Kant
sobre el método matemático
JAAKKO
HINTIKKA
Universidad
de Boston, USA
(Traducción
de Rafael Reyna Fortes*)
1. EL MÉTODO MATEMÁTICO SE RESUELVE EN CONSTRUCCIONES
De acuerdo con Kant, “el conocimiento matemático es el
conocimiento obtenido por la razón a partir de la construcción de conceptos”.
En este artículo, haré algunas sugerencias acerca de cómo debe entenderse esta
caracterización del método matemático.
La caracterización
es dada al final de la Crítica de la razón pura, en el primer capítulo
de la Doctrina trascendental del método (A713/B741).[1]
En este capítulo, Kant da una serie de observaciones adicionales sobre el
asunto del método matemático. Estas consideraciones no han sido examinadas con
suficiente atención por la mayoría de los estudiosos de los escritos de Kant.
Frecuentemente, han sido tratadas como un tipo de apéndice a las teorías más
conocidas de Kant respecto a espacio y tiempo, presentadas en la Estética
trascendental. En este artículo, también quiero llamar la atención sobre el
hecho de que la relación de las dos partes de la primera crítica es, en gran
medida, notablemente diferente de su concepción más habitual.
Para
volver a la caracterización kantiana: el primer término importante que contiene
es la palabra ‘construcción’. Este término es explicado por Kant al decir que
construir un concepto es lo mismo que exhibirlo, a priori, en una intuición que
corresponde al concepto.[2]
Construcción, en otras palabras, es equivalente a la transición de un concepto
general a una intuición que representa el concepto, dado que esto se hace sin
recurrir a la experiencia.
2.
UNA INTERPRETACIÓN CORRIENTE DE LAS CONSTRUCCIONES KANTIANAS
¿Cómo debe entenderse este término ‘construcción’? No
es sorprendente encontrarlo en una teoría de las matemáticas, ya que fue, en
tiempos de Kant, un uso establecido en, al menos, una parte de las matemáticas
y, en particular, en geometría. Es, por tanto, natural, asumir que lo que Kant
tiene en mente en primer lugar en el pasaje citado con anterioridad, son las
construcciones de los geómetras. También puede parecer plausible decir que la
referencia a la intuición en la definición de la construcción está pensada para
preparar la base para la justificación del uso de tales construcciones, que
Kant da en la estética trascendental. ¿Qué garantía hay, si la hubiera, de
asegurar que las construcciones matemáticas son siempre posibles? Newton había
encontrado la única fundamentación de las construcciones geométricas en lo que
él llamó ‘práctica mecánica’ (ver el prefacio de los Principia). Pero,
si esto es así, entonces, la certeza de la geometría no es mayor que la certeza
de la mera práctica mecánica. Puede parecer natural que la apelación kantiana a
la intuición sea designada para proveer de una mejor fundamentación a las
construcciones geométricas. Kant parecería estar diciendo que no hay necesidad
de construir una figura sobre un trozo de papel o en una pizarra. Todo lo que
tenemos que hacer es representar la forma en cuestión por medio de la
imaginación. Este procedimiento estaría justificado por el resultado de la
estética trascendental, si es que éste puede ser aceptado. Ya que lo que se ha
mostrado de modo manifiesto es que todas las relaciones geométricas son
dependientes de la estructura de nuestra sensibilidad (nuestro aparato
perceptivo, si preferimos el término); por esta razón, pueden ser representados
completamente en la imaginación sin ayuda de las impresiones sensibles.
Esta
interpretación es la base de una crítica frecuente a la teoría kantiana de las
matemáticas. Se dice, o es dado por hecho, que en matemáticas se puede
prescindir de las construcciones en el sentido geométrico de la palabra. Todo
lo que tenemos que hacer aquí es desarrollar ciertos argumentos lógicos que
pueden ser completamente formalizados en términos de la lógica moderna. La
única razón por la que Kant pensó que la matemática se basa en el uso de la
construcción fue que las construcciones eran necesarias en la geometría
elemental de su tiempo, derivada, en la mayoría de los casos, casi directamente
de los Elementa de Euclides. Pero esto fue solo una característica
accidental de ese sistema geométrico, y lo fue a causa de que el conjunto de
los axiomas y postulados de Euclides era incompleto. Para probar todos los
teoremas que Euclides quería probar era, por tanto, insuficiente desarrollar un
argumento lógico. Él tenía que preparar un diagrama o figura de modo que él
pudiera apelar tácitamente a nuestra intuición geométrica que, de este modo,
podría suplir las asunciones latentes que él había omitido. Se afirma, por
tanto, que la teoría kantiana de las matemáticas surge al tomar como un rasgo
esencial de toda la matemática algo que sólo era una consecuencia de un defecto
en la axiomatización particular de la geometría euclidiana.[3]
Esta
interpretación, así como las críticas basadas en ella, no es irrelevante como
objeción a la completa teoría kantiana del espacio, del tiempo y de las matemáticas
tal y como aparece en la Estética Trascendental. Me parece, sin embargo, que no
hace justicia al modo en que Kant llegó realmente a su teoría. No da cuenta
suficientemente de las consideraciones precríticas de la matemática, e incluso
parece fallar a la hora de dar sentido a los argumentos por medio de los cuales
Kant intentó probar su teoría. Por tanto, no nos da la posibilidad de exponer
completamente los verdaderos argumentos de Kant sobre espacio, tiempo y
matemáticas, o criticarlos con justicia. No es tanto falso como estrecho.
3. LA
NOCIÓN KANTIANA DE INTUICIÓN
Empezamos a tomar en consideración la insuficiencia de
la anterior interpretación cuando examinamos la noción de construcción más en
detalle. La definición de este término hace uso de la noción de intuición.
Tenemos que preguntar, por tanto: ¿qué pretendía decir Kant con el término
‘intuición’? ¿Cómo definió él ese término? ¿Cuál es la relación de esa noción
de intuición con lo que estamos acostumbrados a asociarle?
La interpretación
que he bosquejado brevemente antes asimila la noción kantiana de una intuición
a priori a lo que podemos llamar imágenes mentales. Intuición es algo que
puedes poner ante los ojos de la mente, algo que puedes visualizar, algo que
puedes representar a tu imaginación. Este no es, sin embargo, para nada el
significado básico que Kant mismo quiso dar a la palabra. De acuerdo con su
definición, presentada en el primer parágrafo de sus lecciones de lógica, toda
idea particular, a diferencia de los conceptos generales, es una intuición. En
otras palabras: todo lo que en la mente humana representa un individuo es una
intuición. No hay, podría decirse, nada de ‘intuitivo’ en las intuiciones así
descritas. La ‘intuitividad’ [o el carácter intuitivo]
significa, simplemente, individualidad.[4]
Por
supuesto, sigue siendo verdadero que más tarde, en su sistema, Kant llegó a
hacer intuitivas las intuiciones de nuevo, y lo hace, en particular, arguyendo
que todas nuestras intuiciones humanas están vinculadas a la sensibilidad, es
decir, con nuestra facultad de percepción sensible. Pero tenemos que mantener
en la mente que esta conexión entre intuiciones y sensibilidad no fue tomada
por Kant como una mera consecuencia lógica de la definición de intuición. Al contrario,
Kant insiste a lo largo de toda la Crítica de la razón pura, que no es
impensable que otros seres puedan tener intuiciones por medio de otros
sentidos.[5]
La
conexión entre sensibilidad e intuición era, para Kant, algo que debía ser
probado, y no algo que deba ser asumido.[6] Las pruebas que él dio
para asumir esta conexión (en el caso de los seres humanos) son presentadas en
la Estética Trascendental. Por tanto, estamos en nuestro derecho de asumir la
conexión entre sensibilidad e intuiciones solo en aquellas partes del sistema
kantiano que son lógicamente posteriores a la Estética Trascendental.
4.
LA PRIMACÍA SISTEMÁTICA DE LA TEORÍA KANTIANA DEL MÉTODO MATEMÁTICO
Mi principal sugerencia para una
interpretación de la teoría kantiana del método matemático, como la presentada
al final de la primera Crítica, es que esta teoría no es posterior, sino más
bien sistemáticamente previa a la Estética Trascendental. Si esto es así, se
sigue que, dentro de esta teoría, el término ‘intuición’ debería ser tomado en
el sentido ‘no intuitivo’ que Kant le dio al definir esta noción. En
particular, la caracterización kantiana de las matemáticas como basadas en el
uso de las construcciones tiene que ser tomada como queriendo decir meramente
que, en matemáticas, uno está todo el tiempo introduciendo representaciones
particulares (particular representatives) de
conceptos generales, y desarrollando argumentos en los términos de tales
representaciones particulares, argumentos estos que no pueden ser desarrollados
solamente por medio de conceptos generales. Puesto que, si la metodología de
las matemáticas kantiana es independiente de sus pruebas para conectar
intuiciones y sensibilidad en la Estética, e incluso antes de ella, entonces,
no tenemos dentro de la teoría kantiana del método matemático ninguna
justificación en absoluto para asumir una conexión tal. Es decir, ninguna
justificación para dar a la noción de intuición otro significado que el que le
da Kant por medio de su propia definición.
Hay,
de hecho, muy buenas razones para concluir que la discusión del método
matemático en la Doctrina del método es previa y presupuesta por la discusión
kantiana típicamente crítica del espacio y el tiempo en la Estética
Trascendental. Uno de ellos debería ser suficiente: en Prolegomena, en
el trabajo en el cual Kant quiso dejar clara la estructura de su argumento, él
apela explícitamente a sus discusiones de la metodología de las matemáticas al
final de la Crítica de la razón pura al comienzo y durante el argumento que
corresponde a la Estética Trascendental, haciendo así explícita la dependencia
de la última sobre la primera. Esto ocurre tanto cuando Kant discute la
sinteticidad de las matemáticas (Prol. AA: IV, 272) como cuando discute
su carácter intuitivo (Ibidem, 282; cf. p. 266).
Otra
razón persuasiva es que, en momentos decisivos de la Estética Trascendental,
Kant por intuiciones quiere decir precisamente lo que su propia definición nos
dice. Por ejemplo, él argumenta como sigue acerca del espacio: “El espacio no
es… Un concepto de relaciones de cosas en general, sino una intuición pura. Ya
que… nos podemos representar solo un espacio… El espacio es, esencialmente,
uno; su multiplicidad y, por tanto, también el concepto universal de espacios, depende solamente de la introducción de
limitaciones. Por consiguiente, se sigue que una… intuición subyace a todos los
conceptos de espacio” (A24-25 = B39). Aquí, el carácter intuitivo es inferido
directamente de la individualidad, y no quiere decir otra cosa que la última.
5.
LA PRIMACÍA HISTÓRICA DE LA TEORÍA KANTIANA DEL MÉTODO MATEMÁTICO
Pero me temo que, a pesar de las
excelentes razones que pueda haber para revertir el orden de la exposición
kantiana en la primera Crítica, y para poner antes de la Estética
Trascendental la discusión de las matemáticas en la Methodenlehre, mis
lectores podrían estar aún poco convencidos de ellas. ¿Pudo Kant realmente no
haber querido decir nada más que esto con su caracterización del método
matemático? ¿Pudo él haber pensado que el hecho de que los matemáticos hagan
uso de casos especiales de conceptos generales, mientras que los filósofos no,
sea una peculiaridad importante del método de los matemáticos, a diferencia del
método de los filósofos? ¿No es sugerir esto llevar la definición kantiana de
intuición demasiado lejos?
Pienso
que la respuesta a esto es que hubo un tiempo en el que Kant creyó que una de
las principales particularidades del método matemático es considerar
representaciones particulares de conceptos generales.[7] Este punto de vista fue
presentado en el texto precrítico premiado de 1764. Su interpretación es
bastante independiente de los escritos críticos kantianos. En particular, la
formulación de esta teoría precrítica de Kant no involucra para nada la noción
de intuición. Se sigue, por tanto, que la idea del método matemático como
basado en el uso de conceptos generales in concreto,
es decir, en la forma de instanciaciones individuales, era el punto de partida
de las consideraciones más elaboradas de las matemáticas. Si la lectura que
sugiero de la caracterización kantiana de las matemáticas es o no exhaustiva,
esto es, si intuición allí significa o no algo más que una idea particular, en
cualquier caso, esta lectura es la única desde la que tenemos que empezar a
intentar entender las consideraciones kantianas sobre la matemática.
Es
útil observar en este punto que la lectura de Kant que estoy sugiriendo no es
enteramente incompatible con la otra interpretación más tradicional. Por un
lado, una imagen mental completamente concreta representa un particular y, por
tanto, una intuición en el sentido de la definición más amplia. Por otro lado,
las instanciaciones particulares de conceptos generales son frecuentemente más
fáciles de tratar que los conceptos generales mismos; son mucho más intuitivos,
en el sentido ordinario de la palabra, que los conceptos generales. Las dos
interpretaciones no están en desacuerdo de manera tan amplia a como pudiera
parecer a primera vista. Lo que realmente las hace distintas es si Kant tuvo
alguna vez en mente, además de las intuiciones ‘habituales’, en el sentido de
representaciones mentales o imágenes, otros entes individuales que son
efectivamente usados en argumentos matemáticos. Pienso que esto es algo que
debemos tomar en consideración.
6.
KANT SOBRE EL ÁLGEBRA
De hecho, si miramos más de cerca a la
verdadera teoría de las matemáticas tal y como se presenta en el final de la
Crítica de la razón pura, veremos que algunas cosas se nos hacen más obvias si
tenemos en mente la noción de intuición como una idea particular en
contraposición a los conceptos generales. Habitualmente, se lee la teoría
kantiana del método matemático a la luz de lo que él dice en la Estética
Trascendental. En otras palabras, se lee ‘intuición’ como si significara una ‘representación
mental’ o ‘una imagen ante el ojo de nuestra mente’, o algo de este género.
Pero entonces se hace muy difícil entender por qué Kant se refiere al álgebra y
a la aritmética como basadas en el uso de la intuición. La utilidad de usar los
símbolos algebraicos no es, ciertamente, proveernos a nosotros mismos con
imágenes o representaciones mentales más vívidas. Los académicos han intentado
reconciliar las afirmaciones de Kant sobre el álgebra y la aritmética con sus
doctrinas críticas tal y como aparecen en la Estética Trascendental. El
resultado de estos intentos es recogido adecuadamente, pienso, por el Profesor
C. D. Broad, en un conocido ensayo sobre ‘la teoría kantiana del razonamiento
matemático y filosófico’, donde él dice que “Kant no ha dado en absoluto una
teoría del razonamiento algebraico”.[8] Esto es, en mi opinión,
completamente correcto si leemos la descripción kantiana del método matemático
a la luz de lo que él dice en la Estética Trascendental. Pero entonces, la idea
de Broad se vuelve, me parece, casi una reductio ad absurdum de la
asunción de que la Estética Trascendental es, en la mente de Kant, lógicamente
previa a la discusión de las matemáticas del final de la primera Crítica. Ya
que, en esta asunción, las afirmaciones que Kant hace sobre aritmética y
álgebra no son solo privadas de su verdad, sino también de su significado. Si
la Estética Trascendental fuera lógicamente previa a la metodología kantiana de
las matemáticas, se haría completamente incomprensible lo que realmente Kant
podría haber querido decir con sus afirmaciones sobre aritmética y álgebra que
tan obviamente están en desacuerdo con sus teorías profesadas.
Por
otro lado, si asumimos que por ‘intuición’ Kant solo quiso referirse a una
representación de un individuo cuando él trataba sobre aritmética, un número de
cosas, aunque no necesariamente todas, se vuelven obvias. Si podemos asumir que
los símbolos que usamos en álgebra sirven como números individuales, entonces
se vuelve trivialmente verdadero decir que el álgebra está basada en el uso de
intuiciones, es decir, en el uso de representaciones de individuos, a
diferencia de conceptos generales. Al fin y al cabo, las variables del álgebra
elemental comprenden los números y no toman los predicados de los números como
sus valores sustitutivos, como sí podrían hacer las variedades de la
silogística formalizada. Entonces, podemos también entender lo que Kant tenía
en mente cuando llamó construcciones a las operaciones algebraicas, tales como
la suma, la multiplicación y la división. ¿Qué ocurriría si, al combinar
nosotros en álgebra dos letras, a y b, con un signo funcional,
digamos f o g o + o · o :, obteniendo
así una expresión como f(a, b) o g(a, b),
o a+b, a·b o a:b? Esas expresiones,
obviamente, hacen referencia a números individuales o, más generalmente, a
magnitudes individuales, habitualmente, a individuos diferentes a los que
hacían referencia a y b. Lo que ha pasado, por tanto, es que
hemos introducido una representación para un nuevo individuo. Y una tal
introducción de representaciones para nuevos individuos, es decir, nuevas
intuiciones, era justo lo que, de acuerdo con la definición kantiana, ocurre
cuando construimos algo. Se puede decir que los nuevos individuos representan
los conceptos ‘la suma de a y b’, ‘el producto de a y b’,
etc.
Las
afirmaciones de Kant sobre el álgebra, por tanto, adquieren un significado
natural bajo una interpretación, muy distinto al de la cuestión de si este
significado es reconciliable, en último término, con lo que Kant dice en la
Estética Trascendental. Podríamos decir que el propósito del uso de Kant del
término ‘intuición’ en este punto es decir que el álgebra es nominalista
en el sentido de Quine: el único valor aceptable de las variables son individuos.
7.
KANT SOBRE LAS ECUACIONES ARITMÉTICAS
Las afirmaciones de Kant sobre aritmética
presentan un problema algo más complicado. No las trataré aquí completamente,
aunque se podría mostrar que estas se alinean con la interpretación que estoy
sugiriendo. Solo hay un punto que quiero tratar aquí.
En
el caso de la aritmética de números pequeños, tales como 7, 5 y 12, la lectura
ordinaria de las afirmaciones de Kant no es implausible. Lo que Kant parece
estar diciendo es que para establecer que 7+5=12 tenemos que visualizar los
números 7, 5 y 12 por medio de puntos, dedos o alguna otra ilustración
adecuada, de modo que podamos inmediatamente percibir la ecuación deseada. Él
incluso llega a decir que las ecuaciones como 7+5=12 son inmediatas e
indemostrables (A164 B204). Esto no es fácil de reconciliar con el hecho de que
Kant, en cualquier caso, describió un procedimiento que sirve, le podamos
llamar o no prueba, para establecer la verdad de la ecuación en cuestión, y que
él dijo que su interpretación se hace más natural al aplicarse a números
grandes (B16). Espero ser capaz de mostrar más tarde lo que Kant quiso decir al
afirmar que las ecuaciones como 7+5=12 son ‘inmediatas’ e ‘indemostrables’. Él
no pretendió decir que la ecuación puede ser establecida sin un argumento que
podríamos llamar una prueba. ‘Inmediatas’ e ‘indemostrables’ no servían para
distinguir percepciones inmediatas de un argumento articulado, sino para
distinguir una cierta subespecie de argumentos particularmente claros de otro
tipo de pruebas. La interpretación ordinaria de la teoría kantiana, por tanto,
yerra aquí también. Intentaré más tarde echar un vistazo a la interpretación
correcta.
8. EUCLIDES COMO PARADIGMA PARA KANT
Un buen modo de llegar a entender la
teoría kantiana de las matemáticas es preguntar: ¿cuáles eran los paradigmas
sobre los cuales fue modelada esta teoría? El paradigma más obvio y, de hecho,
uno reconocido por el propio Kant, era el sistema euclidiano de la geometría
aritmética.[9]
Al comienzo de este trabajo vimos que una crítica habitual de la teoría
kantiana de las matemáticas está basada en una comparación entre la teoría de
Kant y el sistema de Euclides. Sin embargo, me parece que no es suficiente dar
una vaga comparación general. Es mucho más útil preguntar con precisión la
presentación de Euclides en la que Kant estaba pensando en su teoría. En vista
de la interpretación de la noción kantiana de intuición que he sugerido, la
cuestión cambia: ¿hay algo en particular en el procedimiento de Euclides que
apoye la idea de que las matemáticas están basadas en el uso de instancias
particulares de conceptos generales?
Es
fácil ver que sí lo hay. Ya que, ¿cuál es la estructura de una proposición en
Euclides? Habitualmente, una proposición consiste en 5 (o algunas veces, 6)
partes.[10] Primero hay una enunciación
de una proposición general. Por ejemplo, en la proposición 20 de los Elementa:
“en cualquier triángulo, dos lados tomados de cualquier modo,
son más grandes que el restante.” Esta parte de la proposición fue llamada la
πρότασιϛ.
Sin
embargo, Euclides nunca hace nada solamente sobre la base de la enunciación. En
toda proposición, él primero aplica el contenido de la enunciación a la figura
particular que él asume que debe trazarse. Por ejemplo, después de haber
enunciado la proposición 20, Euclides continúa diciendo: “sea un triángulo ABC.
Yo digo que en un triángulo ABC, dos lados tomados de cualquier manera
son más grandes que el restante, a saber, BA y AC son más grandes
que BC; AB y BC más grandes que CA; BC y CA
más grandes que AB.” Esta parte de la proposición euclidiana era llamada
exposición o ecthesis (ἔκθεσιϛ, en latín, expositio).
Quizá no es un accidente que Kant usara el equivalente alemán para exponer (Darstellen)
al explicar su noción de construcción, y que él usara el término exposición
para un proceso análogo al de la construcción matemática.
La
exposición o ecthesis está estrechamente relacionada a lo siguiente, o
la tercera parte de la exposición euclidiana, la construcción auxiliar.
Esta parte era frecuentemente llamada la preparación o aparato
(κατασκευή). Consistía en afirmar que la figura construida en la exposición
debía ser completada dibujando ciertas líneas, puntos y círculos adicionales. En
nuestro ejemplo, la preparación se lee como si: “sea BA trazado a través
del punto D, sea DA hecho igual a CA, y séale unido DC.”
La
construcción era seguida por la apodeixis (ἀπόδειξιϛ) o prueba,
propiamente. En la prueba no se desarrollaban consideraciones adicionales, lo
que ocurría era que eran extraídas una serie de inferencias en relación con la
figura que debía ser introducida en la exposición, y completada en la
construcción auxiliar. Estas inferencias hacían uso (1) de axiomas, (2) de
anteriores proposiciones, y (3) de las propiedades de la figura que se siguen
del modo en que fue construida.
Después
de alcanzar la conclusión deseada sobre la figura particular, Euclides volvía
de nuevo a la enunciación general, diciendo, por ejemplo, ‘por tanto, en cualquier
triángulo, … etc.’.
9.
‘ECTHESIS’ COMO UN PARADIGMA DE LA CONSTRUCCIÓN KANTIANA
Cuando esta estructura de una proposición
euclidiana se compara con la noción kantiana del método matemático, el acuerdo
es obvio. La idea de Kant de la geometría era, puede decirse, euclidiana en más
de un sentido de la palabra. Cuando Kant dice que el método de los matemáticos
es siempre considerar conceptos generales in concreto,
en una aplicación particular, él tiene en mente el proceso de exhibición o ecthesis
de una proposición euclidiana, donde una proposición geométrica general es
‘mostrada’ o ‘exhibida’ por medio de una figura particular. Esto debe su origen
a los ejemplos por medio de los que Kant explica su teoría del método
matemático. Él dice que la superioridad del método matemático sobre el
filosófico en geometría yace en el hecho de que el matemático puede trazar
figuras reales y desarrollar pruebas a partir de tales figuras. Por ejemplo, si
un filósofo (qua filósofo) intenta probar que la suma de los ángulos
internos de todo triángulo es igual a dos rectos, se limita, dice Kant, a
analizar los conceptos de ‘línea recta’, ‘ángulo’ y ‘tres’, y es incapaz de
llegar a ningún lado. Un matemático, en cambio, puede trazar una figura de un
triángulo, completarla por medio de construcciones adicionales (es decir,
introducir en el argumento nuevas líneas, círculos… etc. adecuadas). Y, de este
modo, hacer obvia la proposición que ha de ser probada. (Véase
A716-717/B744-745).[11]
Este
ejemplo muestra que, además de la exposición o ecthesis de una
proposición euclidiana, Kant también tenía en mente la parte de la proposición
que sigue a la ecthesis, es decir, la preparación o aparato. La
exhibición y la preparación eran las dos partes de una proposición euclidiana
donde las construcciones se realizaban en el sentido habitual de la palabra; y
hemos visto que esas dos partes eran también las únicas en las cuales se
requerían construcciones en el sentido abstracto de la palabra, es decir, donde
se introducían nuevos puntos individuales, líneas… etc. Dentro de la geometría,
la noción kantiana de construcción coincide con el uso ordinario de
‘construcción’.
Este
resultado de nuestra comparación entre Kant y Euclides apoya lo que dijimos anteriormente.
Muestra que la noción kantiana de construcción se corresponde con un caso
especial de la noción geométrica habitual de construcción. Ahora bien, las
construcciones de tipo geométrico no tienen que tener
lugar en la mente humana. En general, se desarrollan en un trozo de papel o en
la pizarra. Lo común a todas estas construcciones es que se introducen nuevas
líneas, puntos o círculos. Si esas entidades geométricas son pensadas como
individuos, ellas encajan dentro de la definición general kantiana de una
intuición. No hay necesidad, por tanto, de asumir que las construcciones de la
geometría significan para Kant algo más de lo que somos capaces de llamar
construcción.
Pero
esto no es todo lo que podemos sacar de esta comparación. Si echamos un vistazo
algo más de cerca a la relación entre la teoría kantiana del método matemático
y la práctica de Euclides, la relación permite sugerir varias consideraciones
de la teoría kantiana. Aquí solamente mencionaré algunas de ellas.
10.
MÉTODOS ANALÍTICO Y SINTÉTICO
En geometría existe una antigua distinción
entre dos tipos de método. Por un lado, está el método de asumir un resultado
deseado que debe ser alcanzado, por ejemplo, cuando asumimos que hemos tenido
éxito al realizar la construcción deseada en el sentido ordinario de
‘construcción’. A partir de estas asunciones, uno argumenta, entonces, por
decirlo de algún modo, ‘hacia atrás’, [es decir,] hacia las condiciones sobre
las cuales son posibles estas construcciones, así como hacia los modos en que
pueden efectuarse. Esto se llama ‘método analítico’. Algunas veces se ha
adscrito a Platón, pero no fue empleado explícita y sistemáticamente a gran
escala hasta la geometría analítica de Descartes, cuyo mismo nombre se deriva
del método ‘analítico’ en cuestión. El otro método era el sintético. Al
aplicarlo, uno intenta efectuar el resultado deseado, por ejemplo, cuando
hacemos una construcción deseada al desarrollar, efectivamente, la
construcción. Lo que distingue ambos métodos es, por tanto, hablando
ampliamente, el hecho de que en el método analítico no se hacen construcciones,
mientras que el método sintético se basa en el uso de las construcciones
reales.[12]
Kant
indica que lo que hace sintéticas a las matemáticas en general y a la
geometría en particular es el uso de las intuiciones, es decir, el uso de las
construcciones. Hemos visto que esta noción de construcción coincide, en
geometría, con el uso matemático ordinario del término ‘construcción’. Lo que
esto significa, entonces, es que la distinción kantiana entre método analítico
y sintético está modelada, al menos dentro de las matemáticas, por el empleo de
los matemáticos que era habitual en esa época. (Los matemáticos hoy en día aún
hablan de geometría sintética refiriéndose a aquella geometría que se pone en
marcha a partir del uso y el estudio de las construcciones geométricas). Esta
sugerencia se apoya en los propios comentarios de Kant sobre el asunto, que
sirven para delimitar su sentido de sintético, así como para conectarlo
explícitamente con las construcciones en un sentido casi geométrico. La
distinción entre analítico y sintético en geometría antes era empleada
habitualmente para separar dos métodos para encontrar una prueba deseada o
una construcción, o, en algunos casos, para separar los dos métodos de
exposición. Lo que Kant necesitaba era una distinción entre dos diferentes
medios de desarrollar una prueba. Para él, el paradigma de síntesis era,
precisamente, la síntesis en el sentido geométrico de la palabra, es decir, el
acabado de una figura por medio de la introducción de nuevas entidades
geométricas. Él distinguía esto del otro uso, que estaba basado en el paradigma
de proceder ‘inversamente’ de un fundamento hacia una consecuencia. Esta
diferencia es afirmada por Kant en pocas palabras en una nota al pie del primer
parágrafo de su Dissertatio del año 1770.[13]
11.
KANT Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA. ECUACIONES ‘INDEMOSTRABLES’
Hay otro modo en el cual un conocimiento
de las geometrías de Euclides y Descartes puede ayudarnos a entender a Kant.
Podemos hacer una observación particularmente interesante si comparamos la
geometría de Euclides con la de Descartes. De acuerdo con Descartes, la idea
principal de la geometría analítica era la de una correlación o analogía entre
las operaciones algebraicas y geométricas. Así como todo lo que necesitamos en
aritmética son las cuatro o cinco operaciones básicas de adición, sustracción,
multiplicación, división y extracción de raíces, exactamente de la misma
manera, dice Descartes,[14] en geometría necesitamos
de unas pocas operaciones básicas. Lo que nos interesa aquí es la analogía
entre operaciones algebraicas y geométricas, [y,] en particular, el hecho de
que las operaciones algebraicas correspondan a ciertas construcciones geométricas.
Pienso que esto da la clave para lo que Kant quiere decir al afirmar que las
ecuaciones aritméticas simples, tales como 7+5=12, son ‘inmediatas’ e
‘indemostrables’. Observamos esto si intentamos emitir el argumento por medio
del cual 7+5=12 es verificado en la forma de una proposición euclidiana. A
causa de la analogía entre operaciones algebraicas y construcciones
geométricas, la suma real de 7 y 5 corresponde a la tercera fase, es decir, a
la preparación o aparato de una proposición euclidiana. Las explicaciones de
Kant también muestran que, de acuerdo con él, los números 7 y 5 deben, de algún
modo, ser ‘mostrados’ o ‘expuestos’ antes de la misma operación de adición, en
analogía con la ‘ecthesis’ de una proposición euclidiana. (Esto es lo que
ilustran sus afirmaciones sobre “puntos o dedos”). Pero, entonces, ¿qué
corresponde en propiedad a la prueba, a la apodeixis? Obviamente, lo que
tenemos que hacer para demostrar que 7+5=12 es desarrollar la operación de
adición; la prueba propiamente se reduce a un mero mínimo, a la mera
observación de que el resultado de la suma es igual al resultado deseado, 12.
En un sentido perfectamente adecuado, por tanto, uno puede decir que ninguna
prueba (proper), ninguna apodeixis, es necesaria para establecer que
7+5=12. Esta ecuación es ‘inmediata’ e ‘indemostrable’ en el preciso sentido de
que puede realizarse por la mera construcción auxiliar o kataskeue de
una prueba euclidiana. A esto hacen referencia las afirmaciones de Kant. El
hecho de que esta fuese realmente la idea de Kant se muestra por una carta suya
a Schultz que data del 25 de noviembre de 1788. La diferencia principal es que,
en lugar de usar la terminología que pertenece a los teoremas de la geometría
euclidiana, Kant, en esta carta, hace uso de una terminología paralela que
pertenece a problemas geométricos.
Esto
es importante, pienso, más allá de la interpretación de pasajes particulares,
ya que muestra cómo Kant comprendió que debía entenderse el carácter intuitivo
de la aritmética. La inmediatez de las verdades aritméticas no es a causa del
hecho de que las ecuaciones simples como 7+5=12 sean percibidas como verdaderas
y que no se argumente para ello, sino [a causa] del hecho de que lo único que
tenemos que hacer para establecer unas ecuaciones tales es llevar a cabo la
computación. Esto permite explicar por qué Kant dijo que su interpretación de
las ecuaciones se comprende con más facilidad en conexión con números más
grandes (B16; véase A78/B104).
12.
ANALÍTICA DE LAS INFERENCIAS APODÍCTICAS
Sospecho que un pasaje particularmente
desconcertante de la primera Crítica recibe una explicación natural de
la misma manera que las afirmaciones en aritmética. Me refiero a la afirmación
que hace Kant en B14 cuando dice que todas las inferencias (Schlüsse) de los
matemáticos están basadas en el principio de contradicción “que requiere la
naturaleza de toda certeza apodíctica”. Este pasaje se vuelve más evidente si
tomamos a Kant literalmente, y entendemos que él se refiere solamente a la
parte apodíctica o a la ‘prueba propiamente dicha’ de una proposición
euclidiana. Tomada literalmente, la prueba propiamente dicha o apodeixis,
después de todo, es la única parte de la proposición euclidiana en la que se
extraen inferencias. Interpretada de este modo, la afirmación de Kant expresa
precisamente lo que se espera que sostenga en mi interpretación, a saber, que
la distinción entre, por un lado, apodeixis y, por otro lado, ecthesis
y la construcción auxiliar separa las partes analítica y sintética de un
argumento matemático.
13.
INTUICIONES HECHAS INTUITIVAS
¿Qué hemos logrado hasta ahora? Hemos
visto que, en la teoría kantiana del método matemático, presentada hacia el
final de la primera Crítica, uno debe tener en mente la posibilidad de
que por intuiciones Kant quisiera decir representaciones particulares de
conceptos generales. Hemos visto que, desde este punto de vista, una serie de
aspectos de la teoría kantiana del álgebra, de la aritmética y de la geometría
se hacen más evidentes. Sin embargo, se puede decir, la posibilidad de
intuiciones que no sean sensibles es descartada en la Estética Trascendental.
Allí, Kant argumenta que el uso de las intuiciones en matemáticas está basado
en las intuiciones de espacio y tiempo, y que esas intuiciones dependen de la
estructura de nuestra sensibilidad. No queda, por tanto, espacio en matemáticas
para intuiciones que no estén conectadas con la sensibilidad.
No
quisiera negar que esto es lo que dice Kant. Sin embargo, quiero señalar que el
desacuerdo entre la anterior interpretación de la metodología kantiana de las
matemáticas y su teoría del espacio y el tiempo en la Estética Trascendental no
desaprueban mi interpretación. La discrepancia entre las dos partes del sistema
kantiano desmiente mi lectura de Kant solamente si la interpretación de las
matemáticas dada en la Estética Trascendental es correcta. Kant afirma allí que
el uso de las intuiciones en matemáticas sólo puede entenderse si asumimos que
todas esas intuiciones dependen de nuestra sensibilidad. Ahora bien, si hay
intuiciones, es decir, variables individuales o ‘intuiciones’ de álgebra, que
no tienen relación con nuestra sensibilidad, entonces, no es que la única
conclusión posible sea que esas referidas intuiciones no sean para nada
intuiciones en sentido kantiano. La otra posibilidad es decir que ellas son
intuiciones genuinas, pero que Kant sencillamente se equivocó al decir que
todas las intuiciones empleadas en matemáticas son sinnlich, es decir,
que dependen de nuestra mente.
Pero
entonces queda por explicar cómo Kant llegó a considerar la doctrina
equivocada. He sugerido que la noción de método matemático como se presenta en
el uso de instancias individuales era el punto de partida de la más conocida
teoría kantiana de que todas las intuiciones que usamos en matemáticas dependen
de nuestra sensibilidad. ¿Qué hay en la noción de intuición [entendida] como
una instancia individual que nos haga pensar que esta conclusión es inevitable?
Hemos discutido el rol de las intuiciones en el sentido de representaciones de
individuos en álgebra, en aritmética y en geometría. ¿Cuáles son los rasgos
comunes de esos usos que sólo pueden explicarse de acuerdo con Kant asumiendo
que las intuiciones matemáticas son sensibles? ¿Cuál es el común denominador de
todas las ‘construcciones’ matemáticas que hemos discutido?
14.
‘ECTHESIS’ EN LÓGICA
Me parece que una generalización natural
está virtualmente contenida en el anterior análisis de las proposiciones
euclidianas. La parte más importante de la proposición euclidiana que es
intuitiva en sentido kantiano es la exhibición, la ecthesis. Ahora bien,
esta noción de ecthesis no solo aparece en la geometría griega. También
aparece en la lógica aristotélica. Aristóteles nunca explica explícitamente lo
que es el proceso llamado ecthesis, pero quizás podamos decir que hubo
un momento en el que Aristóteles pasó de las consideraciones que pertenecen al
término general hacia las consideraciones que pertenecen a representaciones
particulares de este término general. Por ejemplo, en Analytica priora
I, 2, 25a15, Aristóteles parece argumentar como sigue: si ningún A es B,
entonces, ningún B es A, ya que, si no fuera así, entonces,
algunos B serían A. Tómese un particular b de este tipo.
Este particular b tiene tanto la propiedad B y la propiedad A,
y muestra, por tanto, que es imposible que ninguno de los A sea un B,
como hemos asumido. Esta contradicción prueba la conclusión. Un pasaje
posterior (Analytica priora I, 41, 49b33ss.) parece indicar que
Aristóteles consideró que la ecthesis lógica era esencialmente la misma
que la geometría.[15]
Sugiero
que esta noción de ecthesis ofrece una muy adecuada reconstrucción de la
noción kantiana de construcción, es decir, de la noción de la exhibición de un
concepto general por medio de representaciones particulares. Concuerda muy
bien, como vemos, con el modo en que Kant define la noción de construcción. Su
uso en lógica aristotélica puede explicar, quizás, por qué Kant criticó (en el
ensayo sobre la ‘falsa sutileza de las cuatro figuras del silogismo’) ciertas
partes de esta lógica. Él llegó al punto de rechazar, en efecto, todos los
modos silogísticos excepto los dos primeros modos de la primera figura. Quizás,
la explicación puede estar en el hecho de que la aplicación particular de ecthesis
que acabo de bosquejar estaba pensada para probar una de las reglas de
conversión que Aristóteles necesitaba para reducir todos los modos silogísticos
a los dos primeros modos. Dado que el uso de ecthesis era, para Kant, un
método de razonamiento típicamente matemático, él no pudo usarlo en lógica como
lo hizo Aristóteles. Por esta razón, Kant no pudo reducir todos los modos
silogísticos a los dos modos de Barbara y Celarent, que él
reconoció como los básicos, y se vio forzado a rechazar los otros como
‘impuros’ y ‘confusos’.
La
noción de ecthesis puede hacerse más precisa en términos de la lógica
moderna.[16]
En efecto, se vuelve idéntica a una de las más importantes reglas de inferencia
de la teoría de cuantificación (instanciación existencial). Y en términos de la
así reconstruida noción de ecthesis podemos ver en qué sentido la
ecuación 7+5=12 puede decirse basada en el uso de representaciones particulares
de conceptos generales, es decir, en el uso de ecthesis. Sin embargo,
nos llevaría demasiado lejos profundizar en esta cuestión aquí.[17]
15.
¿PARTICULARES PARTICULARMENTE INTUITIVOS?
Concluiré este trabajo bosquejando muy
brevemente, en términos no kantianos, cómo la reconstrucción de la noción
kantiana de construcción en términos de ecthesis o, de modo similar, da
sentido a su intento de conectar el método matemático con la sensibilidad. Se
ha sugerido ya que quizás la noción de construcción puede identificarse con
ciertos métodos de prueba en lógica moderna. Si esto es así, entonces, el
problema kantiano de la justificación de las construcciones en matemática no
queda obsoleto por la formalización de la geometría y otras ramas de las
matemáticas. La distinción entre los métodos de argumentación intuitivos y no
intuitivos, entonces, reaparece en la formalización del razonamiento matemático
como una distinción entre dos diferentes medios de prueba lógica. Pero
¿permanece ahí algún sentido en el cual el uso de tales métodos ‘intuitivos’
sea problemático? ¿Habría aceptado Kant una reconstrucción tal de la noción de
intuición como una premisa de su argumento de que todas las intuiciones
dependen de nuestra sensibilidad?
La
respuesta a la cuestión es, pienso, que sí. Podemos ver por qué era natural
para Kant hacer la transición desde el uso de instancias individuales de
cualquier tipo a su conexión con la sensibilidad. Delinearé brevemente dos
explicaciones. Puede decirse que, históricamente, nada era más natural para
Kant que conectar individuos con el uso de nuestros sentidos. Aristóteles ya
sostuvo que “es solo la percepción sensible la que es adecuada para recoger los
particulares” (Analytica posteriora I, 18, 81b6). Todo el conocimiento,
por tanto, que es obtenido por medio de particulares debe ser perceptivo. Cómo
era de natural la aplicación de esta idea aristotélica general al caso de las
construcciones en el sentido kantiano se muestra quizás por el hecho de que
Alejandro el Comentador ya aplicó la idea de Aristóteles al proceso de ecthesis.
Alejandro sostuvo que el término singular introducido en la ecthesis es
dado por la percepción, y que la prueba a través de la ecthesis, por
tanto, consiste en un género de evidencia perceptiva.[18] Y la asunción
aristotélica general acerca de los individuos y de los sentidos fue repetida
por los predecesores alemanes de Kant.
16.
LAS CONSTRUCCIONES COMO ANTICIPACIONES DE LA EXISTENCIA
Otro modo, y quizás el más importante, de
hacer plausibles las ideas de Kant, puede derivarse de la división en partes de
las proposiciones euclidianas. Hemos visto que para él el uso de las
construcciones tenía lugar en la primera y tercera de las partes de una
proposición euclidiana, mientras que la parte cuarta de la argumentación era
puramente no constructiva o, lo que es lo mismo, puramente analítica. Ahora
bien, la distinción entre esas partes de la proposición euclidiana corresponde,
de acuerdo con una interpretación habitual que Kant parece haber aceptado, a una
distinción entre dos tipos de principios del sistema de Euclides. Los
principios de la construcción son los así llamados postulados, mientras que los
principios de la prueba propiamente dicha son llamados axiomas (nociones
comunes). Resulta significativo que los ejemplos que Kant da de principios
analíticos empleados en geometría (B17) obviamente caen bajo la segunda
categoría. (Esto muestra incidentalmente que la noción kantiana de construcción
en geometría no era, como algunas veces se ha sugerido, algo ajena al
tratamiento axiomático de la geometría. Los mismos ejemplos que Kant da de
construcciones geométricas están basados o bien directamente en los postulados
de Euclides o, por el contrario, en proposiciones explícitas que Euclides había
probado antes; un hecho del que Kant difícilmente pudo no haber sido
consciente. De hecho, la principal construcción requerida en el ejemplo
favorito de Kant, el teorema acerca de los ángulos internos de un triángulo, está basado en el postulado de las paralelas que el
propio Kant había intentado probar.)
Por
consiguiente, la distinción entre modos de razonar intuitivos y lógicos era,
para Kant, al menos en geometría, equivalente a la distinción entre el uso de
postulados, es decir, principios de la construcción, y el uso de axiomas, es
decir, los principios de la prueba. ¿Qué constituye, pues, esta última
distinción? De acuerdo con una extendida interpretación, que se remonta a
Aristóteles y, ciertamente [también] a los griegos, los postulados son
asunciones de existencia. El problema de Kant de la justificación de las
construcciones, por tanto, equivale al problema de justificar el uso de
asunciones existenciales en matemáticas.
17.
¿CÓMO PUEDEN LAS CONSTRUCCIONES OFRECER CONOCIMIENTO A PRIORI?
Expresado de esta manera, todo el problema
parece ser espurio. Ciertamente, no hay nada que pueda prevenir a un matemático
de estudiar sistemas de axiomas que incorporan asunciones existenciales
generales. El problema solo tiene sentido si nos ocupamos del problema de la aplicabilidad
del razonamiento matemático a la realidad. Sin embargo, esto es ciertamente
algo de lo que Kant no se había ocupado en la Exposición Trascendental, a pesar
del hecho de que él insiste en que está hablando solo de matemáticas puras.
(Esto aparece de manera particularmente clara en los parágrafos 8 y 9 de Prolegomena;
véase la discusión de Vaihinger de estos parágrafos.) Podemos preguntar: ¿qué
ocurre cuando aplicamos a la realidad un argumento matemático particular en
cuyo desarrollo ha sido empleado un postulado, es decir, una asunción general
existencial? Al aplicarlo, tenemos que introducir una representación para un
nuevo individuo, como dice Kant, “sin tener presente ningún objeto al que me
pudiera referir o bien anteriormente o ahora.” La introducción de la nueva
representación para un individuo es desarrollada a priori. La existencia del
objeto individual en cuestión, en otras palabras, no es dada por la
experiencia. Kant describe esta situación diciendo que la intuición o, en
nuestros propios términos, la representación para un objeto individual precede
a su objeto. Lo único que puede asegurarnos que hay algún objeto que
corresponde a la representación es la asunción general existencial. Sin
embargo, podría parecer que no habría para nada justificación general para la
aplicación de asunciones generales a menos que estemos familiarizados, de
hecho, con los objetos que asumimos que existen, cosa que simplemente no es el
caso con las aplicaciones de nuestro conocimiento a priori. Parece imposible,
como Kant dice, intuir algo a priori. Ya que en ausencia de una verdadera
conciencia de que no hay, en realidad, nada que nos pueda asegurar que siempre
podamos encontrar objetos que se correspondan realmente con las
representaciones que hemos introducido o que tengan las propiedades que
esperamos que tengan.[19]
La
solución kantiana de este problema (real o aparente) consiste en decir que hay
un y solo un caso en el cual podemos estar seguros de que los individuos cuya
existencia hemos asumido realmente existen y tienen las propiedades deseadas.
Este es el caso en el cual nosotros mismos hemos creado los objetos en cuestión
o [en el que] nosotros mismos hemos puesto las propiedades y las relaciones en
ellos.[20] Y él parece pensar que
hay solo una fase de nuestra toma de conciencia de los objetos en la cual este
tipo de ‘poner propiedades en los objetos’ puede tener lugar. O, más bien, hay
solo una fase en la cual podemos ‘poner propiedades’ en todos los
objetos (individuales). Esta fase es la percepción sensible. Puesto que la
percepción sensible es el único modo en el cual un objeto individual puede
‘abrirse camino’ en nuestra conciencia. El sentido externo es el único modo en
que podemos hacernos conscientes de los objetos externos. Por esta razón, es la
única fase de nuestro llegar a conocer objetos en la cual nosotros mismos
podemos dar relaciones espaciales a todos los objetos externos. Por
tanto, las relaciones espaciales postuladas en geometría deben depender de la
estructura del sentido externo.
Estoy
trayendo a colación esta reconstrucción parcial solo como una primera
aproximación a lo que Kant tenía en mente en la Exposición Trascendental. Esta
reconstrucción está relacionada de modo notablemente estrecho con el ‘argumento
trascendental’ de Kant en su teoría del espacio y el tiempo, especialmente tal
y como se presenta en los Prolegomena. He intentado meramente rellenar
esos espacios que el propio Kant no enfatizó a la luz de sus asunciones
generales. La relación de mi reconstrucción parcial con los otros argumentos de
la visión kantiana es más complicada, y requiere de una discusión más larga que
no puedo llevar a cabo ahora.
Quiero
enfatizar que no estoy afirmando para nada que el argumento de Kant es
correcto. Mi principal propósito, al que sirve aquí la reconstrucción, es
sugerir que el problema kantiano de la posibilidad de las construcciones en
matemáticas, así como su pretendida solución, tiene sentido perfectamente
incluso cuando, por ‘construcción’, solo se hace referencia ‘a la introducción
de representaciones individuales para conceptos generales’.
18.
LA ESTRUCTURA DEL ARGUMENTO DE KANT
La estructura del argumento kantiano en la
forma presentada aquí merece de todos modos un estudio más detallado. Sus
varias fases pueden representarse a la luz de lo que se ha dicho como sigue:
(1)
El razonamiento matemático se ocupa principalmente de la
existencia de individuos.
(2)
Los resultados del razonamiento matemático son aplicables a toda
experiencia a priori.
En virtud de las asunciones ‘copernicanas’ generales de Kant
(“podemos saber a priori de las cosas solo lo que nosotros mismos ponemos en
ellas”), (1) y (2) nos obligan a concluir:
(3)
La existencia de los individuos de los que se ocupa el
razonamiento matemático depende del proceso por medio del cual llegamos a
conocer la existencia de individuos en general.
Por supuesto, lo que realmente importa no es la existencia de los
individuos como tales (hay muchos individuos que existen en el mundo), sino la
existencia de los individuos que guardan las relaciones adecuadas unos con
otros. Por tanto, podemos parafrasear (3) como sigue:
(4)
Las relaciones recíprocas de los individuos de los que se ocupa el
razonamiento matemático dependen del proceso por medio del cual llegamos a
conocer la existencia de individuos.
Estos sistemas de relaciones recíprocas deberían mostrarse por la
estructura del razonamiento matemático.
Ahora bien, Kant parece asumir que
(5)
El proceso por medio del cual llegamos a conocer la existencia de
individuos en general es la percepción (sensación).
De (4) y (5) se sigue que
(6)
La estructura del razonamiento matemático depende de la estructura
de nuestro aparato perceptivo.
Ahora
bien, (6) es, en efecto, un rasgo básico de la doctrina completa y definitiva
de Kant del método matemático, en cuanto complementada por los resultados que
él pensó que había alcanzado en la Estética Trascendental.
19.
¿NOS SON ‘DADOS’ INDIVIDUOS?
El razonamiento que va de (1) a (6) no
carece de interés ni de cierta plausibilidad. Puesto que hemos visto que el
argumento kantiano puede ser traducido a los términos de la lógica moderna,
tenemos, por tanto, que preguntarnos qué forma tomaría el mismo argumento en
lógica simbólica. Los pasos (1)-(2) y (4) no me parecen completamente
implausibles al aplicarlos a la lógica en lugar de a las matemáticas. Es en el
(5) en el que Kant realmente se equivoca. Sencillamente, no es verdad que
nosotros, generalmente o siempre, lleguemos a conocer la existencia de
individuos en el mundo por medio de la percepción en el sentido de que la
percepción sea la base del proceso desarrollado. Incluso podría preguntarse si
alguna percepción tendría que estar involucrada [en este proceso]. Cuando
llegamos a establecer la existencia de un número de un cierto tipo, no es
correcto asumir que la percepción esté siempre involucrada. (Sin embargo, ¿un
número es realmente un individuo? Quizás no; pero, ciertamente, para Kant, un
número era un individuo cuando él llamó intuiciones a los símbolos del álgebra,
es decir, representaciones de individuos. La interpretación kantiana del
álgebra parte de la asunción de que los ‘individuos’ del tipo representado por
las variables del álgebra también son conocidos solamente por medio de la
percepción.) El concepto de un sentido interno al que Kant recurre aquí es uno
de los puntos más débiles del sistema. Pensar en todo el conocimiento de
objetos individuales como si fuera dependiente de la percepción es sucumbir a
la tentación que para Kant pudo haber sido muy real, pero de la que es
importante desprenderse. Esta es la tentación de pensar que los materiales
básicos de conocimiento humano nos son dados a nosotros, receptores
pasivos, que no tenemos que buscar activamente esos materiales. De acuerdo con
esta falaz idea, la mente humana, a menudo concebida como un espíritu
incorpóreo que habita una máquina extraña, supuestamente tiene que esperar a
que las señales del exterior impacten en sus receptores. (Es interesante
observar en esta conexión el modo en que Kant subrayó la naturaleza pasiva de
la percepción, hablando, por ejemplo, de cómo los objetos se nos dan en
la percepción.) El hecho de que la mente pueda, indirectamente, inducir el
movimiento en la máquina no se considera que altere la situación de modo
material. Ni tampoco cambia esencialmente la situación por el hecho de que, de
acuerdo con Kant, la mente humana pueda organizar activamente de diversos modos
los materiales brutos obtenidos de este modo, sumarlos e incluso modificarlos.
Espero
no tener que argumentar aquí que esta imagen es grundfalsch,
completamente falsa. Es más interesante preguntar por una mejor interpretación.
Si la percepción no es el concepto general que engloba todo lo que queremos,
¿qué lo es? Me parece que, en la medida en que podamos dar un nombre general a
todos los procesos por medio de los cuales llegamos a conocer la existencia de
individuos, [esos procesos] deberían ser llamados, más que actos de percepción,
procesos de búsqueda y encuentro, aunque tengamos que adecuar la percepción
accidental de un objeto, así como la construcción deliberada de un objeto, como
casos especiales de ‘búsqueda’ y ‘encuentro’ en este amplio (el más amplio
posible) sentido. Por consiguiente, en lugar de (5), tenemos:
(5)*
El proceso por medio del cual llegamos a conocer la existencia de individuos es
el de buscarlos.
En lugar de (6), tenemos,
por tanto, que concluir:
(6)*
La estructura de un argumento lógico depende de la estructura de los procesos
de buscar y encontrar.
Mi pretendida
reconstrucción parcial del aspecto principal de la filosofía kantiana de las
matemáticas como aplicada a la lógica simbólica moderna en lugar de a las
matemáticas nos suscita, pues, una interesante sugerencia para la filosofía de
la lógica de nuestros días. La sugerencia es la de considerar la lógica de la
cuantificación como si fuera esencialmente la lógica de las nociones de búsqueda
y encuentro (adecuadamente generalizada). Me parece que esta sugerencia
probablemente suscitará interesantes e importantes consideraciones, si se
desarrollara sistemáticamente.