritz y Maimon del 14 de
Mayo de 1791 (vgl. AA 1: 258).
86 5.2 6.3 7.1 2.1 3.1 4.1 5.1
68 25 36 17 12 13 14 15
18 27 27 54 9 18 27 36
6.2 6.4 6.5.2 20
26 46 256 2
36 18 396 18
|60| R16 Anotación de Kant en la carta del conde de Keyserling del 7
de Febrero de 1784 (cf. AA 10: 364).
7.4 3 : 5
47
27
3 : 5 = 47
5
( 2)|
235| 7
33
R17. 1764-1768 ?
29 29 29
12 33 14
58 87 116
29 87 29
957 406 3 [3] 4
12 122
36
48
|61| R18 1764-1768 ?
25 25 25 8
13 2 3
75 50 17
25 33 25
325 14
17 24 100
30 342 11 14 25
30 96 35.0
42 24 8
30 33.6 30 342 11
12 8 42
328 12
R19 1764-1766? 1773-1775?
P. II:
22 44
22 44
44 176
44 176
484 1936
4 4
1936 7744
En la misma página se encuentra la siguiente figura
geométrica, sin texto:
