Sobre
el “triángulo general” de Locke
Evert
Willem Beth
University of Amsterdam,
Holanda
(Traducción de Javier Fuentes*)
1.
Introducción: Interpretación de Kant y apologética de Kant
La comprensión y evaluación de
la filosofía de Kant se dificulta considerablemente por el hecho de que la
extensa literatura sobre la interpretación de Kant está dedicada en parte a la
apologética de Kant. Aquello es psicológicamente muy comprensible: quien no
esté convencido de la significatividad, e incluso de la fundamental corrección
de esta filosofía, difícilmente se sentirá llamado a someterse al esfuerzo de
un estudio tan exhaustivo como el que se requiere para su interpretación. Sin
embargo, esta tendencia apologética tiene también consecuencias muy
indeseables, las cuales me gustaría presentar aquí muy brevemente.
La apologética de Kant se basa
principalmente —consciente o inconscientemente— en dos postulados, a saber, i)
Kant dio a su filosofía una expresión muy clara e inequívoca, y ii) no se puede
esperar que Kant, en cuanto uno de los más grandes pensadores de todos los
tiempos, cometa un error sustancial. La asunción de estos postulados lleva
además a que en vista de una lucha por esta filosofía —tal como ésta se da, por
ejemplo, en el importante libro de Aebi[1]— se argumente del siguiente
modo: “El intento de probar un error en Kant debe ser considerado como absurdo
desde el principio. Un intento tal se podría aceptar si Kant hubiese presentado
su filosofía de manera poco clara. Pero éste no es el caso. La presentación de
Kant es completamente evidente. Pero, quien no posea la inteligencia o la
preparación como para entender todo inmediatamente, puede remediarlo fácilmente
consultando uno de los comentarios aún más fácilmente entendibles. El intento
mencionado es no sólo absurdo, sino también completamente imperdonable. Debe
basarse en el hecho de que algo de lo que Kant y sus comentadores han explicado
de forma tan clara y evidente ha sido, sin embargo, entendido incorrectamente por
estupidez, ignorancia o falta de voluntad. Ahora bien, aquello es así, porque
leemos en la página... etc.”
El presente trabajo no está
pensado como una contribución a la apologética de Kant. Sólo debe servir para
aclarar una cuestión específica, aunque importante, la cual, en mi opinión, aún
no ha recibido un tratamiento satisfactorio.
2. La
filosofía de Kant y la geometría no-euclidiana
Si uno considera no sólo la
forma de la apologética de Kant, sino también su contenido, uno se encuentra
con argumentos realmente curiosos también en el detalle. Por ejemplo, encontré
en un trabajo reciente[2] la
siguiente observación a propósito del libro de Aebi:
Así,
por supuesto, se repite la constante afirmación sobre una incompatibilidad de
la doctrina kantiana con los logros de la metageometría. No es una sorpresa que
se interprete la doctrina de tal manera que se piense que la mente “comparte”
con el objeto la forma del espacio, la cual éste no tiene anteriormente consigo,
“como si, por ejemplo, tuviéramos primero impresiones de las cualidades del
color, pero sin que estuviesen extendidas espacialmente”.
Esto sólo puede significar lo
siguiente:
1)
La doctrina kantiana no es incompatible con los logros de la metageometría.
2)
Sin embargo, la incompatibilidad se sigue
afirmando una y otra vez.
3)
Tales afirmaciones se basan siempre (o
normalmente) en una cierta interpretación de la doctrina kantiana.
4)
Toda interpretación que implique la mencionada
incompatibilidad es falsa.
5)
La interpretación correcta de la doctrina
kantiana, al igual que su compatibilidad con los logros de la metageometría, es
evidente.
6)
Por ello, la incompatibilidad sólo puede ser
afirmada por no-kantianos que no conocen la doctrina kantiana.
Sin embargo, los numerosos
kantianos que han discutido la importancia de la metageometría para la
filosofía de Kant (o bien, para el kantismo) están en completo desacuerdo entre
ellos. Se pueden distinguir, a grandes rasgos, tres opiniones, a saber:
1)
La metageometría es incompatible con la doctrina
kantiana y, por lo tanto, debe ser rechazada.[3]
2)
La metageometría apoya la doctrina kantiana.[4]
3)
La metageometría no tiene ninguna importancia
determinada para la doctrina kantiana, al igual que para la filosofía en general.[5]
Nos ocuparemos exclusivamente
de las opiniones 1) y 2), ya que indican una importante diferencia en la
interpretación de la concepción de Kant en relación al papel de la intuición en
la prueba geométrica.
3. El
papel de la intuición en la prueba geométrica
En primer lugar, discutimos una
opinión defendida, por ejemplo, por L. Nelson[6], según la cual el papel de
la intuición se limita a proporcionar el fundamento de los axiomas geométricos:
“Supuestos los axiomas, todos los teoremas se siguen sin más por la mera forma
lógica del inferir; [...]”. Ahora bien, la geometría no-euclidiana puede
utilizarse como apoyo para la doctrina kantiana del espacio, si ésta se
interpreta en el sentido de Nelson.
Pasemos
ahora a la pregunta sobre qué relación tienen las investigaciones
no-euclidianas con el problema del origen de los axiomas matemáticos y qué enseñanzas
obtenemos para este problema a partir de aquellas investigaciones. Es conocida
cuán intensa controversia se ha desencadenado sobre esta cuestión desde la
publicación de los trabajos de von Helmholtz relativos a ella. Por una parte,
se pensaba que a causa de la geometría no-euclidiana se podía refutar la
doctrina de Kant sobre el origen intuitivo puro de los axiomas, mientras que,
por otra parte, se creía que a causa de la doctrina kantiana se debía rechazar el
proyecto completo de la geometría no-euclidiana [véase la opinión 1) arriba
mencionada], [...]
Por lo
tanto, en la medida en que los asuntos de la geometría no-euclidiana en general
se tocan con los de la doctrina kantiana, a saber, en relación al
descubrimiento de Kant sobre el origen no-lógico de los axiomas, podemos
afirmar entonces que las matemáticas más recientes han proporcionado, por un
camino independiente, una brillante confirmación del descubrimiento de Kant
[por lo tanto, Nelson sostiene aquí la opinión 2) mencionada].
Sin embargo, me parece que la
opinión de Nelson, a pesar de su inmanente perdurabilidad, es en cualquier caso
inaceptable como una interpretación de la doctrina del espacio de Kant, porque
una interpretación tal es incompatible con el hecho de que Kant haya atribuido reiteradamente
un papel importante a la intuición también dentro de la prueba geométrica[7]:
Sin
embargo, aborde el geómetra esta pregunta. Inmediatamente comienza a construir
un triángulo. [...] Mediante una cadena de inferencias, guiado siempre por la
intuición, llega de tal manera a una solución completamente iluminadora y al
mismo tiempo general de la pregunta.
Por lo
tanto, sólo la matemática contiene pruebas, porque no deriva su conocimiento de
los conceptos, sino de la construcción de los mismos, es decir, de la intuición
que se puede dar a priori
correspondiente a los conceptos.
Si se asume esta opinión en
relación a la prueba geométrica, entonces no
se puede concluir absolutamente nada
a partir de la posibilidad formal de una geometría no-euclidiana, es decir, a
partir de la independencia formal del axioma de las paralelas en relación a los
restantes axiomas de la geometría euclidiana, porque, si intentamos responder a
cualquier pregunta geométrica sobre la base de los restantes axiomas, entonces
siempre (según Kant) tenemos que construir antes una figura correspondiente.
Sin embargo, esta construcción ocurrirá conforme a las leyes inherentes a la
intuición, y por ello la respuesta euclidiana siempre surge en último término.
Por lo tanto, la distinción entre axiomas y teoremas claramente se vuelve nula;
esto también puede mostrarse en ciertas afirmaciones de Kant.
Entonces, ahora tenemos que
responder a la pregunta sobre cómo Kant llegó a atribuir una importancia tan
grande a la intuición en la prueba geométrica. En este contexto, tenemos que
considerar tanto la apelación efectiva a la intuición como la necesidad
fundamental de tal apelación.
Hölder[8] ha observado correctamente
que en la geometría antigua la apelación a la intuición no sólo se ejercía de
hecho con mayor frecuencia, sino que en algunos casos era incluso en cierto
sentido inevitable, ya que debía servir como sustituto para la apelación a
ciertos axiomas, especialmente a los así llamados “axiomas de orden”, los
cuales fueron introducidos por primera vez por M. Pasch (1882) y D. Hilbert
(1899).
Sin embargo, sería un error
creer que las discusiones de Kant se refieran exclusivamente a esta clase de apelación a la intuición y
que, por ello, queden anuladas sin más como consecuencia del establecimiento de
una axiomatización apropiada. Porque su observación: “Inmediatamente comienza a
construir un triángulo...” se aplica, al menos en cuanto descripción de su
comportamiento práctico, también al geómetra de la época de Hilbert. En este
contexto, me gustaría citar las siguientes palabras de Kant[9]:
Pero
construir un concepto significa exhibir a
priori la intuición correspondiente a éste. Por lo tanto, para la
construcción de un concepto se requiere una intuición no-empírica, la cual, por
consiguiente, en cuanto intuición es un objeto individual, pero que debe, sin
embargo, en cuanto construcción de un concepto (de una representación general),
expresar en la representación una validez universal para todas las intuiciones
posibles que pertenecen bajo el mismo concepto. Entonces, construyo un
triángulo exhibiendo un objeto correspondiente a este concepto, ya sea mediante
la mera imaginación, en la intuición pura, o sobre el papel de acuerdo con la
misma, en la intuición empírica, pero en ambos casos completamente a priori, sin haber tomado prestado de
ninguna experiencia el modelo para ello. La figura individual dibujada es
empírica y, sin embargo, sirve para expresar el concepto sin perjuicio de su
universalidad, porque en el caso de esta intuición empírica sólo se tiene en
cuenta la acción de construir el concepto, para el cual son completamente
indiferentes muchas determinaciones, por ejemplo, de la magnitud, de los lados
y de los ángulos, y por lo tanto se abstrae de estas diferencias que no alteran
el concepto del triángulo [...]
La
matemática [...] se dirige inmediatamente hacia la intuición, en la cual
considera el concepto in concreto,
aunque no empíricamente, sino meramente en una tal que ha exhibido a priori, es decir, construido, y en la
cual debe valer en general también para el objeto del concepto construido lo
que se sigue a partir de las condiciones generales de la construcción.
Estas consideraciones sólo
pueden entenderse en el contexto del así llamado “problema de Locke-Berkeley”.
Por lo tanto, nos dedicamos ahora a este famoso problema.
4. El
problema de Locke-Berkeley
Supongamos que queremos probar el
conocido teorema de la congruencia de los ángulos basales en un triángulo
isósceles. Como en general es sabido, procedemos entonces considerando primero
un triángulo específico, digamos 
, y asumiendo que
; después
mostramos que 
, y entonces
hemos probado la corrección de la afirmación en el caso específico considerado.
Luego se observa que la prueba es conclusiva para un triángulo arbitrario, por
lo tanto, la afirmación debe valer en general.
Locke[10] había interpretado este
modo de inferir de tal manera que la prueba no se refería a un triángulo
específico, sino a un “triángulo general”, y justamente por ello debía conducir
a un resultado de validez general.
Por
ejemplo, no se requiere ningún esfuerzo ni habilidad para formar la idea
general de un triángulo, [...] porque no debe ser ni oblicuo ni rectángulo, ni
equilátero, ni isósceles, ni escaleno; sino todos y ninguno de estos a la vez.
Por el contrario, Berkeley[11]
negó la existencia de tales ideas abstractas generales.
Pero
aquí se exigirá, ¿cómo podemos saber que
cualquier proposición es verdadera para todos los triángulos particulares, sino
porque primero la hemos visto probada
para la idea abstracta de un triángulo que concuerda igualmente con todos?
Pues, porque se pueda probar que una propiedad concuerda con algún triángulo
particular, no se seguirá de allí que pertenezca igualmente a cualquier otro
triángulo que en todos los respectos no sea el mismo que éste. Por ejemplo,
habiendo probado que los tres ángulos de un triángulo rectángulo isósceles son
iguales a dos rectos, no puedo entonces concluir que esta cualidad coincida con
todos los otros triángulos que no tienen ni un ángulo recto ni dos lados
iguales. Entonces, parece que, para estar seguros de que esta proposición es
universalmente verdadera, debemos, o bien hacer una prueba particular para cada
triángulo particular, lo cual es imposible, o bien probarla de una vez por
todas para la idea abstracta de un
triángulo, en la cual todos los particulares participan indistintamente y
por la cual todos están igualmente representados. A lo cual respondo que,
aunque la idea que tengo en vista mientras hago la prueba es, por ejemplo, la
de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados tienen una longitud
determinada, puedo sin embargo estar seguro de que se amplía a todos los otros
triángulos rectilíneos, del tipo o del tamaño que sean. Es verdad que el
diagrama que tengo en vista incluye todos estos detalles, pero no hay la menor
mención de ellos en la prueba de la proposición [...]
En mi opinión, la discusión de
Kant arriba citada representa una especie de fusión de la solución de Locke con
la de Berkeley, porque las “determinaciones, por ejemplo, de la magnitud, etc.”
son atribuidas explícitamente por Kant sólo
a la “figura individual dibujada”, y ésta corresponde, por lo tanto, al
“triángulo particular” de Berkeley; de tales determinaciones, “que no alteran
el concepto del triángulo”, se “abstrae en el caso de esta intuición empírica”.
Sin embargo, tales determinaciones le corresponden al objeto “mediante la mera
imaginación, en la intuición pura”, ya que hay que[12] “generar (por,
construcción)” lo que por sí mismo se proyecta y representa a priori según conceptos, y no se
permite, “para conocer con seguridad algo a
priori... atribuir nada a la cosa”, “sino lo que necesariamente” se sigue a
partir de lo que “se había puesto en ella conforme a su concepto mismo”. Por lo tanto, el triángulo construido en la
intuición corresponde a la “idea general de un triángulo” de Locke. Por
ello, se pueden formular contra él todas las objeciones que Berkeley había
planteado en relación a la “idea general” de Locke.
Me gustaría mencionar muy
brevemente algunos de los restantes intentos de solución, los cuales no
faltaron ni siquiera en la época postkantiana.
(1) Beneke[13] sostuvo la opinión según la
cual la consideración, exigida por Berkeley, de todas las figuras de la clase pertinente tiene efectivamente lugar:
En
primer lugar, no hay duda de que tal comparación infinita se puede
efectivamente realizar; en algunos casos se puede probar esto incluso de modo inmediatamente intuitivo. Tómese
el teorema geométrico mencionado anteriormente (de la suma de ángulos en el
triángulo). Si giro en un círculo el punto angular opuesto a la línea basal
extendida y simultáneamente con ello (girando las líneas auxiliares e
igualmente la prueba completa) hago intuitivo, en un progreso constante, que la
relación indicada tiene lugar en todas las posiciones del triángulo e
igualmente (lo que está conectado inmediatamente con esto) en todas las
relaciones de magnitud: ¿he comparado en ello una cantidad finita o infinita de
casos?
Encontramos una opinión similar
en Kroman[14],
quien añade la siguiente observación:
Estoy
convencido de que todo principiante concienzudo e independiente a quien se le
presenten dudas sobre uno u otro punto procederá de tal manera. Sin embargo,
paulatinamente logrará la capacidad de ganar un panorama semejante tan
rápidamente que ya no tendrá idea de que ha realizado una larga operación de
intuición. Se quiere decir que se ve el todo con una inmediatez incomprensible,
y se tiene razón en que es efectivamente incomprensible qué clase de trabajo
titánico pueda realizar en un instante la conciencia ejercitada. Sin embargo,
no hay razón para ayudarse de algo a
priori.
Numerosos autores[15]
han coincidido con las opiniones de Beneke y Kroman, incluso también Mach[16],
quien, por lo demás, niega la “dudosa velocidad del rayo” de Kroman.
(2) Los autores más recientes,
de los cuales ya hemos mencionado a Hölder en el apartado 3, destacan por lo
general el hecho de que el establecimiento de una axiomatización apropiada hace
superflua cualquier apelación a la intuición; en relación a esto, se afirma
entonces que es innecesario considerar en primer lugar una figura específica de
la clase pertinente en la forma arriba indicada. En este sentido Couturat[17]
escribe:
En
cuanto a aquella repetida afirmación de Kant según la cual la matemática
considera siempre lo general en lo particular, e incluso en lo singular y lo
concreto, ésta no está justificada. Incluso en la geometría sintética, a la
cual ésta parece aplicarse, si se traza una figura para probar un teorema,
nunca se razona sobre las propiedades particulares de la figura, sino sólo
sobre sus propiedades generales, las cuales son comunes a todas las figuras del
mismo género consideradas por el teorema.
Schlick[18] se expresa de un modo
similar. Por lo tanto, esto haría desaparecer el problema de Locke-Berkeley.
Sin embargo, esta opinión se opone a nuestra observación de arriba según la
cual también el geómetra moderno, en cualquier caso fácticamente, se concentra
regularmente en la consideración de una figura específica y sólo después
efectúa la generalización necesaria de su resultado.
La supuesta solución, que
consiste en afirmar que la figura específica considerada representa todas las figuras de la clase
pertinente, es poco más que una ignoratio
elenchi, porque el problema se refería precisamente a la posibilidad, no
tan evidente desde el principio, de que todas
estas figuras estuvieran representadas por sólo una de ellas.
(3) Independientemente del tono
psicológico de sus explicaciones, creo que Hume[19] se ha acercado más a la
solución correcta del problema. Cabe señalar que supone la discusión de
Berkeley.
Pues
ésta es una de las circunstancias más extraordinarias del presente asunto, a
saber, que después de que la mente ha producido una idea individual sobre la
cual razonamos, la costumbre que la acompaña, revivida por el término general o
abstracto, sugiere inmediatamente cualquier otra idea individual, si por azar
formamos algún razonamiento que no coincida con ella. Así, si mencionamos la
palabra ‘triángulo’ y formamos la idea de un triángulo equilátero particular
correspondiente a ésta, y si después afirmamos que los tres ángulos de un triángulo son iguales entre sí, las otras ideas
individuales de un triángulo escaleno e isósceles, que pasamos por alto al
principio, se amontonan inmediatamente sobre nosotros y nos hacen percibir la
falsedad de esta proposición [...]
Pero, antes de proceder a la
presentación de la solución correcta según mi punto de vista, debo preparar
ahora las herramientas lógicas necesarias. Esto ocasionará una digresión sobre
la silogística de Aristóteles, y se mostrará que una cuestión completamente
análoga al problema de Locke-Berkeley apareció ya en la antigüedad.
5.
Sobre la justificación de la lógica elemental
Recientemente he logrado[20]
ofrecer una estructura semánticamente justificada de la así llamada “lógica
elemental”, la cual no sólo parece en sí misma sumamente útil, sino que también
se corresponde de modo muy preciso a nuestra forma “natural” de pensar. Será
suficiente explicar brevemente con un ejemplo el curso de pensamiento que yace
a la base de esta estructura.
Extraemos nuestro ejemplo de la
serie de problemas de la lógica tradicional, intentando justificar el silogismo
según el modo CAMESTRES. Por lo tanto, tendremos que probar que, a partir de
las premisas: (1) Todos los P son M,
(2) Ningún
S es M,
la conclusión: (3) Ningún S es P,
se
sigue lógicamente; en otras palabras, tenemos que ofrecer la
prueba de que, para cada elección de los términos 
, 
y 
que hace verdaderas las proposiciones (1) y
(2), también la proposición (3) es verdadera.
|
Verdadero |
Falso |
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Ofrecemos esta prueba con ayuda de la tabla semántica que está arriba.
a) En primer lugar, tenemos que
explicar el simbolismo lógico. Los símbolos “
” y “
”
significan “no” y “si…, entonces”. Las letras “”, “” y “”
representan términos cualesquiera, y se asume que la letra “
”
indica un cierto objeto individual. Las letras “
”, “
” y “
” son variables que “recorren” un cierto
universo de objetos individuales;
significa que cada individuo en
el universo satisface la condición 
b) Ahora podemos motivar la
construcción de la tabla semántica de la siguiente manera. Esta tabla
representa un intento sistemático de determinar el universo y los términos , y de tal manera que las proposiciones (1) y (2)
se vuelvan verdaderas, mientras que la proposición (3) se vuelva falsa. El
éxito de este intento significaría claramente que a partir de las premisas (1)
y (2) no se sigue lógicamente la
conclusión (3).
Las líneas (l)-(3) expresan
simplemente las condiciones que hay que imponer a los términos buscados. Si la
proposición (3) es incorrecta, entonces debe haber un valor de la variable “” que
no satisfaga la condición “
”.
Llamemos a este valor “”,
obtenemos entonces la línea (4). Sin embargo, si la proposición “
” se
muestra como falsa, entonces “
” debe
ser verdadera y “
”
falsa, por lo tanto, “” debe
ser verdadera; tenemos entonces las líneas (5)-(7). Aplicando ahora (1) y (2)
al individuo ,
encontramos además (8) y (11).
Podemos hacer “
”
verdadera de dos maneras, a saber, (i) ocupándonos de que “” se
vuelva falsa, y (ii) ocupándonos de que “
” se
vuelva verdadera. En consecuencia, nuestra tabla se divide en dos subtablas (i)
y (ii). Pero “” no
puede ser al mismo tiempo verdadera según (7) y falsa según (9); luego, la
subtabla (i) no puede ofrecer los términos buscados y por lo tanto se cierra. “
”
provoca una nueva división de (ii) en las subtablas (iii) y (iv), las cuales
deben igualmente cerrarse.
Con ello nuestro intento
finalmente ha fallado. Sin embargo, ya que hemos procedido sistemáticamente,
nos damos cuenta ahora de que los términos , y no pueden elegirse absolutamente de ninguna
manera tal que las proposiciones (1) y (2) se vuelvan verdaderas, mientras que
la proposición (3) se vuelva falsa; en otras palabras: la proposición (3) es
una consecuencia lógica de las
proposiciones (1) y (2).
c) Ahora efectuamos una
reordenación de la tabla semántica dejando que las fórmulas de la columna
derecha sigan, pero en orden inverso, a las fórmulas de la columna izquierda,
las cuales mantienen su orden original. Se suprime una ocurrencia múltiple de
la misma fórmula.
La secuencia de fórmulas así
obtenida tiene ahora el carácter de una deducción
formal de la conclusión (3) a partir de las premisas (1) y (2).
|
(1) |
|
(prem) |
|
(2) |
|
(prem) |
|
(5) |
|
(+ hip 1) |
|
(7) |
|
(+ hip 2) |
|
(8) |
|
(1) |
|
(10) |
|
(7) y (8) |
|
(11) |
|
(2) |
|
(13) |
|
(5) y (11) |
|
(6) |
|
(— hip 2) |
|
(4) |
|
(— hip 1) |
|
(3) |
|
(concl) |
En primer lugar, añadimos a las
premisas “concedidas” (1) y (2) las hipótesis 1 y 2, las cuales son
posteriormente eliminadas. Aquella parte de la deducción que ocurre “bajo la
hipótesis l” o “bajo la hipótesis 2” está marcada por líneas, o bien interrumpidas,
o bien ininterrumpidas. La línea (8) se sigue a partir de la línea (1) sobre la
base del dictum de omni, la línea
(11) se sigue a partir de la línea (2) del mismo modo. Obtenemos la línea (10)
a partir de las líneas (7) y (8) aplicando el modus ponens, [y obtenemos] la línea (13) a partir de las líneas
(5) y (11) del mismo modo. Ahora bien, las líneas (10) y (13) se contradicen
entre sí; hacemos responsable de esta contradicción a la hipótesis 2; por lo
tanto, obtenemos la línea (6) ex absurdo
y hemos eliminado la hipótesis 2. Luego eliminamos la hipótesis 1 aplicando el modus ponens inverso (teorema de la
deducción o principio de condicionalización). Sin embargo, la conclusión (4) ya
no depende de ninguna suposición relativa al individuo , por
lo tanto, puede generalizarse. Así obtenemos la conclusión deseada (3).
Aunque la discusión anterior[21]
es suficiente para nuestros propósitos, me gustaría mencionar que el curso de
pensamiento presentado puede extenderse al campo completo de la lógica proposicional
clásica y la teoría de la cuantificación, y que proporciona una justificación
muy útil para el teorema de completud de Löwenheim-Skolem-Gödel-Henkin, al
igual que para otros resultados importantes de las metamatemáticas.
6. El
problema de Locke-Berkeley en la antigüedad
La deducción de la regla para
CAMESTRES presentada en la sección 5 no se encuentra en Aristóteles, sin
embargo, él parece sugerir una deducción muy similar en relación a la
justificación de (i) la regla para la conversión de una premisa I, (ii) la
regla para DARAPTI y (ii) la regla para BOCARDO. En cualquier caso, estas así
llamadas “pruebas por exposición” (ἔκθεσις) son interpretadas por Alejandro de
tal modo que juega un papel un objeto individual (αἰσθητόν); por ello, tales
pruebas ocurren δι᾽ αἰσθήσεως y no συλλογιστικῶς.
Łukasiewicz, a cuyo libro[22]
agradezco esta información, defiende la opinión según la cual Alejandro (1)
interpreta incorrectamente los pasajes pertinentes en Aristóteles[23] y
(2) niega el carácter conclusivo de las pruebas por exposición, y que (3) si la
interpretación de Alejandro fuera correcta, la prueba por exposición no sería
de hecho una prueba lógica: “una prueba por percepción no es una prueba
lógica”.
Sin embargo, considero este
punto de vista como totalmente infundado. La deducción presentada en la sección
5 tiene exactamente el carácter de una prueba por exposición descrito por
Alejandro, porque se “expone” un objeto individual . Una
derivación tal es “natural” en el
sentido de que se debe dar con ella si no se tiene una opinión preconcebida
sobre la forma en que una prueba debe realizarse y si se tiene presente sólo el
significado exacto de las premisas y la conclusión. Es completamente conclusiva y puramente lógica. La percepción del “individuo expuesto” no juega, obviamente, ningún
papel en absoluto. Si es descrito como un αἰσθητόν, aquello ocurre simplemente
porque según Aristóteles una sustancia individual sólo se conoce por medio de
la percepción. Y si según Alejandro la prueba por exposición se realiza δι᾽
αἰσθήσεως y no συλλογιστικῶς, aquello significa sólo que una prueba tal está
fuera de lugar dentro de la silogística pura, donde sólo se deben aceptar
términos generales, no objetos individuales (por ello también en la lógica
tradicional se encuentra la expresión “syllogismus
expositorius” para una inferencia que contiene así llamados “términos
singulares”[24]).
Sin embargo, el problema de
Locke-Berkeley se aborda aquí superficialmente. Pero también hay lugares donde
Aristóteles[25]
plantea esta pregunta (aunque muy brevemente) y la responde correctamente.
Por
ello, se afirma también que se debe suponer algo falso, al igual como también
los geómetras suponen que algo es de un pie de largo, aunque no sea en absoluto
de un pie de largo. Pero eso no es posible de ningún modo. Porque los geómetras
no suponen algo falso (ya que una premisa tal no se acepta en la deducción
formal) [...]
Es superfluo entrar en esta
discusión en detalle aquí.
7.
Solución del problema de Locke-Berkeley
Ahora investigaremos en detalle
la prueba del teorema de la congruencia de los ángulos basales de un triángulo
isósceles. Ya que daremos a esta prueba la forma de una deducción formal, será
necesario añadir la siguiente notación al simbolismo usual de la geometría
elemental: escribimos 
para indicar que los puntos 
, 
y 
tienen una localización en un triángulo, es
decir, que no yacen sobre una línea recta. Podemos entonces expresar los
axiomas requeridos de la siguiente manera[26]:
El teorema a probar recibe la
siguiente forma:
En primer lugar, construimos
nuevamente la tabla semántica correspondiente a la prueba. Nos permitimos
introducir sólo las fórmulas que efectivamente resultan en la conclusión de la
tabla semántica. Luego, la tabla se convierte en una deducción formal de la
manera ya conocida.
|
Verdadero |
Falso |
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(A partir de esta fórmula resultan claramente cinco columnas, las cuales todas, sin embargo, se cierran, como puede verse fácilmente.) |
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|||
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|
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|
(1)-(4) |
Véase arriba |
(prem) |
|
(7) |
|
(+ hip 1) |
|
(9) |
|
(7) |
|
(10) |
|
(7) |
|
(11) |
|
(1) |
|
(13) |
|
(9) y (11) |
|
(14) |
|
(2) |
|
(16) |
|
(10) y (14) |
|
(17) |
|
(3) |
|
(18) |
|
|
|
|
|
(4) |
|
(19) |
|
|
|
|
|
(9), (10), (13),
(16), (17) |
|
(8) |
|
(18) y (19) |
|
(6 |
|
(— hyp 1) |
|
(5) |
Véase arriba |
(concl) |
Ahora bien, el resultado de
este procedimiento proporciona la solución
definitiva al problema de Locke-Berkeley. Porque la deducción formal tiene
exactamente el carácter descrito por Berkeley y Kant. En la línea (7) se
introduce por primera vez un triángulo específico , del
cual se supone que es isósceles, los axiomas (l)-(4) se aplican a , y
luego en la línea (6) se justifica la afirmación del teorema para .
Después se elimina la suposición (7) y finalmente se generaliza el resultado
referente al .
No hemos apelado de ningún modo
a la intuición geométrica y, por lo tanto, se pregunta cómo se puede justificar
el último paso de la prueba. Sin embargo, esta pregunta se resuelve
inmediatamente si recurrimos sólo a la tabla semántica. Porque el último paso
de la prueba se señala allí por el hecho de que transitamos desde la línea (5)
hacia la línea (6). Y esta transición se basa, obviamente, sólo en el significado de la palabra “todos” o bien en la interpretación de los cuantificadores “
”, “
” y “
”: si
la proposición:
debiese ser falsa, entonces también debiese haber
valores de las variables “”, “” y “” que
no satisfagan la condición “
”. Y si
llamamos a estos valores “
”, “
” y “
”,
claramente tenemos “
”. Pero
a partir de esta transición semánticamente justificada en la tabla semántica
resulta inevitablemente el paso final de nuestra prueba.
Señálese aquí nuevamente la
situación totalmente análoga de nuestra justificación anterior del silogismo
según el modo CAMESTRES. Esta analogía llega tan lejos que incluso P. A. Lange[27]
empleó la misma (de forma bastante consecuente, por cierto) como apoyo para su
punto de vista según el cual también la lógica formal (y especialmente la
silogística) se basa en la intuición espacial.
8. La
distinción de Kant entre juicios analíticos y sintéticos
Me gustaría ahora vincular los
resultados de las consideraciones anteriores sobre el problema de
Locke-Berkeley con una discusión sobre la distinción de Kant entre juicios
analíticos y sintéticos. Ya que tampoco hay una interpretación generalmente
aceptada en relación a esta distinción, me gustaría presentar brevemente mi
punto de vista de nuevo, el cual he explicado en detalle en otro lugar[28].
i) En general entre los
kantianos[29]
se busca en vano una determinación conceptual claramente delimitada.
Aparentemente sienten que las explicaciones de Kant no necesitan ser mejoradas
o incluso no pueden serlo. Sin embargo, contra ello se puede objetar que Kant
explicó la distinción sólo en relación a los juicios categóricos y no también
en relación a los juicios hipotéticos y disyuntivos.
ii) En algunos no-kantianos[30]
encontramos la siguiente explicación: los juicios analíticos son aquellos cuya
verdad (o falsedad) es determinable exclusivamente sobre la base de leyes
lógicas generales, por lo tanto, coinciden con las así llamadas “tautologías” o
“identidades lógicas” (y “contradicciones lógicas”); todos los juicios
restantes son sintéticos. Aunque esto aparentemente coincide bastante bien con
las propias palabras de Kant, creo poder mostrar que esta aparente coincidencia
es engañosa.
iii) Una interpretación
correcta es sugerida (lamentablemente sólo de manera breve) por Überweg[31] y
también —implícitamente— por Schopenhauer[32].
La forma descuidada en que Kant
explica la distinción, llamada por él “clásica” en los escritos del período
crítico, se puede atribuir, creo, a su opinión según la cual ya ha ofrecido una
discusión más detallada de la misma anteriormente, la cual el lector puede, por
lo tanto, consultar si es necesario. Ahora bien, una discusión tal puede
encontrarse, como es bien sabido, en el tratado de Kant Sobre la nitidez (1764). Se puede probar por comparación textual que
las ideas principales de este tratado fueron introducidas por Kant en la Crítica de la razón pura[33].
Sin embargo, hubo cambios importantes que me gustaría presentar aquí, ya que
nos conducen directamente hacia los problemas centrales de la filosofía crítica.
i) En el tratado Sobre la nitidez se distinguen, en
primer lugar, dos formas de pensar o dos métodos de investigación, a los cuales
me gustaría denominar “método sintético” y “[método] analítico”, ampliando consecuentemente
la terminología de Kant.
En primer lugar, se discuten
las definiciones a las que conduce
cada uno de los dos métodos. Una definición sintética proporciona un nuevo
concepto mediante una combinación totalmente arbitraria de conceptos dados. Sin
embargo, si se exige una definición analítica, entonces el concepto a definir
está dado siempre desde el principio, pero es aún confuso e indeterminado; la
definición debe dar al concepto la claridad y determinidad deseadas. No
obstante, no puede ser arbitraria, sino que debe corresponder bajo cualquier
aspecto al concepto dado originalmente.
La distinción hecha por Kant
está, al parecer, perfectamente justificada y es completamente valiosa. Cuando
en la matemática se definen conceptos como trapezoide,
cuadrilátero cíclico, punto de acumulación o conjunto compacto de puntos, se trata entonces
obviamente de definiciones sintéticas; pero cuando en la jurisprudencia se
definen conceptos como interés o propiedad, entonces se trata —en su
mayoría— de definiciones analíticas.
Ahora bien, a esta distinción
en el ámbito de la definición o de la formación conceptual corresponde una
distinción en el ámbito de la prueba. Si inferimos sobre la base de
definiciones analíticas, entonces siempre tenemos que tener en cuenta la
posibilidad de que estas definiciones no se ajusten exactamente a los conceptos originalmente dados. Por ello, tenemos
que prestar atención a no extraer conclusiones que sean formalmente coherentes
con las definiciones, pero no con los conceptos originalmente dados. Esto
significa que no debemos proceder formalmente en el concluir, sino que siempre
debemos consultar los conceptos originalmente dados.
Sin embargo, no hay que temer
tales dificultades en el caso de las definiciones sintéticas. Por ello, sobre
la base de las mismas podemos inferir de manera puramente formal, sin consideración
de un concepto dado desde un principio. Incluso es posible asignar a los
conceptos ciertos símbolos que en su composición expresan la definición de los
conceptos. Con la ayuda de tales símbolos, el inferir lógico puede reducirse
entonces a una aplicación de operaciones según cálculo.
Según Kant, las matemáticas
deben utilizar el método sintético, mientras que la filosofía debe utilizar el
método analítico. “En la matemática el significado de los signos es seguro,
porque es fácil darse cuenta de cuál se les quiso brindar. En la filosofía en
general, y en la metafísica en particular, las palabras obtienen su significado
a través del uso del lenguaje...”[34].
En este contexto, ahora es
comprensible también cómo Kant podía describir el principio de contradicción
como el principio de todos los juicios analíticos[35]. Este principio es
claramente interpretado por él no sólo como un principio formal del inferir
lógico, sino también como una regla obligatoria para cualquier uso
significativo del lenguaje.
También quisiera destacar que
la concepción defendida aquí por Kant sobre el definir y el inferir matemáticos
coincide ampliamente con la así llamada “concepción axiomática” actual.
El método empírico se considera
en el tratado Sobre la nitidez, por
así decirlo, como una variante del método analítico. Por lo tanto, la filosofía
está vinculada con las ciencias naturales, y ambas en conjunto se oponen a las
matemáticas. Esto concuerda totalmente con los puntos de vista de los filósofos
naturales ingleses de la escuela de Newton, como Keill y Friend, cuya
influencia es adecuadamente destacada por Cassirer[36].
(ii) Sin embargo, a este
respecto la Crítica muestra un
desplazamiento sorprendente. Porque Hume había convencido a Kant de que los
juicios causales nunca pueden ser justificados de manera puramente empírica, de
que el nexo causal debe ser más bien determinado en cada caso sintéticamente.
Con ello, el método sintético amplía su ámbito de aplicación a las ciencias
naturales, en las cuales sustituye al método analítico. Los juicios científicos
son en parte sintéticos a posteriori,
pero también en parte sintéticos a priori.
Los últimos están claramente relacionados con los juicios matemáticos, los
cuales son también sintéticos a priori.
Para el método analítico queda, por lo tanto, sólo el ámbito de la filosofía.
No obstante, ahora surge un
delicado problema de acuerdo con este desarrollo. Como se ha dicho, Kant
considera el principio de contradicción como el principio de todos los juicios
analíticos. ¿Hay también para los juicios sintéticos —y especialmente para los
juicios sintéticos a priori— un
principio tal?
Si esta cuestión se hubiera
planteado a Kant hacia 1764, entonces probablemente habría rechazado la
asunción de tal principio como superflua; la aplicación del método sintético se
basaba, según su opinión de entonces, en la introducción de definiciones
completamente arbitrarias. Si ese es el caso, entonces no se puede comprender
en absoluto cómo un principio cualquiera podría encontrar por completo aplicación.
Sin embargo, en 1781 la
situación cambió de manera decisiva. Porque si la ciencia natural contiene
juicios sintéticos a priori, entonces
el método sintético se muestra como capaz de justificar juicios reales; pero
entonces es claramente imposible que este método, como Kant había supuesto
anteriormente, proceda fundamentalmente a partir de determinaciones
arbitrarias. Entonces, si a las definiciones de conceptos como trapezoide, punto de acumulación, etc. no se les puede atribuir un carácter analítico,
y por lo tanto si no se pueden considerar estos conceptos como dados desde un
principio y su definición no necesita tener en cuenta el uso del lenguaje,
entonces esto no significa de ningún modo que la aplicación del método
sintético no esté sujeto a ninguna restricción. Más bien, tenemos que responder
la pregunta: ¿cuáles condiciones —cuyo cumplimiento permite en primer lugar
justificar los juicios reales— son inherentes a la aplicación del método
sintético? O, como sabidamente lo expresa Kant[37]: “¿Cómo son posibles los
juicios sintéticos?” La respuesta de Kant a esta pregunta[38] es conocida:
En una
lógica trascendental aislamos el entendimiento (tal como la sensibilidad en la
estética trascendental anteriormente), y destacamos de nuestro conocimiento
meramente la parte del pensamiento que tiene su origen sólo en el
entendimiento. Sin embargo, el uso de este conocimiento puro se basa en que,
como su condición, nos estén dados objetos en la intuición a los cuales aquél
se pueda aplicar. Porque sin intuición todo nuestro conocimiento carece de
objetos, y entonces éste queda completamente vacío. Entonces, la parte de la
lógica trascendental que presenta los elementos del conocimiento puro del
entendimiento y los principios sin los cuales no se puede pensar en absoluto
ningún objeto es... al mismo tiempo una lógica de la verdad.
ii) La adopción de esta opinión
ha provocado, a su vez, un desplazamiento que es muy preocupante. Éste se
refiere al término “construcción de un
concepto”. Aunque este término no aparece en el tratado Sobre la nitidez, corresponde a una idea
muy clara e inequívoca propuesta por Kant, según la cual un concepto definido
sintéticamente se genera por la combinación arbitraria de los conceptos
definitorios. Queremos hacer uso de una comparación textual[39] aquí.
|
Sobre
la nitidez 1ª Consideración §1 Se puede llegar a cualquier
concepto general de dos maneras, o bien por la combinación arbitraria de
conceptos, o bien por la separación de aquel conocimiento que se ha hecho
claro por descomposición. La matemática nunca hace definiciones sino del
primer modo. ... Aquí la explicación claramente surge por la síntesis. Con las definiciones de la
filosofía es bastante diferente. Aquí el concepto de una cosa ya está dado,
pero confuso o no suficientemente determinado. Debo descomponerlo... |
Crítica
de la razón pura A 730 ... que las definiciones
filosóficas sólo como exposiciones de conceptos dados, mientras que las definiciones
matemáticas como construcciones de conceptos hechos, aquellas sólo
analíticamente por descomposición… éstas son producidas sintéticamente y, por
lo tanto, hacen el concepto mismo, por el contrario, las primeras sólo lo
explican. |
No hay duda, creo, de que Kant
recurrió conscientemente a los
resultados de su trabajo anterior cuando redactó su Crítica. Ahora explicaré 1. que
en ello le ocurrió un desplazamiento serio, 2. por qué cometió este error, y 3. cómo pudo dejar que ocurriera un desplazamiento tan escandaloso.
1. En el tratado Sobre la nitidez, como ya se ha
indicado, se puede hablar de la construcción de un concepto en la matemática
sólo en la medida en que el concepto en la definición se haya construido, por
así decirlo, sobre los términos definitorios. Un método tal de formación de
conceptos fue, como es bien sabido, sugerido en un sentido muy general
especialmente por Leibniz, pero Kant, tal como el filósofo holandés Bernard
Nieuwentyt[40]
anteriormente, lo restringió fundamentalmente a las matemáticas. Sin embargo,
en la Crítica no se construye el
concepto mismo, sino más bien el objeto correspondiente a éste en la intuición.
No obstante, la discusión en el tratado se presupone tácitamente y, por
ejemplo, se prescinde de una reformulación precisa de la distinción “clásica”
entre juicios analíticos y sintéticos.
2. Los motivos de Kant para lo que también podría denominarse como una
revisión de su antigua concepción ya han sido discutidos en su mayor parte. Él
había interpretado las consideraciones de Hume en relación a los juicios causales
como una prueba de que el método sintético también era capaz de justificar
juicios reales. Por ello, este método no podía basarse en supuestos puramente
arbitrarios, sino que debía tener a la base una objetualidad intuitivamente
dada. Este punto de vista, en principio sólo justificado en relación a las
ciencias naturales, se extendió luego a la matemática. La “construcción del
concepto”, originalmente pensada como la construcción a partir de los conceptos
definitorios del concepto definido, se reinterpretó como una construcción del
objeto intuitivo. Una reinterpretación tal debía conducir a la solución del
problema de Locke-Berkeley. Estas observaciones, creo, forman una motivación
suficiente para el intento de Kant de revisar a fondo su concepción anterior,
pero no justifican por sí mismas el resultado de esta revisión.
3. Ya hemos notado que, después
de la reinterpretación realizada por Kant de sus doctrinas presentadas en el
tratado Sobre la nitidez, las razones
allí introducidas por él han sido mayormente abandonadas. Pero ¿cómo se puede
explicar que Kant no haya visto esto y que no hiciera el intento de justificar
nuevamente su doctrina del método sintético y analítico en la Crítica (ya que allí se trata
fundamentalmente de una doctrina tal)? En primer lugar, debemos considerar que
Kant, por medio de la mayor eficacia de su doctrina revisada, ya estaba subjetivamente convencido de su
corrección, y precisamente por ello podía fácilmente subestimar las
dificultades conectadas con su justificación. En segundo lugar, sin embargo, en
la formulación de su antigua doctrina ya hay algo que indica su
reinterpretación posteriormente realizada. En este contexto, me gustaría
realizar nuevamente una comparación textual.
|
Sobre
la nitidez 1ª Consideración §2 ...entonces apelo... en
primer lugar a la aritmética, tanto la general… como aquella de los
números... En primer lugar, en ambas se ponen, en vez de las cosas mismas,
sus signos, con las designaciones particulares de su aumento o disminución,
sus relaciones, etc., y posteriormente se procede con estos signos según
reglas fáciles y seguras… de modo que, en ello, las cosas mismas designadas
sean dejadas completamente fuera de los pensamientos... En segundo lugar,
para conocer p. ej. las propiedades de todos los círculos, se dibuja en la
geometría uno en el cual, en lugar de todas las posibles líneas que se
intersectan entre sí dentro del mismo, se dibujan dos. A partir de éstas se
prueban las relaciones, y en las mismas se considera in concreto la regla general de las relaciones de las líneas que
se intersectan en todos los círculos. |
Crítica
de la razón pura A 734 Incluso el procedimiento del
álgebra con sus ecuaciones, a partir de las cuales produce la verdad por
reducción junto con la prueba, no es una construcción geométrica, sino
característica, en la cual los conceptos, sobre todo los de la relación de
magnitudes, ... se exponen… y todas las conclusiones están protegidas ante el
error por medio de que cada una de ellas se presente ante los ojos. |
La analogía asumida por Kant
entre la geometría y la aritmética (o el álgebra) claramente no existe. Porque
en la aritmética, si se procede de la manera descrita por él, los objetos de la
reflexión, los números mismos, no se presentan en la intuición, sino que más
bien se dejan de lado completamente. Sin embargo, la yuxtaposición de ambos
ejemplos oculta la distinción entre el antiguo y el nuevo punto de vista de
Kant. Porque el procedimiento de la geometría corresponde aproximadamente a su
posterior punto de vista de una “construcción del concepto”, mientras que el
procedimiento de la aritmética y el álgebra se ajusta más bien a su punto de vista
antiguo.
9.
Conclusión
Al principio de este trabajo
enfaticé que no es mi intención hacer una contribución a la apologética de
Kant. Debo dejar que el lector juzgue si aquí se trata de una contribución a la
polémica en torno a Kant. Estaré satisfecho si he logrado mostrar que Kant
sostenía originalmente una opinión sobre la matemática que presenta muchos
puntos de contacto con las opiniones más extendidas de nuestro tiempo, y que
más tarde abandonó esta opinión en favor de una muy profundamente divergente.
Creo que este punto de vista puede aportar algo para disminuir las dificultades
que hoy están vinculadas con la interpretación de Kant[41].
