Sobre el estatus ontológico de los
objetos geométricos en la filosofía de las matemáticas de Kant
On the ontological status of geometrical objects in
Kant’s philosophy of mathematics
Javier
Fuentes *
Universidad de Bonn, Alemania
Resumen
En
este texto se desarrollan algunas ideas que Kant plantea sobre la ontología de
los objetos geométricos. En primer lugar, una vez que se abstraen ciertos
componentes de la intuición empírica, queda como resultado la intuición pura.
Aquello ocurre porque la intuición pura es la forma de la intuición empírica,
es decir, no corresponde a un componente que podría presentarse al margen de
aquella. En segundo lugar, las partes del espacio son posteriores a éste, dado
que éstas son limitaciones del mismo. A partir de
ello, puede afirmarse que las partes del espacio comparten el mismo estatus
ontológico que éste. En tercer lugar, el espacio propiamente no existe, aunque
se le atribuye una cierta forma de realidad, el ser un ens imaginarium, en virtud de ser forma de los fenómenos, de los
cuales sí es posible afirmar que realmente existen. Por lo tanto, a partir de
lo anterior puede afirmarse que los objetos geométricos son entia imaginaria.
Palabras clave
Objetos
geométricos; Entia imaginaria; Espacio;
Intuición pura; Forma
Abstract
In this text some ideas that Kant states
about the ontology of geometrical objects are developed. First, once certain
components of empirical intuition are abstracted, pure intuition remains as a
result. This is the case because pure intuition is the form of empirical
intuition, i.e. it does not correspond to a component
that could be present apart from it. Secondly, the parts of space are posterior
to it, because they are limitations of it. From this,
it can be asserted that the parts of space share its same ontological status.
Thirdly, space itself does not exist, although a certain form of reality, that
of being an ens imaginarium, is
attributed to it by virtue of being the form of phenomena, of which it is
possible to affirm that they really exist. On the basis of the foregoing it can be stated that geometrical objects are entia imaginaria.
Keywords
Geometrical objects; Entia imaginaria; Space; Pure intuition;
Form
1.
Introducción
En este
texto me propongo desarrollar algunas ideas que Kant plantea en diversas obras
suyas sobre la ontología[1] de los
objetos geométricos. Es claro que Kant nunca tuvo por objetivo elaborar una
teoría acerca de los entes geométricos, sino que las observaciones que realiza en relación a este punto se presentan siempre, más bien, a
propósito de algún otro asunto. Por eso, se debe ser cauteloso a la hora de
hablar de una teoría sobre los entes geométricos dentro de la filosofía de
Kant. En sentido estricto, claramente no hay tal teoría. Con todo, en este
texto me propongo mostrar cómo, a partir de reunir y analizar diversos pasajes
de la obra de Kant, es posible reconstruir algunos elementos de la concepción
que Kant habría tenido sobre los entes geométricos[2].
La
estructura del texto es la siguiente: en primer lugar, se introducen diversas
consideraciones preliminares que permiten precisar los objetivos y los alcances
de las tesis defendidas en este texto (subsección 2); luego, se expone el
análisis de los pasajes a partir de los cuales se desarrolla la concepción aquí
presentada (subsección 3); conviene destacar que estos pasajes podrían ser
divididos en dos grupos: por un lado, los pasajes 3.1 a 3.3, los cuales
constituyen el fundamento de la concepción aquí desarrollada; por otro lado,
los pasajes 3.4 a 3.6, los cuales buscan mostrar la plausibilidad de tal
concepción en otros lugares de los textos de Kant; por último, se concluye este
artículo con algunas observaciones finales (subsección 4).
2.
Consideraciones preliminares
Una
pregunta que puede surgir ante un objetivo como el perseguido en este texto
consiste en cómo podría acreditarse que la reconstrucción propuesta para la
concepción de Kant sobre lo objetos geométricos ha sido correctamente
realizada. Considero que para juzgar sobre este punto se deberían introducir
criterios tanto textuales como sistemáticos. A causa de la complejidad del
asunto y del carácter de este texto, un juicio sistemático de la labor aquí
realizada deberá quedar fuera de su alcance, a pesar de que probablemente a la
base de varios de los planteamientos aquí presentados haya implícitamente
consideraciones de carácter sistemático. Por otro lado, en cuanto a los
criterios textuales, al menos se puede esperar que los diversos pasajes
seleccionados se puedan ir comprendiendo a la luz de la reconstrucción que se
vaya elaborando sobre la base de ellos. Tal como se ha indicado anteriormente,
el núcleo de esta reconstrucción está basada en ciertos pasajes específicos,
mientras que los demás se presentan, más bien, como prueba para mostrar la
corrección de la reconstrucción hasta entonces esbozada.
Muchos de
los pasajes que trataré a lo largo de este texto los abordaré sólo a la luz del
objetivo aquí perseguido. Lo anterior supone también un riesgo, ya que la
interpretación de los aspectos específicos que son relevantes para tal objetivo
depende también de la interpretación global de los pasajes en cuestión. De
hecho, podría ocurrir que la interpretación de un aspecto particular de cierto
pasaje sea insostenible a la hora de considerarlo dentro del contexto general
de ese mismo pasaje. A pesar de que creo que las interpretaciones específicas
que ofrezco en cada caso pueden ser compatibles con interpretaciones generales
de los pasajes en cuestión, mostrar aquello es una tarea que excede los
objetivos de este texto.
Antes de
comenzar con el análisis de pasajes para la reconstrucción de la concepción de
Kant sobre la ontología de los objetos geométricos, conviene detenerse un
momento en torno a la existencia. A primera vista, parece complejo pretender
ofrecer una definición de “existencia”. De hecho, cabría preguntarse, en
términos más generales, si toda noción, incluso aquellas fundamentales como
“existencia”, sería definible. Kant no ofrece una definición de “existencia” entre
otras razones probablemente porque, según su doctrina, los conceptos
filosóficos no tienen definición en sentido estricto, sino sólo los matemáticos[3] (cf. KrV A727-730/B755-759). Quizás no tenga
sentido pretender ofrecer una definición de “existencia”, pero al menos se
puede ofrecer un criterio mínimo para establecer que un objeto existe, a saber,
la posesión de una ubicación espacio-temporal[4]. Este
criterio es coherente con la concepción de Kant sobre la existencia, puesto que
nosotros, en cuanto seres finitos, sólo podemos reconocer como existente
aquello que se nos da efectivamente en la intuición, es decir, en el espacio y
en el tiempo[5]. Pero,
por otro lado, este criterio tiene como consecuencia que todo aquello que no
sea dado en el espacio y en el tiempo tendrá, en primera instancia, un estatus
ontológico problemático. Como se intentará mostrar en lo que sigue, justamente
aquello es lo que ocurre en el caso de los objetos geométricos.
3.
Propuesta de reconstrucción a partir de un análisis de pasajes
3.1
La intuición pura como forma de la intuición empírica[6]
En esta
sección me propongo identificar una característica fundamental de la intuición
pura en relación con la intuición empírica, la cual más adelante será
determinante a la hora de comprender la naturaleza del espacio y de los objetos
geométricos que pueden presentarse en éste. Para ello, me centraré en el §1 de
la “Estética trascendental” de la KrV,
lugar donde Kant introduce diversas nociones que posteriormente empleará
durante el desarrollo de su comprensión del espacio y del tiempo.
El
primer pasaje a tomar
en consideración corresponde a aquel en el cual Kant introduce una
caracterización de la intuición, precisamente al comienzo de esta sección. Cabe
destacar que tal caracterización es de la intuición sin más, sin especificar
aún cómo se la debe entender en relación a la
distinción entre intuición pura y empírica que se introduce más tarde dentro de
la misma sección:
Cualesquiera sean la manera y los medios por los que un
conocimiento se refiera a objetos, aquella [manera] por la cual se refiere a
ellos inmediatamente, y que todo pensar busca como medio, es la intuición. Esta, empero, sólo ocurre en
la medida en que el objeto nos es dado; pero esto, a su vez, sólo es posible
—al menos para nosotros, los humanos— en virtud de que él afecta a la mente de
cierta manera. (KrV A19/B33)
La
intuición, siendo el medio a través del cual un conocimiento se refiere
inmediatamente a un objeto, sólo se presenta si el objeto nos es dado y esto
último, a su vez, sólo es posible si el objeto nos afecta. Más adelante, cuando
Kant ya haya introducido la distinción entre intuición pura y empírica,
convendrá preguntarse si la nota de ésta según la cual se requiere que el
objeto nos sea dado es válida para ambas formas de intuición.
La
distinción entre intuición pura y empírica es establecida por Kant de la manera
siguiente:
Llamo puras (en sentido trascendental) a todas las
representaciones en las que no se encuentra nada perteneciente a la sensación.
En consecuencia, con lo anterior la forma pura de las intuiciones sensibles se
encontrará a priori en el ánimo, [forma] en la cual todo múltiple de los
fenómenos es intuido en ciertas relaciones. Esa forma pura de la sensibilidad
se llamará también, ella misma, intuición pura. (KrV A20/B34-35)
En
relación a
este pasaje cabe destacar, en primer lugar, que Kant caracteriza como puras las
representaciones en las que no hay una remisión a la sensación, lo cual es
equivalente a afirmar que aquellas son representaciones a partir de las cuales
se ha abstraído todo aquello que es material[7]. En segundo lugar, Kant
describe la intuición pura como forma pura de la sensibilidad, estableciendo
así una distinción formal, aunque no es completamente claro cómo se la debería
entender[8].
Siguiendo
con el §1 de la “Estética trascendental”, Kant realiza una afirmación sobre la
intuición pura que a primera vista parece contradecir lo que sostuvo sobre la
intuición sin más al comienzo de esta sección:
Estas [la extensión y la figura] pertenecen a la intuición
pura, la que, como una mera forma de la sensibilidad, ocurre a priori en la
mente, incluso sin un objeto efectivamente real de los sentidos o de la
sensación. (KrV A21/B35)
El punto
clave en este pasaje es la afirmación de Kant según la cual la intuición pura
podría presentarse incluso sin que nos sea dado un objeto a los sentidos, lo
cual parece contradecir el hecho de que no puede haber intuición sin la presencia
del objeto. La base de esta aparente contradicción consiste en suponer que la
caracterización de la intuición sin más al comienzo del §1 de la “Estética
trascendental” sería válida tanto para la intuición pura como para la empírica,
tal como ocurriría, por ejemplo, si se comprendiera esta distinción al modo de
una distinción entre especies de un mismo género, pues en tal caso toda especie
de un mismo género debería tener todas las notas que tiene este último, pero
justamente aquello no es así en el caso de la intuición pura y empírica[9]. Más
bien, debería entenderse que la caracterización inicial de §1 de la “Estética
trascendental”, que aparentemente parece ser una descripción general de la
intuición, es una descripción de la intuición empírica, de modo que en este
pasaje Kant usaría el término “intuición” como una forma abreviada de referirse
a la intuición empírica. Lo anterior también podría ajustarse al hecho de que
la distinción entre ambas sea una entre la forma de algo y ese algo mismo, la
cual, por lo tanto, no correspondería a una distinción entre dos especies de un
mismo género.
Por
último, otro pasaje que apoya esta interpretación es aquel que aparece hacia el
final de esta sección, en donde Kant ejemplifica qué entiende por intuición
pura de un cierto objeto por medio de un procedimiento abstractivo:
Así, si abstraigo de la representación de un cuerpo aquello
que el entendimiento piensa de éste, como la sustancia, la fuerza, la
divisibilidad, etc., y de la misma manera lo que de éste pertenece a la
sensación, tal como la impenetrabilidad, la dureza, el color, etc., entonces me
queda algo todavía de esta intuición empírica, a saber, la extensión y la
figura. Estas pertenecen a la intuición pura, la cual tiene lugar a priori en
el ánimo como una mera forma de la sensibilidad, incluso sin un objeto
efectivamente real de los sentidos o de la sensación. (KrV A20-21/B35)
De este
pasaje cabe resaltar que, tras el último paso abstractivo, Kant sostiene que,
luego de haber removido de la intuición empírica lo correspondiente al
entendimiento y a la sensación, quedan como residuo la extensión y la figura,
las cuales pertenecen a la intuición pura. En otras palabras, habiendo
abstraído ciertos componentes de la intuición empírica, queda como resultado la
intuición pura. Aquello ocurre justamente porque la intuición pura es la forma
de la intuición empírica, es decir, no corresponde a un componente distinto que
podría presentarse al margen de aquella.
3.2
Espacio y espacios
Consideremos
ahora la “Exposición metafísica del espacio” de la “Estética trascendental” de
la KrV. Tal como afirma Kant al
introducir esta sección, el objetivo del apartado es estudiar la naturaleza del
espacio. Aquello se lleva a cabo mediante la presentación de cuatro argumentos,
los cuales buscan defender que el espacio es una intuición pura. Concentrémonos
en el tercer argumento, a pesar de que el punto que me interesa destacar esté
presente probablemente no sólo en éste.
El tercer
argumento pretende mostrar que el espacio es una intuición por medio de
rechazar que sea un concepto, dado que a la base de la argumentación se encuentra
el supuesto según el cual la representación en cuestión es o bien intuición o
bien concepto. Este argumento, al igual que los demás de esta sección, ha
generado mucha discusión y no hay acuerdo entre los intérpretes en relación a cómo habría que entenderlo[10].
Al margen de
lo anterior, me parece oportuno llamar la atención sobre el siguiente supuesto
del argumento: “Si se habla de muchos espacios, entonces por ellos se entiende
sólo partes de uno y el mismo único espacio” (KrV A25/B39). Esta afirmación, junto con otras del argumento,
muestran que no hay una posterioridad del espacio respecto de sus partes, sino
que las partes del espacio son posteriores a éste, justamente en la medida en que
éstas son limitaciones del espacio. Si contrastamos con aquello que sucede en
el caso de los conceptos, las partes de estos —bajo una cierta comprensión de
lo que sea una parte de un concepto— o bien contienen menos notas (como el
género) o bien más (como la especie). En este sentido, las partes de un
concepto remiten a un objeto que en principio puede ser distinto, en cuanto al
grado de generalidad o de especificidad, de aquel al que remite el concepto
mismo. En cambio, en el caso del espacio, las partes de éste se mantienen en el
mismo nivel de generalidad, dado que no contienen más notas que el espacio
único y omniabarcante. De este modo, las partes del espacio comparten el mismo
estatus ontológico que éste.
Este último
punto será determinante en la subsección siguiente, en la cual se intentará comprender
la ontología de los objetos geométricos a partir de aquella del espacio. Para
ello, será crucial la lectura e interpretación de la tabla de la nada, en la
cual Kant introduce algunas importantes, aunque también escuetas, afirmaciones
sobre el estatus ontológico del espacio y el tiempo. Una vez comprendido este
último, podremos trasladar tal comprensión al caso de los objetos geométricos,
en virtud de lo ya expuesto en la presente subsección.
3.3
Tabla de la nada
Hacia
el final de la “Analítica trascendental”, Kant presenta la “tabla de la nada”,
la cual, “aunque no tenga, en sí, particular importancia, podría parecer sin
embargo exigible para la integridad del sistema” (KrV A290/B346), afirmación que se entiende a partir del hecho de
que, hasta ese punto, Kant ha desarrollado una teoría sobre los objetos de la
experiencia posible, mientras que en tal sección desea introducir ciertas
consideraciones sobre lo que sería un objeto en general.
Ahora bien,
¿por qué es esta tabla una tabla de la nada?, ¿en qué sentido las cuatro clases
de objetos mencionadas por Kant son ejemplos de la nada? Aunque aclarar este
problema requeriría probablemente un estudio aparte[11], en el marco de este texto
es suficiente notar que tales objetos son formas de la nada en la medida en que
no son fenómenos, puesto que dentro de la filosofía de Kant sólo de los
fenómenos se puede afirmar que realmente existen, mientras que de todos los demás
objetos que en algún sentido podrían pensarse no se puede decir si existen, lo
cual haría que se los caracterizara como (una forma de la) nada. Sin embargo,
tal como afirma Kant, tales objetos serían en cierto sentido algo, por lo cual
les correspondería alguna forma de realidad.
Aunque Kant se
pregunta en la “Estética trascendental” de la KrV qué son el espacio y el tiempo, es recién en esta sección en
donde tematiza de modo explícito, aunque bastante breve, el estatus ontológico
que les atribuye en cuanto intuiciones puras, e incluso las llama según un
término técnico:
La mera forma de la intuición, sin substancia, no es en sí
un objeto, sino la condición meramente formal de él (como fenómeno); como el
espacio puro, y el tiempo puro, que son, ciertamente, algo, como formas de intuir, pero no son, ellos mismos, objetos que
sean intuidos (ens imaginarium). (KrV A291/B347)
En cuanto a
este pasaje, Kant afirma, en primer lugar, que un ens imaginarium no es un objeto, sin embargo, en la medida en que
la tabla de la nada supone la noción de “objeto en general”, los entia imaginaria serían objetos en
general. Lo anterior muestra que aquí hay un uso multívoco de la noción de
objeto. Cuando Kant afirma que los entia
imaginaria no son objetos, entiende por “objeto” un fenómeno, es decir, un
objeto de una experiencia posible[12]. De
este modo, la expresión “objeto en general” no es equivalente a “fenómeno en
general”. En segundo lugar, Kant sostiene que el espacio y el tiempo son algo
porque son formas de intuir, lo cual nos remite a lo desarrollado anteriormente
en este texto en relación a la comprensión de la
intuición pura como forma de la intuición empírica. Por lo tanto, espacio y
tiempo propiamente no existen, pero de todos modos se les atribuye una cierta
forma de realidad o de ser —de ahí que puedan ser llamados “entia”—,
en virtud de ser forma de los fenómenos, de los cuales sí es posible afirmar
que realmente existen[13].
El hecho de
que el espacio no sea un fenómeno, sino un ens
imaginarium, es también válido para los objetos geométricos, ya que, tal
como se ha argumentado anteriormente, estos son limitaciones del espacio, de
modo que comparten su mismo estatus ontológico[14].
Por lo tanto, los entes geométricos también son entia imaginaria.
3.4
Construcción
Aunque la
noción de construcción aparece en diversos lugares de la obra de Kant, uno de
los tratamientos más importantes de ésta se encuentra en “La disciplina de la
razón pura en el uso dogmático” de la KrV,
a propósito de la distinción entre el conocimiento filosófico y el matemático:
El conocimiento filosófico es el conocimiento racional por
conceptos; el matemático por construcción de los conceptos. Ahora bien,
construir un concepto quiere decir exhibir a priori la intuición que le
corresponde. Por lo tanto, se requiere para la construcción de un concepto una
intuición no empírica. Por consiguiente, ella es un objeto singular (en tanto
intuición). Sin embargo, en cuanto construcción de un concepto (de una
representación universal) debe expresar en la representación validez universal
para todas las intuiciones posibles que están subordinadas al mismo concepto.
Así́, construyo un triángulo exhibiendo el objeto que corresponde a ese
concepto mediante mera imaginación en la intuición pura, o bien de acuerdo con
ella también en el papel, en la intuición empírica. Pero en ambos casos lo hago
enteramente a priori, sin haber tomado de alguna experiencia el patrón para
ello. La figura singular dibujada es empírica y sirve, sin embargo, para
expresar el concepto sin perjuicio de la universalidad de este último, porque
en esta intuición empírica se considera siempre sólo la acción de construcción
del concepto, para el cual muchas determinaciones son enteramente indiferentes
(v.gr. las del tamaño, de los lados y de los ángulos); y por lo tanto se hace
abstracción de estas diferencias, que no modifican el concepto del triángulo. (KrV A713-714/B741-742)
De un modo
similar a los pasajes previamente citados de la “Estética trascendental”,
parece haber afirmaciones contradictorias en este texto, puesto que Kant
sostiene tanto que la construcción de un concepto requiere de una intuición
no-empírica como que ésta se puede realizar sobre el papel por medio de una
intuición empírica[15]. El
supuesto problemático a la base de esta aparente contradicción, como ya se ha
visto anteriormente, consiste en que la intuición pura y la empírica serían
excluyentes entre sí.
Tal como se
ha afirmado hasta este punto, tal supuesto sería erróneo debido a que la
intuición pura es la forma de la intuición empírica. Aquello puede comprobarse
también en este pasaje, ya que Kant, del mismo modo que hacia el final del §1
de la “Estética trascendental”, caracteriza la abstracción como la manera en la
cual se reconoce la intuición pura, en cuanto forma, en la intuición empírica.
Esta abstracción no consiste en la separación de diversos elementos dentro de
un determinado objeto, sino más bien en la atención a ciertos elementos de un
objeto dejando de lado los otros que lo conforman. Según la explicación de Kant
hacia el final del pasaje recién citado, el matemático se concentraría
únicamente en los elementos a priori
de la intuición empírica.
Como
consecuencia de estas consideraciones, encontramos más evidencia para la idea
según la cual los objetos geométricos dentro de la filosofía de Kant
corresponderían a la forma espacial de los fenómenos. Lo anterior se sigue a
partir de que, en el caso de la construcción de un concepto, se presentan dos
posibilidades que, en última instancia, se reducen a sólo una de las dos: o
bien se hace uso de una intuición pura, o bien se hace uso de una intuición
empírica, lo cual sólo tendría sentido en este contexto si se pone atención
sobre el carácter puro de la misma. Por lo tanto, en ambos casos el fundamento
de la construcción radica en intuición pura, la cual, como hemos visto
anteriormente, corresponde a la forma de la intuición empírica.
3.5
Imaginación
En esta
sección seguiré la pista del hecho de que se pueda llamar “imaginarios” a los
objetos geométricos. Para ello, exploraré los indicios textuales que vinculan estos
objetos con la imaginación.
Kant se
refiere a la imaginación en diversos textos de su obra, tales como KrV —particularmente en las versiones A
y B de la “Deducción transcendental” y en el “Esquematismo”—, KU y Anth.
En KrV y Anth., Kant entiende por “imaginación” la capacidad de representar
un objeto incluso sin que esté presente en la intuición[16]. Además, Kant caracteriza
en KU a la imaginación como la
capacidad de exhibición —la cual ya hemos visto mencionada a
propósito de la construcción—
(cf. KU AA V 232) y como sensibilización (Versinnlichung) (cf. KU
AA V 351). Por último, Kant introduce en Anth.
una importante distinción entre dos formas de imaginación, a saber, productiva
y reproductiva:
La imaginación (facultas
imaginandi), como una capacidad de las intuiciones incluso sin la presencia
del objeto, es o bien productiva, es decir, una capacidad de la exhibición
originaria del último (exhibitio
originaria), la cual, por lo tanto, antecede a la experiencia; o bien
reproductiva, [es decir, una capacidad] de la [exhibición] derivada (exhibitio derivativa), la cual trae nuevamente al ánimo una intuición
empírica anteriormente tenida. (Anth.
VII 167)
Ahora bien,
en este punto nos encontramos con un problema similar a aquellos abordados anteriormente a propósito del §1 de la “Estética
trascendental”, a saber, que Kant parece estar afirmando que uno de algún modo
se puede representar un objeto sin que éste nos sea dado —en el caso de la
imaginación en general— y, aún más, sin remitir a una intuición empírica previa
en la cual objeto haya sido —en el caso de la imaginación productiva—.
Siguiendo el hilo conductor desarrollado hasta este punto, no sería correcto
interpretar la imaginación productiva como una capacidad de representar un
objeto en sentido propio, es decir, un fenómeno[17], pues en tal caso no se
trataría de una exhibición originaria (exhibitio
originaria), sino más bien de una intuición originaria (intuitus originarius), algo de lo cual
nuestras facultades cognitivas son incapaces, dado su carácter finito (cf. KrV B72). Más bien, aquello que uno se
podría representar es sólo la forma de un objeto de la experiencia posible. En
el caso de los objetos geométricos, aquella forma corresponde al carácter
espacial de algún objeto de la experiencia posible[18], es decir, a aquello que,
una vez realizado el proceso de abstracción abordado anteriormente, se puede
identificar como correspondiente a la intuición pura.
Otro aspecto
importante de la imaginación productiva, en el cual también se diferencia de la
reproductiva, es la relación que mantiene con la espontaneidad, la cual está a
la base de nuestras facultades cognitivas superiores:
Ahora bien, en la medida en que la imaginación es
espontaneidad, la llamo también a veces la imaginación productiva, y la distingo así de la reproductiva, cuya síntesis está sometida solamente a leyes
empíricas, a saber, a las de la asociación. (KrV B152)[19]
La
espontaneidad a la cual remite Kant en el pasaje anterior desempeña un papel
clave dentro de la geometría en general y dentro de la ontología de sus objetos
en particular[20]. En
aquella espontaneidad radica el hecho de que podamos producir objetos geométricos
independientemente de que algún fenómeno cuya forma corresponda a tales objetos
nos haya sido dado antes o nos sea dado en el momento presente[21].
De este
modo, nos es posible producir cualquier clase de objeto geométrico siempre y
cuando tal objeto se ajuste a la estructura del espacio. Con esto, entonces, se
acredita la comprensión esbozada hasta ahora de los objetos geométricos como
objetos formales, y más específicamente como siendo la forma espacial de algún
objeto de la experiencia posible. Aquello permite pensar que podemos
imaginarnos y producir un objeto matemático que no tenga un correlato en la experiencia,
en la medida en que no sea de hecho la forma espacial de ningún fenómeno, ya
que sólo basta con que pueda serlo. En caso contrario, nuestra capacidad para
estudiar objetos matemáticos estaría limitada a las formas que de hecho poseen
los objetos de la experiencia, lo cual claramente es incompatible con la
prácticamente ilimitada capacidad productiva de la matemática.
3.6
Definición
Volviendo
a “La disciplina de la razón en su uso dogmático” de la KrV, también resulta provechoso para esta investigación tomar en consideración
lo que allí sostiene Kant en relación a las
definiciones dentro de las matemáticas, en contraste con las pretendidas
definiciones dentro de la filosofía. Cabe recordar que estas observaciones
sobre las definiciones son introducidas por Kant después de haber distinguido a
la matemática de la filosofía por medio de la noción de construcción.
Kant
comienza presentando el significado de “definición” del siguiente modo: “Definir, como la expresión misma lo
indica, debe significar propiamente sólo exponer originariamente el concepto
detallado de una cosa, dentro de los límites de él” (KrV A727/B755). A continuación, muestra que los únicos conceptos
que pueden ser definidos, según el significado anterior, son los matemáticos,
mientras que a los conceptos empíricos corresponden explicaciones, a los
conceptos dados a priori corresponden
exposiciones y a los conceptos arbitrarios dependientes de condiciones
empíricas corresponden declaraciones[22]
—Kant pone como ejemplo de estos conceptos el barco-reloj (Schiffsuhr)— (cf. KrV
A727-729/B755-757). Estas tres últimas formas de conceptos no pueden recibir
propiamente definiciones porque nunca se puede tener completa seguridad de que
la pretendida definición haya recogido todas las notas que componen al
concepto. Kant, luego de descartar las opciones mencionadas, explica el caso de
los conceptos matemáticos del siguiente modo:
Por consiguiente, no quedan otros conceptos que sean aptos
para ser definidos, que aquellos que contienen una síntesis arbitraria que
pueda ser construida a priori; y, por
tanto, sólo la matemática posee definiciones. Pues el objeto que ella piensa,
lo exhibe ella también a priori en la
intuición; y éste, con seguridad, no puede contener ni más ni menos que el
concepto, porque mediante la definición el concepto del objeto fue dado
originariamente, es decir, sin deducir de ninguna parte la definición. (KrV A729-730/B757-758)
Un primer
aspecto que es posible destacar de la cita anterior es que los conceptos
matemáticos tienen definición en la medida en que son exhibidos a priori en la intuición, porque mediante
ello la naturaleza del objeto queda completamente recogida en las notas que
componen su concepto. Otro aspecto relevante es el carácter arbitrario (willkürlich) con el cual pensamos los
objetos matemáticos y, junto con ello, las definiciones de sus conceptos[23].
Ahora bien, conviene enfatizar que este carácter arbitrario no sólo es propio
de los conceptos matemáticos, sino también de aquellos conceptos arbitrarios
dependientes de condiciones empíricas. La diferencia entre ambos radica, tal como
se ha expuesto anteriormente, en que los conceptos matemáticos deben ser
construidos, es decir, expuestos a priori
en la intuición, lo cual implica que en las matemáticas no se puede definir
cualquier objeto, sino sólo lo que es acreditable por medio de una remisión a
la intuición pura. En ese sentido, podría afirmarse que lo que se hace en
particular mediante las definiciones geométricas es identificar ciertas
estructuras que están ya contenidas en la naturaleza del espacio, las cuales
corresponderían a los objetos geométricos.
4.
A modo de conclusión
A
lo largo del anterior recorrido de ciertos pasajes, se ha presentado una
propuesta para comprender la naturaleza de los objetos geométricos dentro de la
filosofía de Kant. Se ha observado que, en virtud de que estos son limitaciones
del espacio, comparten su mismo estatus ontológico, de modo que podemos
llamarlos, siguiendo a Kant, “entia
imaginaria”. Aquello significa que los objetos geométricos propiamente no
existen —lo cual explica que se los pueda encontrar dentro de la tabla de la
nada—, puesto que, desde el punto de vista de un intelecto finito como el
nuestro, sólo se puede reconocer como existente aquello que tiene una
localización espacio-temporal. Sin embargo, lo
anterior no implica necesariamente que los objetos geométricos sean (una forma
de) nada en sentido estricto, sino que poseen una cierta naturaleza o realidad,
puesto que corresponden a la forma espacial de los fenómenos, de los objetos de
una experiencia posible. Aquellas formas espaciales pueden ser reconocidas,
incluso independientemente del hecho de que un determinado fenómeno nos sea
dado en la intuición, por medio de la facultad que Kant denomina “imaginación
productiva” —por ello podría ser apropiado calificar a los entes geométricos
como “imaginarios”—. Por último, dado que aquellas estructuras espaciales que
constituyen a los objetos geométricos pueden ser identificadas por nosotros de
modo completo, sólo de los conceptos matemáticos hay definiciones en sentido
estricto, puesto que no podemos saber si las notas que constituyen a las demás
clases de conceptos recogen de modo completo la naturaleza de los objetos que
caen bajo ellos.
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