La
Filosofía de la Aritmética de Kant[1]
Charles Parsons
Universidad
de Harvard, USA
(Traducción
de Edgar J. Valdez*)
El
interés y la influencia de la filosofía de Kant en su conjunto han sido
ciertamente lo suficientemente grandes como para que esto por sí solo sea
suficiente para hacer que la filosofía de la aritmética de Kant sea de interés
para los eruditos históricos. También es posible mostrar la influencia de Kant
en varios escritores posteriores importantes sobre los fundamentos de las
matemáticas, de modo que Kant tenga importancia específicamente como figura en
la historia de la filosofía de las matemáticas. Sin embargo, mi propio interés
en este tema ha sido animado por la convicción de que incluso hoy lo que Kant
tiene que decir sobre las matemáticas, y la aritmética en particular, es de
interés para el filósofo, no solo para el historiador de la filosofía. Sin
embargo, no sé cuánto argumento será el siguiente para esto.
Kant no discute la filosofía de la aritmética en gran
medida, por lo que es prácticamente imposible entenderlo sin utilizar otro
material. Lo que he usado consiste principalmente en dos consideraciones: la
integración de la filosofía teórica de Kant como un todo, y el conocimiento moderno
sobre los fundamentos de la lógica y las matemáticas. La justificación para
usar el segundo es doble: primero, creo que la experiencia muestra que uno no
llega lejos en la comprensión de un filósofo a menos que uno trate de pensar
los problemas por sus propios méritos, y en esto debe usar lo que sabe;
segundo, si hoy se toma a Kant en serio como filósofo de las matemáticas, uno
debe confrontarlo con este conocimiento moderno, que, después de todo, en
grandes aspectos muestra un progreso inmenso de la situación en su vida.
Me concentraré principalmente en una pregunta, que
creo que debe responderse antes de avanzar con el tema: ¿Por qué Kant sostuvo
que la aritmética depende de la intuición sensible, de hecho, que las
proposiciones aritméticas de alguna manera se refieren a la intuición sensible?
Esto, por supuesto, está estrechamente relacionado con la cuestión de por qué
consideraba tales proposiciones como sintéticas en vez de analíticas. Al
considerar esta pregunta, uno debe considerar muy pronto los puntos de vista de
Kant sobre la lógica y su relación con la aritmética. Además, dado que la
respuesta a la pregunta anterior es mucho más clara si la
"aritmética" se reemplaza por la "geometría", también
consideraremos los puntos de vista de Kant sobre la geometría.
Para aclarar nuestro problema, consideremos primero
brevemente el concepto de intuición de Kant. La intuición es una especie de
representación o, en el lenguaje de Descartes y Locke, idea. Tener intuiciones
es una de las principales formas en que la mente puede relacionarse o ser
consciente de los objetos. Lo más parecido a una definición en La Crítica de
la Razón Pura ocurre en una clasificación de representaciones:
Este [conocimiento]
es o bien intuición, o bien concepto (intuitus vel conceptus).
Aquella se refiere inmediatamente al objeto, y es singular, éste, mediatamente,
por medio de una característica que puede ser común a muchas cosas. A320/B376-7[2]
En
la frase inicial de la estética trascendental, Kant dice:
Cualesquiera
sean la manera y los medios por los que un conocimiento se refiera a objetos,
aquella por la cual se refiere a ellos inmediatamente, y que todo pensar busca
como medio, es la intuición. A16B33
Un
pasaje en §1 de la edición de Jäsche de las lecciones de Kant sobre lógica se
lee:
Todos los
modos de conocimiento, es decir, todas las representaciones relacionadas con un
objeto con conciencia son intuiciones o conceptos. La intuición
es una representación singular (repraesentatio singularis), el concepto
una representación general (repraesentatio per notas
communes) o representación reflejada (representatio discursiva).[3]
Las
intuiciones se contrastan así con los conceptos, que se relacionan con los
objetos solo de manera mediata, por medio de ciertas propiedades y por medio de
intuiciones que los instancian y que se relacionan indiferentemente con todos
los objetos que poseen las propiedades requeridas.
Lo que se entiende por llamar a una intuición una
representación singular parece bastante claro. Solo puede tener un objeto
individual. Los objetos con los que se "relaciona" un concepto son
evidentemente aquellos que se incluyen en él, y estos pueden ser cualquiera que
tenga la propiedad que representa el concepto, de modo que un concepto solo en
casos excepcionales tendrá un único objeto. Hasta ahora, la distinción
corresponde a la que existe entre términos singulares y generales.
Uno podría pensar que el criterio de
"relación inmediata con los objetos" por ser una intuición es solo
una formulación oscura de la condición de singularidad. Pero evidentemente
significa que el objeto de una intuición está de alguna manera directamente
presente en la mente, como en la percepción, y que la intuición es, por lo
tanto, una fuente, en última instancia, la única fuente de conocimiento inmediato
de los objetos. Por lo tanto, el hecho de que la matemática se base en la
intuición implica que se trata de un conocimiento inmediato y, por lo tanto,
aunque sintético a priori, no requiere el argumento justificado elaborado que
hacen los Principios (A87/B120). Por el criterio de inmediatez, la concepción
de intuición de Kant se parece a la de Descartes, mientras que
por el criterio de singularidad y su insistencia en un factor conceptual no
intuitivo en todo el conocimiento, la teoría de la intuición de Kant difiere de
la de Descartes.
Que lo que está inmediatamente
presente en la mente son objetos individuales parece ser un axioma de la
epistemología de Kant, o también se podría decir metafísica, ya que va con la
convicción de que los objetos, las existencias primarias, son en primera
instancia objetos individuales. Así, lo que satisface el criterio de inmediatez
de la intuición también satisfará el criterio de singularidad.
No parece que lo contrario deba ser
cierto. La idea de una representación singular formada a partir de conceptos
nos parece bastante natural. Tal representación se relacionaría con un solo
objeto, si es que tiene alguno, pero apenas parece inmediato. Al asociarlo con
una descripción definida en vez de con un término general, lo distinguiríamos
de un concepto bajo el cual cae exactamente un objeto (aunque sea
necesariamente). Para Kant, sin embargo, el pasaje de A320/B376-7 parece
permitir que tal representación sea un concepto; esto también podría ser
sugerido por el hecho de que la idea de Dios se llama un concepto; en ninguna
parte se sugiere que sea una intuición. Sin embargo, Kant nunca comenta, hasta
donde yo sé, sobre las implicaciones de la posibilidad de representaciones
singulares no inmediatas para el concepto de intuición.
Esta omisión puede respaldar una
teoría que ha sido desarrollada por Jaakko Hintikka según la cual el criterio
de singularidad es el único criterio definitorio: una intuición es simplemente
una representación individual.
En Kant y
sus predecesores inmediatos, el término "intuición" no tenía
necesariamente nada que ver con la apelación a la imaginación ni a la evidencia
perceptiva directa. En forma de paradoja, quizás podamos decir que las
"intuiciones" que Kant contempló no eran necesariamente muy intuitivas.
Para Kant, una intuición es simplemente cualquier cosa que represente o
represente un objeto individual a diferencia de los conceptos generales.[4]
Muchos
de los pasajes que cita Hintikka también mencionan el criterio de inmediatez, y
no está claro por qué Hintikka piensa que no es esencial. La razón principal,
que consideraremos más adelante, es que esta suposición respalda una teoría de
Beth y Hintikka para explicar la noción de Kant de "construcción de
conceptos en intuición" y el análisis resultante de la demostración
matemática. Otro parece ser la ausencia del criterio de inmediatez en la Lógica
y el hecho de que Kant hace comentarios sobre conceptos que parecen excluir
conceptos esencialmente singulares y esto implica que todas las
representaciones singulares son intuiciones.[5]
Hintikka también señala que la parte de la estética
trascendental donde Kant argumenta que el espacio es una intuición argumenta
esencialmente que la representación del espacio es singular. Sin embargo, ha
abierto la Estética al establecer el criterio de inmediatez (A16 / B33 citado
anteriormente) y en la prueba de intuición sí dice que el espacio es dado
(B39, también A25). Además, en los argumentos a favor de la misma tesis en la
Disertación Inaugural de 1770, Kant apela a la inmediatez: inmediatamente
después de argumentar que el espacio es una intuición pura porque es un
"concepto singular", Kant dice de las proposiciones geométricas que
"no pueden derivarse de cualquier noción universal del espacio, pero solo
como se vio en el espacio mismo como si fuera algo concreto" (15c,
énfasis de Kant). Más tarde dice: "La geometría hace uso de principios que
caen bajo la mirada de la mente.”
Me parece que la evidencia textual para el punto de
vista de Hintikka no es suficiente para superar las declaraciones claras y el
énfasis en el criterio de inmediatez, a pesar de que el punto de vista
alternativo debe suponer que Kant al discutir estos asuntos no tuvo en cuenta
la posibilidad de representaciones singulares no inmediatas.[6]
Pero la teoría de Hintikka realmente se apoya o cae en la interpretación del
papel de la intuición en las matemáticas.
Una tesis sobre la intuición que es de gran
importancia para Kant es que nuestra mente puede adquirir intuiciones de
objetos reales solo si se ve afectada por ellos. No me atreveré a decir
cuál es este “afección”, pero implica para el sujeto una cierta pasividad, de
modo que nuestras percepciones no están a la vista debido a nuestra propia
actividad mental, y también a una cierta exposición a la contingencia en
nuestras relaciones con objetos. Por lo tanto, no percibimos objetos a menos
que afecten físicamente nuestros órganos sensoriales.
Un giro particular y muy importante de la filosofía de
Kant es que la naturaleza de nuestra capacidad de ser afectados por los
objetos, nuestra sensibilidad, ya determina ciertas características de
nuestras intuiciones. Se dice que son la forma de nuestra intuición en general.
Entre ellos se encuentra la espatiotemporalidad. Debe entenderse que
esto significa que la naturaleza de la mente determina que los objetos que
intuimos deben ser espaciales y temporales, y de hecho intuidos como tales. La
intuición que juega un papel en las matemáticas, que no es el resultado directo
de la afección de nuestra mente por los objetos, expresa una percepción
intuitiva que tenemos de nuestras formas de intuición y, en ese sentido, sigue
siendo una intuición de sensibilidad. Aparentemente, también es intuición
sensible en el sentido de ser intuición del sentido interno.
Como Hintikka enfatiza correctamente, esta conexión
intrínseca entre intuición y sensibilidad no proviene directamente del concepto
de intuición, sino que representa un carácter del hombre, o más generalmente de
inteligencias finitas. Tal inteligencia deriva el contenido de su conciencia
del exterior con la exposición resultante a la contingencia y la necesidad de
conceptos para representar objetos no presentes. Por lo tanto, no solo la
sensibilidad, sino también el pensamiento o la conciencia a través de conceptos
(conocimiento a través de conceptos, B94), son características de las
inteligencias finitas. La alternativa es un "entendimiento intuitivo"
cuya actividad crearía los objetos de su conciencia. Su conciencia sería
solo intuición; se llama "intuición intelectual" porque tiene
la espontaneidad que para nosotros es característica del pensamiento y porque
la unidad que con nosotros es el resultado de la síntesis de lo dado es
porque ya está presente en la intuición. Parece claro que la intuición
intelectual satisfaría el criterio de inmediatez.
II
Pasemos ahora a las opiniones de Kant sobre la lógica.
Lo que debe sorprender con fuerza a una persona con entrenamiento moderno al
considerar la perspectiva de Kant sobre la lógica es la limitación de su
conocimiento y concepción de la misma. Kant aprendió y
enseñó la tradición lógica establecida en un momento muy poco creativo en la
historia del tema. Así, el análisis lógico formal que realiza está bastante
limitado a las formas de proposiciones categóricas de la teoría del silogismo,
con gestos hacia proposiciones hipotéticas y disyuntivas. Las inferencias que
se cubren son los silogismos e inferencias inmediatas de la teoría aristotélica
y algunas inferencias proposicionales como modus ponens. De la lógica
proposicional como teoría desarrollada adicional, o de las posibilidades
adicionales de la teoría de cuantificación, Kant no tenía idea.
Kant no solo tenía recursos técnicos muy limitados a
sus órdenes; lo que es más sorprendente y más dañino
para su posición de filósofo, estaba muy satisfecho con la lógica tal como la
encontró. Técnicamente, en ningún caso podría haber ido mucho más allá del
estado de la ciencia en su propio tiempo, y no era un matemático creativo. Pero
lo que habría sido necesario para que Kant no estuviera satisfecho con la
"lógica tradicional" podría haber sido solo una visión más profunda
de sus propios descubrimientos.
Como es bien sabido, Kant atribuyó la falta de
progreso en la lógica a la ausencia de cualquier necesidad. Sostuvo que la
lógica se estableció como una ciencia y luego terminó de una vez por todas por
Aristóteles. Esta es una visión falsa no solo de las posibilidades de descubrimiento
en la lógica sino también de la historia del tema, que lejos de no ser
"capaz de avanzar un solo paso" ni de "requerir volver sobre un
solo paso" desde Aristóteles, había hecho ambos más de una vez. La opinión
de Kant también fue influyente y sirvió para crear resistencia a puntos de
vista más razonables tanto de la lógica misma como de su historia.
Por qué Kant debería haber pensado que la ciencia de
la lógica es completable y completada es una pregunta que no intentaré
responder aquí. No sé si un esfuerzo serio por responderla descubriría ideas
interesantes de Kant, que no entendemos. En general, se puede decir que el
punto de vista armonizó extremadamente bien con el lado más racionalista de la
forma de pensar de Kant y con la creencia, que no fue el único gran filósofo en
sostener, de que su propio trabajo terminó una parte importante de la
filosofía. Kant ciertamente pensó que había fuentes inagotables de problemas,
incluso problemas filosóficos, para que el intelecto humano luchara. Pero
sostuvo que esta inagotabilidad se encontraba dentro de los límites fijados por
una forma, cuyas propiedades básicas podrían describirse exhaustivamente. Esta
forma pertenecería a la facultad humana del pensamiento mismo, que siempre y
cuando tratara de "sí mismo y su forma" y no con objetos dados desde
el exterior o con la forma en que podrían darse desde el exterior, estaba
destinada a ser capaz no solo de estar en terreno seguro sino también de
descubrir y analizar cada factor relevante. La razón y la comprensión son
"unidades perfectas" (Axiii, A67 / B92). También encontramos un eco
de la idea cartesiana de que el yo es mejor conocido que los objetos: “yo
solamente me ocupo de la razón misma y de su pensar puro, cuyo conocimiento
minucioso no tengo que buscarlo muy lejos de mí, porque lo encuentro en mí
mismo.” (Axiv)
La lógica es, según Kant, la más general de todas las
divisiones de conocimiento. Se aplica a todos los objetos de nuestro
pensamiento en general, y todas las declaraciones verdaderas y las inferencias
sanas deben conformarse a él. En particular y especialmente importante, la
posibilidad lógica es el tipo de posibilidad más inclusivo. Si algo es posible
en cualquier aspecto, es lógicamente posible; su concepto no implica una
contradicción. En particular, al menos en lo que respecta a las declaraciones
explícitas de Kant, la aplicabilidad de la lógica no está limitada por las
formas de nuestra sensibilidad.
La relación entre la lógica y las formas de intuición
se puede ver mejor en contraste con la geometría: las formas de intuición
proporcionan la base para ciertas verdades necesarias, en particular las de la
geometría, en el sentido de que si las formas de intuición no fueran como son
las verdades en cuestión no serían válidas, y si no tuviéramos una cierta
comprensión de nuestras formas de intuición, no las conoceríamos. La aplicación
de estas verdades, sin embargo, se limita a los objetos que afectan nuestros
sentidos. Además, los principios son verdaderos para estos objetos solo como
aparecen y no como son en sí mismos.
Estas limitaciones no se presentan para la lógica. En
particular, hay estados de cosas que son lógicamente posibles pero que están
excluidos por las formas de intuición, como la existencia de configuraciones
espaciales contrarias a los teoremas de la geometría euclidiana; de modo que la
geometría es una teoría más especial que la lógica, no solo en el sentido de
que trata con un tipo de objeto más restringido, sino también en el sentido de
que hace declaraciones sobre estos objetos que no son lógicamente necesarias,
aunque son necesarias de otra manera.
La lógica tampoco está sujeta a la gran limitación del
conocimiento basado en la intuición, la de aplicar solo a las apariencias.
Cuando Kant dice que debe ser posible pensar en las cosas en sí mismas,
implica primero que tal concepción no contradice las leyes de la lógica, y
segundo que en las declaraciones que hacemos sobre ellas, las leyes lógicas
siguen siendo un criterio negativo de verdad. Si no pudiera confiar en la
lógica en este ámbito, la metafísica de las costumbres de Kant no podría
despegar.
Ya en este nivel es posible ver con bastante claridad
algunas razones por las cuales Kant debería haber considerado la geometría como
sintética a priori y haber usado ideas como la de una forma de intuición para
explicar cómo era posible tal ciencia. La geometría es una teoría más especial
que la lógica primero en el sentido de que contiene primitivas no lógicas,
segundo porque sus teoremas en general no pueden demostrarse simplemente mediante
definiciones y lógica, como aparentemente pensó Leibniz. De hecho, esto es
mucho más obvio para nosotros que en la época de Kant, dado que tenemos
geometría no euclidiana y, en general, estamos menos tentados a sobrestimar el
poder de la lógica, especialmente la lógica tradicional. Vale la pena señalar
que los postulados de Euclides son lo que en realidad son supuestos de
existencia, por lo que aquí las opiniones generales de Kant sobre la existencia
implicarían que no podrían ser analíticos.
Que Kant debería encontrar geometría en la forma de
nuestra intuición no es difícil de entender. Por un lado, la
espatiotemporalidad es una propiedad característica de los objetos dados al
sentido. Además, Kant enfatiza que el espacio era un individuo cuya noción se
entendía de manera análoga a la ostensión, y la misma comprensión ostensiva
sería necesaria para las primitivas particulares de la
geometría. Por otro lado, Kant partió de la idea de que la geometría era un
cuerpo de verdades necesarias con fundamentos evidentes. Que los axiomas de la
geometría se verifiquen empíricamente directamente es contrario a su necesidad;
que deberían ser algún tipo de hipótesis de alto nivel es contrario a su
evidencia.
La segunda observación que se debe hacer sobre los
puntos de vista de Kant sobre la lógica es que él nunca sugiere una explicación
convencionalista de la validez lógica. Es cierto que el carácter muy general de
las verdades lógicas y analíticas va con su desinformatividad. Reflejan
la naturaleza de la mente y de ciertos conceptos particulares, y aparentemente
de ninguna manera cómo es el mundo por otra parte. Pero esta naturaleza y la
forma en que conceptos particulares dan lugar a las verdades analíticas de que
parecen ser algo dado, que de hecho será el mismo para todas las inteligencias
discursivas, incluso si sus formas de intuición son bastante diferentes de las
nuestras.
Kant no da mucha explicación de cómo es esto, y tal
vez sintió alguna duda sobre la posibilidad de dar tal explicación. Si tratamos
de aplicar la idea que podríamos obtener de la Deducción Trascendental a esta
pregunta, nos encontramos con un dilema muy difícil. Es decir, la actividad
esencial del entendimiento parece estar en relación con el material dado en la
intuición, para llevarlo a la unidad expresada en un juicio objetivo. En otras
palabras, las nociones de objeto, concepto, juicio obtienen todo su sentido de
su aplicación a la experiencia. No obstante, el entendimiento tiene una mayor
generalidad que la intuición: las formas de intuición no son lógicamente
necesarias; y al operar lógicamente con una noción dada, no es necesario apelar
a la intuición o incluso suponer que la noción tiene una intuición que le
corresponde. De alguna manera, es posible que reconozcamos que lo que se puede dar
en la experiencia no es toda la realidad posible, e incluso reconocer que, con
la ayuda de la intuición, podemos conocer los objetos solo de una manera
relativa, tal como aparecen. Todo esto apunta, incluso aparte de los requisitos
de la filosofía moral de Kant, a la presencia en nosotros de concepciones más
generales de objeto, concepto, juicio y a fortiori inferencia. Este
dilema nos volverá a ocupar más tarde, ya que tiene una aplicación a los
problemas de la aritmética.
III
Con respecto a la filosofía de la geometría de Kant,
las dificultades no se refieren a por qué Kant pensó que la geometría era
conocimiento intuitivo a priori, sino más bien si esto es cierto y cuál era
precisamente la teoría por la cual propuso explicar cómo podría ser cierto. Cuando
nos referimos a la filosofía de la aritmética de Kant, hay incluso menos
dificultades en cuanto a por qué debería haber pensado proposiciones
aritméticas a priori. Pero de ninguna manera es fácil ver por qué Kant las
consideraba sintéticas, basadas de alguna manera en nuestras formas de
intuición, en particular en la forma de intuición interna, tiempo, y como
limitadas en su aplicación a las apariencias.
Será más claro por qué Kant consideró las
proposiciones aritméticas como sintéticas si observamos que el concepto
de proposición analítica de Kant probablemente tenía una extensión mucho más
estrecha que el concepto correspondiente en la filosofía más reciente, por
ejemplo, en Frege y el positivismo lógico. Kant no formula su concepto con
suficiente precisión para que podamos estar completamente seguros de esto. Pero
parece bastante claro a partir de los ejemplos que cuando Kant habla del
concepto del predicado de un juicio analítico contenido en el del
sujeto, la situación es análoga a aquella en la que el concepto del sujeto se
define por la conjunción del concepto del predicado con tal vez ciertos otros.
Este sería un caso paradigmático donde la conexión de sujeto y predicado es
"pensada por identidad" (A7/B11). Una versión idealizada de un juicio
analítico sería una de las formas 'Todos AB son A’ o ‘Todos C
son A’ donde ‘C’ se define como ‘A y B’. Esto se
idealiza porque, según Kant, los conceptos fuera de las matemáticas en general
no tienen definiciones en el sentido apropiado.
Parece cierto que otras formas tendrían que admitirse
como analíticas, por ejemplo, 'Ningún AB no es A' o la
proposicional 'Si p y q, entonces p'.[7]
Kant dice (B15) que para que '7 + 5 = 12' sea analítico, se habría derivado del
concepto de una suma de 7 y 5 por la ley de contradicción. Esto sería como si
fuera demostrable a partir de definiciones por una lógica muy restringida,
probablemente incluida en el aparato tradicional limitado a las órdenes de
Kant, y es difícil ver cómo podría ser cierto de lo contrario.
Sin embargo, es una cosa decir que no hay razón para
esperar esto y otra entender la razón específica de Kant para pensar que es
falsa. Kant indica que la forma en que descubres que 7 + 5 = 12 es mediante un
proceso como contar, de progresar de 7 a 12 mediante adiciones sucesivas de 1,
en las cuales uno debe operar con una instancia particular de un grupo de
objetos, que solo se puede dar en intuición.
Se debe salir fuera de estos conceptos, procurando el auxilio de la
intuición que corresponde a uno de los dos, por ejemplo, los cinco dedos, o
bien (como Segner en su aritmética) cinco puntos, y agregando así, poco a poco,
las unidades del cinco dado en la intuición, al concepto del siete. Pues tomo
primeramente el número 7 y, tomando como ayuda, como intuición, para el
concepto de 5, los dedos de mi mano, añado ahora poco a poco el número 7 en
aquella imagen mía, las unidades que antes reuniera para formar el número 5, y
veo así surgir el número 12. B15-6
Sin
embargo, todavía no está claro por qué ese proceso no puede ser puesto en sí
mismo en forma de un argumento puramente lógico o reemplazado por algo muy
diferente que sí puede.
Hubo un intento de hacer
precisamente esto con lo que Kant estaba en condiciones de familiarizarse, por
Leibniz en los Nouveaux Essais.[8]
Leibniz trabajó con '2 + 2 = 4' pero el tipo de argumento es suficiente para
cualquier fórmula de suma. Asumió como axioma la sustitutividad de la
identidad, que Kant probablemente habría considerado analítica. Leibniz tomó
como definiciones
2=1+1,
3=2+1,
4=3+1,
que
es aproximadamente lo que se hace en las formalizaciones modernas. Entonces la
prueba es la siguiente:
2+2=2+1+1 (def. de “2”)
=3+1 (def. de “3”)
=4 (def. de “4”)
La objeción moderna estándar a este argumento es que
Leibniz debería haber insertado paréntesis, para que vaya
2+2=2+(1+1)=(2+1)+1=3+1
y
por lo tanto asume una instancia de asociatividad. No podemos excluir la
posibilidad de que Kant lo supiera cuando estaba trabajando en la Crítica de
la razón pura, ya que aparece en el libro Prüfung der kantischen Kritik
der reinen Vernunft, vol. I
(Königsberg, 1789), del alumno de Kant, Johann Schultz, profesor de matemáticas
en Königsberg.
Poniendo
gran peso en la evidencia de los escritos de Schultz y otros discípulos de Kant,
Gottfried Martin ha presentado la hipótesis de que Kant preveía una base
axiomática de la aritmética similar a las axiomatizaciones clásicas de la
geometría.[9] Él ve
que la afirmación de que la aritmética es sintética se base en primera
instancia sobre el punto lógico de que las proposiciones aritméticas como '7 +
5 = 12' no pueden ser probadas por mera lógica a partir de definiciones como
las que usa Leibniz. Una base axiomática del tipo que respondería a las ideas
de Martin se da en el Prüfung de Schultz. Sin mencionar explícitamente a
Leibniz, Schultz señala que el tipo de prueba de una identidad aritmética que
Leibniz da se basa en el supuesto de asociatividad. Él da, para ' 7 + 5 = 12 ',
un argumento que también se basa en la conmutatividad, y parece, erróneamente,
pensar que esta suposición es inevitable. Pero, por supuesto, la conmutatividad
debe usarse tarde o temprano en aritmética.[10]
Schultz da dos axiomas, la
conmutatividad y la asociatividad de la suma. No afirma ni niega la
independencia de las leyes correspondientes de multiplicación y de la ley
distributiva. También da dos "postulados" que vale la pena citar en
su totalidad.
1.
De varios quanta homogéneos dados, para generar el concepto de un quantum por
su conexión sucesiva, es decir, transformarlos en un todo.
2.
Aumentar y disminuir cualquier quantum dado en todo lo que uno quiera, es
decir, hasta el infinito.[11]
El segundo postulado implica que
Schultz no está pensando específicamente en la aritmética de los enteros sino
también en cantidades continuas. En cualquier caso, el primer postulado es la
base para suponer que se define la función de suma; es decir, dados los
números m, n, en realidad existe un número m + n.
Si aceptamos que esto realmente da
la concepción de Kant, todavía quedaría la cuestión de cómo la intuición entra
en la base de estos axiomas y postulados. Sobre esto, Schultz tiene, de hecho,
algo que decir. Pero al transferir la concepción a Kant nos enfrentamos
inmediatamente con la dificultad de que él explícitamente dice que la
aritmética no tiene axiomas.
Pero en lo
que respecta a la magnitud (quantitas), es decir, a la respuesta a la
pregunta ¿cuán grande es algo?, no hay para ella axiomas en sentido propio,
aunque varias de estas proposiciones sean sintéticas e inmediatamente ciertas (indemonstrabilia).
(A163-4/B204)
Considera dos posibilidades, las
reglas de igualdad, que afirma que son analíticas (un axioma apropiado debe ser
sintético) y las identidades aritméticas elementales, como '7 + 5 = 12', a las
que parece referirse al final de nuestra cita, que de hecho son sintéticas e
indemostrables, pero que se niega a llamar axiomas porque son singulares.
Esta posición se reafirma en una carta de Kant a
Schultz del 25 de noviembre de 1788[12],
en la que comenta sobre el manuscrito del volumen I del Prüfung. Allí da
una razón, que mencionaré más adelante, sobre por qué la aritmética no debería
tener axiomas. Él dice que la aritmética tiene postulados, "juicios
prácticos inmediatamente ciertos". El tono general de su discusión sugiere
que podría considerar la directiva general para llevar a cabo la suma, bajo el
supuesto de que esto siempre se puede hacer, como un postulado, es decir, que
podría aceptar el primer postulado de Schultz. Pero lo que parece tener
específicamente en mente es lo que en otras partes llama fórmulas numéricas, es
decir, 7 + 5 = 12.
Sin embargo, no podemos estar
seguros de que el material matemático de la versión publicada del Prüfung
estuviera presente en el manuscrito sobre el que Kant estaba comentando. Porque
parece de la carta, como señala Martin[13],
que el manuscrito sostenía que las proposiciones aritméticas eran analíticas y,
por lo tanto, está claro que fue revisado considerablemente después de
que Schultz recibió la carta de Kant. El hecho de que en la versión publicada
el análisis axiomático se use para apoyar la conclusión de que la aritmética es
sintética no prueba que no estaba presente en el manuscrito, aunque la
suposición de que los postulados estaban allí es un poco tensa. Pero que
Schultz podría haber argumentado que las leyes conmutativas y asociativas eran
analíticas no es en absoluto imposible. (Leibniz argumentó esto al menos para
la conmutatividad.[14])
Aun así, a menos que uno acepte la
idea bastante improbable de Martin de que Kant aportó el análisis axiomático a
Schultz después de la carta, es difícil escapar a la conclusión de que
Schultz entendió el problema matemático en al menos un aspecto mejor que el
propio Kant: Kant no parece haber tenido una visión alternativa del estado de
tales proposiciones como las leyes de suma conmutativas y asociativas.
Difícilmente puede haber negado su verdad, y parece que, si son indemostrables,
deben ser axiomas; si son demostrables, deben tener una prueba de que no da
ninguna indicación.
Si al hablar del carácter axiomático
de la aritmética, Martin quiere decir que, según Kant, la aritmética debe hacer
uso de proposiciones que no pueden deducirse por lógica y definiciones,
entonces no puede haber desacuerdos con él. Pero si quiere decir que Kant tenía
en mente establecer la aritmética como un sistema axiomático del cual el de
Schultz es una instancia muy primitiva y que es en la verificación de leyes
como la conmutativa y asociativa donde la aplicación principal de la intuición
en la aritmética debe ser encontrada, entonces las palabras reales de Kant van
en contra de él.
Incluso si el punto de vista de
Martin sobre el asunto es bastante correcto en lo que va, no puede
satisfacernos. En primer lugar, no responde a la pregunta de por qué la
aritmética debería depender de la intuición, excepto en el sentido,
completamente ligado al nivel primitivo de la axiomática en el tiempo de Kant, de
que hasta donde se puede ver la alternativa obvia es insuficiente. En segundo
lugar, se traslada a la aritmética consideraciones que estaban vigentes en
geometría, mientras que nuestro sentido original de dificultad surgió de la
diferencia entre las dos. Y hay muchas indicaciones, en particular algunas
observaciones en la carta a Schultz, que discutiré, de que él vio algo de esta
diferencia y no tenía la intención de dar una explicación completamente
simétrica.
IV
El
problema de la asimetría de la aritmética y la geometría podría resolverse
mediante una interpretación sugerida por E.W. Beth[15]
y desarrollada por Hintikka[16].
De su interpretación parece deducirse que si una proposición B de
geometría se prueba mediante una prueba que apela a los axiomas A1
... An (aquí incluyo postulados),[17]
entonces, en general, el condicional A1 & .... & An.
×É B es
sintético; en cualquier caso, se hace una apelación a la intuición más allá de
lo que se hace para verificar los axiomas. Entonces se podría argumentar que,
dado que la aritmética según Kant no tiene axiomas, solo el primer tipo de
apelación a la intuición pura ocurre en la aritmética.
La hipótesis de Beth y Hintikka es
que para Kant ciertos argumentos que pueden formularse hoy en día en la lógica
de predicados de primer orden implican una apelación a la intuición. En vista
del criterio de singularidad para la intuición, los candidatos naturales para
tales argumentos son argumentos que involucran términos singulares. Para Beth,
la forma de argumento involucrada se ilustra mediante la prueba de que los
ángulos base de un triángulo isósceles son iguales:
Procedemos,
como es bien sabido, como una regla como sigue: primero consideramos un
triángulo particular, digamos ABC, y supongamos que AB = AC; entonces mostramos
que ÐABC = ÐABC y, por lo tanto, hemos
demostrado que la afirmación se cumple en el caso particular en cuestión. Luego
se observa que la prueba es correcta para un triángulo arbitrario y, por lo
tanto, que la afirmación debe mantenerse en general.[18]
La
forma general del argumento es la siguiente: Queremos probar '(x) (FxÉ Gx)'. Asumimos una a particular
tal que Fa. Luego deducimos 'Ga'. Entonces tenemos 'Fa É Ga' independientemente de la
hipótesis. Pero dado que a era arbitraria, '(x) (Fx É Gx)' se sigue.
Esta forma de argumento, como por
ejemplo en el caso de Beth, es la forma característica de una prueba en
Euclides. En la sección "La Disciplina de la Razón Pura en el Uso
Dogmático" de la Crítica donde Kant expone su punto de vista de la
prueba matemática como procediendo por "construcción de conceptos en
intuición pura", esta forma de argumento aparece claramente en el ejemplo
geométrico. El geómetra “comienza enseguida por construir un triángulo.”
Mediante una serie de construcciones en este triángulo y aplicaciones de
teoremas generales a él “por medio de una cadena de razonamientos, guiado siempre
por la intuición llega a la solución enteramente evidente y a la vez universal
de la cuestión.” (A716/B744-5)
Hintikka concentra la atención más
bien en la regla de instanciación existencial, es decir, en argumentos de la
forma
($x)Fx
Fa
×
×
×
p
donde
a se introduce para indicar una F, en vista del hecho de que la
línea afirma que hay otras F.[19]
Ambos argumentos tienen en común que
activan el uso de una variable libre que indica cualquiera de una clase
dada de objetos, de modo que un argumento al respecto es válido para todos
los objetos de la clase. Por lo tanto, tienen una analogía formal con la
apelación a la intuición pura, en el sentido de que un término singular se usa
de tal manera que lo que se demuestra de él puede presumirse generalmente
válido. Además, la manera en que se asegura esta generalidad, es decir, al no
permitir que se asuma nada sobre a excepto lo que se establece
explícitamente en las premisas, recuerda una declaración de Kant sobre el papel
de una figura construida en una prueba. “[P]ara conocer con seguridad algo a
priori, no debía atribuirle a la cosa nada más que lo que se seguía
necesariamente de aquello que él mismo había puesto en ella según su concepto.”
(Bxii)
Es de destacar que en el álgebra
tradicional los cálculos se llevan a cabo en términos y fórmulas con variables
libres, donde la derivación de tal ecuación sirve para probar una proposición
general. Hintikka interpreta los comentarios oscuros sobre la
"construcción simbólica" en álgebra en este sentido.[20]
Naturalmente, se seguiría de la
concepción de la intuición como una simple representación individual que la mera
forma de estos argumentos es tal que implican la intuición. Por supuesto, no
daría ninguna posibilidad a las tesis filosóficas de mayor alcance de Kant que
se refieren a la conexión de las matemáticas con la forma de la sensibilidad.
Así, los aspectos filosóficamente interesantes del concepto de intuición pura
parecen perder su sentido cuando se señala que estos argumentos pueden
formalizarse en la teoría de cuantificación pura. Esta es exactamente la
conclusión que saca Beth.
Uno podría objetar que esto parece
presuponer que la lógica en sí misma no plantea problemas filosóficos que la
noción de intuición pura podría ser necesaria para responder, pero en esto al
menos Beth está de acuerdo con Kant en la mayoría de sus expresiones. Pero de todos modos, parece poco probable que la ruptura
entre los argumentos que activan la interpretación general de las variables
libres y los argumentos lógicos que no lo hacen sea la ruptura filosóficamente
más significativa dentro de la prueba matemática.[21]
Uno podría desear una evidencia más
clara de la atribución de tal punto de vista a Kant o incluso la tesis más
modesta que comenzó con esta idea al desarrollar su filosofía de las
matemáticas. Si era su punto de vista maduro, el alumno matemáticamente astuto
de Kant, Schultz, parece no haberlo sospechado ya que no hay ninguna sugerencia
en el Prüfung. Schultz dio por sentado que una axiomatización adecuada
sería tal que si los axiomas fueran analíticos,
también lo serían todos los teoremas. Las matemáticas fallan en ser analíticas
solo porque en su desarrollo deductivo deben usarse premisas sintéticas.
Kant expresa la misma opinión cuando dice
Pues como se
hallo que las inferencias de los matemáticos procedían todas según el principio
de contradicción (lo que es requerido por la naturaleza de toda certeza
apodíctica) se llegó a la convicción de que también los principios se
concocerían a partir del principio de contradiccción; en lo cual se
equivocaron; pues una proposición sintética puede, por cierto, ser entendida según
el principio de contradicción, pero sólo si se presupone otra proposición
sintética de la cual aquélla puede ser deducida, nunca, empero, en sí misma.
B14
Contra esto, se señala[22]
que Kant dice de una prueba geométrica de que procede " por medio de una
cadena de razonamientos, guiado siempre por la intuición ". En vista de la
descripción que Kant da de la prueba, esto fácilmente podría significar que en
el curso de la prueba uno está constantemente apelando a las evidencias
formuladas en los axiomas y postulados. Obviamente sería anacrónico atribuirle
a Kant una imagen de prueba modelada en una deducción formal donde los axiomas
se expresan al principio y todo lo demás es lógico y donde el propósito no es
mostrar la verdad de la proposición probada sino simplemente que se sigue
de los axiomas. Por el contrario, para Kant una prueba euclidiana es
convincente porque en cada aplicación particular de un axioma o postulado es
evidente la exactitud de lo que afirma en este caso particular.
Debe admitirse que podría ser cierto que la inferencia
de ciertas reglas de las premisas analíticas podría producir conclusiones
analíticas, mientras que la inferencia de acuerdo con las mismas reglas de las
premisas sintéticas podría conducir a conclusiones que no solo son sintéticas sino que condicionan las premisas y conclusiones
también es sintético. En particular, la regla de la instanciación existencial
solo puede entrar en juego en presencia de una cuantificación existencial, y no
está claro que, para Kant, una afirmación en la que se produce un cuantificador
existencial pueda ser esencialmente analítica. Solo puedo decir que en tales
casos el texto de Kant no indica claramente que la necesidad de una apelación a
la intuición surge por la inferencia y no simplemente por la
verificación de la premisa.
Si Hintikka tuviera razón, uno podría esperar que en
los pasajes sobre álgebra se enfatizara el papel de las variables. Es posible
encontrar este énfasis en un pasaje de A717 / B745, pero no es realmente
explícito. El énfasis de A734 / B762 parece diferente, donde Kant dice: “Al
exponer los signos, se exponen en la intuición los conceptos, principalmente
los de la relación de cantidades”
(énfasis mío). Las relaciones parecerían expresarse mediante signos de función
algebraica. Aunque los pasajes sobre álgebra ofrecen cierto apoyo a la teoría
de Hintikka, es menos que decisivo. Mostraré que hay otras formas posibles de
ver estos pasajes.
La evidencia directa me parece, en general, opuesta a
la teoría de Beth-Hintikka. Sin embargo, tendría un fuerte apoyo indirecto si
no hubiera otras formas de explicar cómo la aritmética puede requerir
una intuición pura e interpretar la noción de "construcción de
conceptos", especialmente en álgebra. Para tal fin ahora volvemos al
problema de la diferencia entre aritmética y geometría.
V
La dificultad puede plantearse de esta manera: el
carácter sintético e intuitivo de la geometría obtiene una plausibilidad
considerable del hecho de que la geometría puede verse naturalmente como una
teoría sobre el espacio real y las figuras construidas en él. Este espacio está
relacionado con los sentidos al ser un campo en el que aparecen los objetos
dados a los sentidos, y la geometría parece proporcionar información bastante
sustancial sobre este espacio que, desde el punto de vista del pensamiento
abstracto, podría ser falsa.
El contenido de la aritmética no sugiere de inmediato
un carácter tan especial o una conexión con la sensibilidad. Por supuesto, en
primera instancia habla de números y operaciones y relaciones puramente
abstractas: igualdad, suma, resta, etc. Entonces la pregunta es: ¿cuál es el
campo de aplicación de los números? Es decir, ¿qué tipo de cosas se pueden
contar, asignar números cardinales u ordinales, o medir y así asignar
cantidades continuas? A primera vista, no hay razón para creer que la
aplicación de la aritmética debe ser a los objetos en el espacio y el tiempo.
Aunque esto ciertamente se ha vuelto más evidente desde el surgimiento de las
matemáticas abstractas, que los objetos matemáticos en sí mismos podrían estar
numerados era algo de lo que Kant ciertamente estaba en condiciones de estar al
tanto. Si la aplicación de la aritmética se limita a las apariencias, esta
limitación debe entenderse de manera bastante amplia para conciliarla con
hechos obvios.
En el caso de la geometría, era posible mencionar
posibilidades lógicas que los conceptos permitían pero que no existían de
acuerdo con la teoría matemática; Kant da el ejemplo de una figura plana de dos
lados, y se abrieron muchas más posibilidades en el desarrollo de la geometría
no euclidiana. Probablemente era imposible en el tiempo de Kant tener claro si
tal posibilidad existe en la aritmética. Si lo hiciera, daría lugar a una clara
separación de la verdad aritmética de la lógica. Este tipo de argumento no
estaba disponible para Kant. La dificultad se hace más aguda, algunos dirían
insoluble, por desarrollos posteriores en la lógica, particularmente los esfuerzos
de Frege y otros para hacer exactamente lo que Kant pensó imposible: reducir la
aritmética a la lógica, deducir las proposiciones aritméticas a partir de
definiciones y proposiciones de puro lógica.
Por supuesto, el alcance de lo que se considera
"lógica" aquí es considerablemente más amplio que lo que Kant
consideraba como tal. Por lo menos, necesitamos que este tipo de construcción
incorpore parte de la teoría de clases en la lógica; no solo la noción de clase
y algunas operaciones elementales que les conciernen, sino también al menos
algunos modestos axiomas de la existencia de clase: cuán modesto depende de la
cantidad de aritmética que quiera deducir.
Tanto para exponer lo que necesitamos de esta
construcción para nuestros propósitos como para indicar qué tan lejos se puede
llegar sin usar dispositivos teóricos de conjunto, discutiré una verdad lógica
que está estrechamente relacionada con '2 + 2 = 4' en más formalismos
extendidos. Este ejemplo ayudará a indicar hasta qué punto los casos de
aritmética y geometría son simétricos.
Considere el siguiente esquema del cálculo de
predicados de primer orden con identidad:
(1) ($ x)Fx × ($
x)Gx× (x) -
(Fx × Gx) × É ($ x) (Fx Ú Gx)
2
2 4
Donde
‘($ x)Fx’ es una abreviatura de ‘-($ x)Fx’
y ‘-($ x)Fx’ por
0
n+1
($ x)[Fx ×
($ y) (Fy × y
¹ x)].
n
para
que ‘($ x)Fx’ pueda expandirse como
2
(2) ($ x) ($ y) [Fx × Fy × x ¹ y × (u) (Fu
É × u = x Ú u = y)]
y
‘($ x) (Fx
Ú Gx) como
4
(3)
($ x) ($ y) ($ z) ($ w) [Fx Ú Gx × Fy Ú Gy × Fz Ú Gz× Fw Ú Gw×
x ¹ y × x ¹ z × x ¹ w × y ¹ z × y ¹ w × z ¹ w
(u) (Fu
Ú Gu × É × u = x Ú u = y Ú u = z Ú u = w)]
Intuitivamente,
la prueba de este esquema es así: supongamos
($ x)Fx ×
($ x)Gx×
2 2
Así,
en vista de (2) y su contraparte para
‘($ x)Fx’ hay x, y, z, y w tal que
2
Fx
×
Fy ×
x ¹
y × (u)
(Fu É × u = x Ú u = y)
Gz × Gw × z ¹ w × (u) (Gu É × u = z Ú u = w)]
Luego argumentamos, con la ayuda de ‘(x) - (Fx × Gx)’, que x, y, z,
w satisfacen la condición en el alcance de (3), y entonces inferimos que
hay x, y, z, w tal que esta condición se mantenga.
Este
esquema requiere para su formulación solo letras de predicados, variables,
cuantificadores, identidad y conectivos lógicos. La única noción involucrada
que podría ser diferente en principio de lo que Kant consideraba lógica general
es la identidad, y dado que se usa en la aplicación a objetos bastante
arbitrarios, no sugiere inmediatamente una restricción en cuanto a la
aplicación como lo hacen los conceptos geométricos. Además, el esquema se
prueba sin la aplicación de axiomas de existencia: el rango de valores de las
variables puede ser cualquier universo, incluso el vacío.[23]
Frege y sus seguidores del siglo XX
ciertamente pensaron que por su construcción habían refutado la opinión de que
la aritmética depende de alguna manera de la "intuición pura", la
sensibilidad o el tiempo. Así, la noción temporal de la adición sucesiva de
unidades, o la más concreta de combinar grupos de objetos, se reemplaza en la
construcción de Frege por la relación intemporal de una clase que es la
unión de otras dos, que puede definirse en términos de alternancia conectiva
lógica como ocurre en (1). Además, la construcción proporciona un marco para la
aplicación del concepto de número más allá del alcance de las apariencias
concretas, en particular, en la elaboración de la teoría de conjuntos.
Análogo a un espacio no euclidiano
sería un mundo posible en el que las identidades aritméticas resultaron de
manera diferente, por ejemplo, en el que 2 + 2 = 5. Pero,
¿no sería eso un mundo en el que habría una contrainstancia de nuestro esquema
y, por lo tanto, entrara en conflicto con la lógica? Solo, por supuesto, si se
conserva la conexión de significado entre '2 + 2 = 4' y el esquema (o '2 + 2 =
5' y un esquema similar). Me inclino a considerar la ruptura de esta conexión
como un cambio en el significado de la suma.
Sin embargo, hay una forma de salir
de este dilema. Con '2 + 2 = 5' asociaríamos el esquema
(4) ($ x)Fx × ($
x)Gx× (x) -
(Fx × Gx) × É ($ x) (Fx Ú Gx)
2 2 5
Ahora
supongamos que tenemos una U universal en la que para cualquier elección
de extensiones de ‘F’ y ‘G’ este esquema se hizo realidad.
Incluso de acuerdo con nuestras nociones de lógica, existe un posible caso en
el que esto sucede, y en el que (dado que (1) es válido) tampoco existe
conflicto con (1), es decir, en el que U contiene menos de cuatro
elementos. En eso, incluso el antecedente de lo anterior siempre sería falso.[24]
Si uno considera los axiomas de existencia mínima que
serían necesarios para probar el categórico '2 + 2 = 4' en la teoría de
conjuntos moderna, encontramos que nuevamente requieren que el universo
contenga al menos cuatro elementos, que pueden identificarse con los números 1,
2, 3, 4.
Si aceptamos la teoría de cuantificación de primer
orden con identidad como marco lógico, entonces parece que podemos mantener la
simetría de la aritmética y la geometría en un sentido débil, que proposiciones
tales como '2 + 2 = 4' implican o presuponen supuestos de existencia que es
lógicamente posible negarlos. Trazar la línea en este punto y declarar así que
la teoría de conjuntos no es lógica me parece eminentemente razonable; pero no
argumentaré por esto ahora, particularmente porque lo he hecho en otra parte.[25]
Creo que la presencia de proposiciones de existencia
en matemáticas es una de las consideraciones en juego en los puntos de vista de
Kant sobre las matemáticas, pero no está claramente diferenciada de otras. Sus
puntos de vista generales sobre la existencia implican que las proposiciones
existenciales son sintéticas, pero nunca aplica esta doctrina directamente a la
existencia de entidades abstractas. En la carta a Schultz citada anteriormente,
Kant dice que la aritmética, aunque no tiene axiomas, tiene postulados. Los
postulados sobre la posibilidad de ciertas construcciones, para Kant las
construcciones en la intuición, desempeñaban el papel
de supuestos de existencia en la geometría euclidiana. Schultz afirma como un
postulado en el Prüfung esencialmente que se define la suma.
Este factor también está presente en las observaciones
de Kant sobre la "construcción de conceptos en intuición pura," que
él considera la característica distintiva del método matemático. Si el geómetra
quiere demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es dos ángulos
rectos, comienza construyendo un triángulo (A716 / B744). Este
triángulo, como indicamos anteriormente, puede servir como paradigma de todos
los triángulos; aunque en sí mismo es un triángulo individual, no se usa nada
al respecto en la prueba que no es también cierto para todos los triángulos. La
prueba consiste en una secuencia de construcciones y operaciones en el
triángulo.
La visión de Kant era que es por esta construcción que
se desarrollan los conceptos involucrados y se muestra la existencia de objetos
matemáticos que caen debajo de ellos. Aunque no es necesario que consideremos
que este teorema implica o presupone que hay triángulos, Kant consideraba una
proposición general como vacía, como conocimiento no genuino, si no hay objetos
a los que se aplica. En este caso, solo la construcción de un triángulo puede
asegurarnos esto. Aparte de eso, se utilizan supuestos de existencia
adicionales en el curso de la prueba, en el ejemplo de A716 / B744 de
extensiones de líneas y paralelos.
El mismo factor también se sugiere en el pasaje
bastante misterioso en el que Kant dice que la operación con variables,
símbolos de función e identidad en el cálculo algebraico tradicional implica
"exhibir en la intuición" las operaciones involucradas, lo que él
llama "construcción simbólica". De hecho, dicha operación presupone
que las funciones involucradas están definidas para los argumentos que
permitimos sustituir por las variables. Además, la construcción de una
expresión algebraica para que un objeto satisfaga una determinada condición es
el paradigma mismo de una prueba constructiva de la existencia de dicho objeto.
Sin embargo, creo que hay algo más en juego en este pasaje, a lo que llegaré.
VI
De
ninguna manera es obvio que los supuestos de existencia que deben hacerse en el
desarrollo deductivo de las matemáticas tienen alguna conexión con la
sensibilidad y su supuesta forma. Frege, por su parte, estaba bastante
convencido de que no lo tenían. Lo que Kant dice que tiene que ver con este
punto no está completamente claro, en parte porque, en la naturaleza del caso,
está relacionado con algunas nociones difíciles en su filosofía, en parte
porque nuevamente no desconectó este tema de otros.
Como
observación preliminar, debemos observar que Kant ciertamente no consideraba la
aritmética como una teoría especial del tiempo, por ejemplo, en el sentido en
que consideraba la geometría como una teoría especial del espacio. A este
respecto, no aparece en las pruebas de la prioridad del tiempo ni en la
Estética ni en la discusión correspondiente en la Disertación Inaugural (§12,
§14 no. 5)
Sin embargo, está claro que, según Kant, la
dependencia de la aritmética de las formas de nuestra intuición es, en primera
instancia, solo al tiempo. Debería aventurarme a decir que el espacio entra en
la imagen solo a través de la manera general en que el sentido interno, y por
lo tanto el tiempo, depende del sentido externo, y por lo tanto del espacio.
Seremos claros sobre el carácter intuitivo de la aritmética cuando seamos
claros sobre la manera en que depende del tiempo.
Cada vez que Kant habla sobre este tema, afirma que el
número, y por lo tanto la aritmética, implica la sucesión de una manera
crucial. Así, al argumentar que la intuición es necesaria para ver que 7 + 5 =
12:
Pues tomo
primeramente el número 7 y, tomando como ayuda, como intuición, para el
concepto de 5, los dedos de mi mano, añado ahora poco a poco al número 7, en aquella imagen mía, las unidades que
antes reuniera para formar el número 5, y veo así surgir el número 12. (B15-6 énfasis mío)
Cuando da una caracterización general del número en el
Esquematismo, la referencia a la sucesión ocurre esencialmente:
La imagen
pura de todas las cantidades (quantorum) ante el sentido externo, es el
espacio, pero de todos los objetos de los sentidos en general el tiempo. Pero
el esquema puro de la cantidad (quantitatis), como [esquema] de
un concepto del entendimiento, es el número que es una representación que
abarca la adición sucesiva de lo uno a lo uno (homogéneos). (A142/B182)
Como dije, esto parece entrar en conflicto no solo con
la interpretación que el número y la suma adquieren en construcciones como la
de Frege, en la que, en lugar de la adición sucesiva de
"unidades", tenemos una relación intemporal, por ejemplo, que
un conjunto es la unión de otros dos; pero también con la aplicación de estas
nociones dentro de las matemáticas modernas, en las cuales se pueden hacer
declaraciones aritméticas sobre estructuras que son completamente intemporales,
y en referencia a las cuales cualquier hablar de "adición sucesiva"
es totalmente metafórico.
En la carta a Schultz, Kant califica su posición de
una manera que hace más justicia a este carácter más general de la aritmética:
El tiempo,
como usted señala con razón, no tiene influencia sobre las propiedades de los
números (como determinaciones puras de magnitud), como lo hace sobre la
propiedad de cualquier alteración (como un quantum), lo que en sí mismo solo es
posible en relación con una condición específica del sentido interno y su forma
(tiempo); y la ciencia del número, a pesar de la sucesión, que requiere toda
construcción de magnitud [Grösse], es una síntesis intelectual pura que
nos representamos en nuestros pensamientos.[26]
Anteriormente en la carta el escribe:
La
aritmética, para estar seguro, no tiene axiomas, porque en realidad no tiene un
quantum, es decir, un objeto de intuición como magnitud, para su objeto,
sino simplemente cantidad, es decir, un concepto de una cosa en general
por determinación de magnitud.[27]
Kant
está aquí, de hecho, reafirmando una posición afirmada en la disertación:
A estos se
agrega un cierto concepto que, aunque en sí mismo intelectual, exige su
concreción en las nociones auxiliares del tiempo y el espacio (en la suma y
sucesiva yuxtaposición simultánea de una pluralidad), a saber, el concepto de
número, tratado por aritmética. [§12][28]
Estas
observaciones colocan la aritmética menos en lo intuitivo y más en el lado conceptual
de nuestro conocimiento. Si la aritmética tuviera como objeto "un objeto
de intuición como magnitud", es decir, formas tales como los puntos,
líneas y figuras de geometría, entonces se referiría directamente a una forma
de intuición. Pero en cambio se refiere a "un concepto de una cosa en
general"; La ciencia del número es una "síntesis intelectual
pura". Esta última frase sugiere especialmente que las nociones
aritméticas podrían definirse en términos de categorías puras y, por lo tanto,
estar asociadas con formas lógicas que no se refieren en absoluto a las
condiciones de sensibilidad. Tal punto de vista parecería entrar en conflicto
con el estado del Esquematismo de que el número es un esquema.
La referencia a "un concepto de una cosa en
general" sin duda debe significar en el mismo sentido en que se dice que
las categorías especifican el concepto de un objeto en general, y la síntesis
intelectual pura es sin duda la de la deducción trascendental de la segunda
edición, que es la síntesis de un múltiple de intuición en general, que para
nosotros se realiza con el fin de proporcionar conocimiento solo en aplicación
a las intuiciones de acuerdo con nuestras formas de intuición. Por lo
tanto, el "concepto de un objeto en general" podría dar lugar al conocimiento
real de los objetos solo si estos objetos se pueden dar de acuerdo con
nuestras formas de intuición.
Pero,
¿significa esto simplemente que los objetos en el espacio y el tiempo
proporcionan la única aplicación concreta de estos conceptos que podemos saber
que existe, como cabría esperar de la ausencia de una referencia especial a la
intuición? Creo que si significa esto o algo más drástico es un caso especial
del dilema general sobre el entendimiento que mencioné al principio. En
cualquier caso, sin embargo, sería una interpretación plausible de Kant decir
que se debe recurrir a las formas de intuición para verificar la existencia de
suposiciones matemáticas.
Sin embargo, no está muy claro cómo aplicar las
concepciones generales derivadas de la Estética y la Deducción Trascendental al
caso en cuestión. Las proposiciones de existencia directa en matemáticas puras
son de entidades abstractas, y solo en el caso de la geometría se puede
decir que están en el espacio y el tiempo. Creo que los objetos considerados en
la aritmética y la teoría de conjuntos predicativa pueden interpretarse como formas
de objetos espacio-temporales. La teoría de conjuntos
completa, por supuesto, no se acomodaría de esta manera, pero no es razonable
esperar que, desde el punto de vista kantiano, la teoría de conjuntos
impredicativa sea un conocimiento intuitivo o incluso un conocimiento genuino.
Podría decirse legítimamente que postula entidades más allá del campo de la
experiencia posible.[29]
VII
Es
natural pensar en los números naturales como representados para los sentidos
(y, por supuesto, en el espacio y el tiempo) por números. Esto no significa
principalmente que los números funcionen como nombres de números, aunque por
supuesto lo hacen, sino que proporcionan instancias de la estructura de los
números naturales. En el sentido algebraico, el conjunto de números generados
por algún procedimiento es isomorfo a los números naturales en el sentido de
que tiene un elemento inicial (por ejemplo, 'o') y una relación sucesora que requiere
la noción de números naturales. En este sentido, por supuesto, los números son
objetos matemáticos abstractos; pueden tomarse como figuras geométricas. Pero,
por supuesto, las fichas concretas de los primeros n números son también
un modelo de los números del 1 al n o del o al n-1. Un conjunto
de objetos tiene n elementos si se puede poner en correspondencia uno a
uno con los números del 1 al n; una forma estándar de hacerlo es
poniéndolos en algún orden en correspondencia con ciertos números que
representan estos números, es decir, contando. (Los números utilizados en el
trabajo en la lógica formal, por ejemplo, donde el elemento inicial es 'o' y el
número (n + 1) se obtiene al prefijar 'S' al enésimo número, tienen
la propiedad adicional de que cada número contiene dentro de sí a todos los
anteriores de modo que el enésimo número sea en sí mismo un modelo de los
números de o a n).
La base para el uso de una percepción concreta de una
secuencia de n términos para verificar proposiciones generales es que,
dado que sirve como representante de una estructura, cualquier otra instancia
de la misma estructura podría cumplir el mismo propósito, que en cualquier otra
secuencia perceptible que se puede colocar en una correspondencia uno a uno con
el fin de preservar la relación sucesora. Esto podría justificarnos al llamar a
esa percepción una "intuición formal". Podríamos notar que la
existencia física de los objetos no es directamente necesaria, por lo que también
podemos abstraernos de ese factor "material".
Una intuición empírica funciona, podríamos decir, como
una intuición pura si se toma como un representante de una estructura
abstracta. Tal percepción proporciona la realización más completa posible ante
la mente de un concepto abstracto. Una de las preguntas importantes sobre la
filosofía de la aritmética de Kant es si existe una realización comparable más
allá de los límites de la escala de percepción concreta.
Antes de que podamos entrar en esta pregunta,
permítanme señalar otra razón estrechamente relacionada en la mente de Kant
para considerar las matemáticas como dependientes de la intuición. Esto surge
en particular en el concepto de "construcción simbólica". El
algebrista, según Kant, está obteniendo resultados al manipular símbolos
de acuerdo con ciertas reglas, que no podría obtener sin una representación
intuitiva análoga de sus conceptos. La "construcción simbólica" es
esencialmente una construcción con símbolos como objetos de intuición:
Luego de
haber caracterizado también el concepto universal de las cantidades de acuerdo
con las diversas relaciones de estas, exhibe en la intuición, según ciertas
reglas universales, toda operación generada y modificada por la cantidad, allí
donde una cantidad ha de ser dividida por otra, pone los caracteres de ambas
juntos, según la forma que caracteriza a la división, etc., y así por medio de
una construcción simbólica, llega tan bien como [llega] la geometría siguiendo
una [construcción] ostensiva o geométrica (de los objetos mismos), hasta allí
donde el conocimiento discursivo por mecho de meros conceptos nunca podría
llegar. A717/B745
El
hecho de que esto es una fuente de claridad y evidencia de las matemáticas y
proporciona una conexión de las matemáticas con la sensibilidad se indica por
el siguiente comentario: “aun sin tomar en consideración lo heurístico, se
preservan de errores todos los raciocinios poniendo a la vista cada uno de
ellos.” (A734/B762)
Una conexión de las matemáticas y
los sentidos a través de operaciones simbólicas ya se reivindica en el ensayo
premiado de Kant de 1764 Untersuchung über die Deutlichkeit der Grundsätze
der natürlichen Theologie und der Moral[30]
que presenta un prototipo de la teoría del método matemático y filosófico de La
Disciplina de la Razón Pura en el Uso Dogmático. Por ejemplo, considere la
declaración de este último:
El
conocimiento filosófico considera, pues, lo particular sólo en lo universal; el
matemático, lo universal en lo particular, e incluso en lo singular; y sin
embargo [lo hace] a priori y por medio de la razón…. A714/B742
Esta
distinción corresponde en el ensayo premiado a lo siguiente, donde se enfatiza
explícitamente el papel distintivo de los signos en matemáticas: "La
matemática considera en sus soluciones, pruebas e inferencias lo universal en
[unter] los signos in concreto,
filosofía lo universal a través [durch] de los signos in
abstracto"[31].
La certeza de las matemáticas está relacionada con el hecho de que los signos
son sensibles.
Dado que los
signos de las matemáticas son medios sensibles de conocimiento, uno puede saber
con la misma confianza con la que está seguro de lo que ve con sus propios ojos
que no ha dejado ningún concepto fuera de cuenta, que cada ecuación se ha
derivado de reglas fáciles, etc.; por lo tanto, la atención se hace mucho más
fácil ya que debe tener en cuenta solo los signos, ya que se conocen
individualmente, no las cosas como se representan en general.[32]
El
ensayo premiado sugiere una posición incompatible con La Crítica de la Razón
Pura, es decir, dado que en matemáticas los signos se manipulan de acuerdo
con las reglas que hemos establecido (en contraste con la filosofía, donde el
valor de cualquier definición depende de que tenga un cierto grado de fidelidad
al uso preanalítico), la operación con signos de acuerdo con las reglas, sin
prestar atención a lo que significan, es en sí misma una garantía suficiente de
exactitud.[33]
Estos pasajes muestran que existía
una conexión entre la sensibilidad y el carácter intuitivo de las
matemáticas en la mente de Kant antes de que desarrollara la teoría del espacio
y el tiempo de la Estética. Sin embargo, a diferencia del trabajo posterior, la
inferencia se extrae en esta etapa de esta conexión a una limitación de la
aplicación de las matemáticas a los objetos sensibles.
El punto general detrás de las observaciones sobre la
construcción simbólica puede expresarse de la siguiente manera: en general, una
proposición matemática solo puede verificarse sobre la base de una prueba o
cálculo, que es en sí mismo, una construcción en la intuición. Pero en vista de
las observaciones sobre '7 + 5 = 12', un hecho más especial puede haber
influido en Kant. Ciertas "construcciones simbólicas" asociadas con
proposiciones sobre números en realidad involucran construcciones isomorfas a
los números mismos y sus relaciones, o al menos un aspecto de ellos. Por lo
tanto, en la prueba de Leibniz de que 2 + 2 = 4, '2 + 2' debe escribirse como
'2+ (1 + 1)' y los dos 1, por así decirlo, deben agregarse al '2'. Una prueba
correspondiente de '7 + 5 = 12' implicaría cinco de estos pasos en lugar de
dos.
Varios escritores han hecho una observación similar
sobre el esquema (1). Aunque el esquema no implica que el universo
contenga elementos o que se pueda llevar a cabo cualquier construcción, la prueba
de ello consiste en escribir un grupo de dos símbolos que representen las F,
otro grupo que represente las G y juntarlas para obtener cuatro
símbolos. De modo que no está nada claro que '2 + 2 = 4', interpretado como una
proposición sobre las combinaciones de símbolos, no sea más elemental que el
esquema (1) lógicamente válido.
Ya he sugerido que la construcción
"simbólica" en la generación de números ya es suficiente para
resolver la cuestión de su referencia. Del mismo modo, la realización real de
los cálculos muestra el carácter bien definido para argumentos individuales de
funciones definidas recursivamente. Sin embargo, la inducción, que he querido
dejar fuera de consideración aquí, está involucrada en ver que están definidos
para todos los argumentos. Tal vez Kant debería haber dicho que, aparte de la
intuición, ni siquiera sé que existe un número como '7 + 5'. Y parece que una
construcción en particular no podría ver que existe un número sin ver también
que es 12. Esto está de acuerdo con la declaración de Hintikka de que el
sentido de la declaración de Kant de que las fórmulas numéricas son
indemostrables es que la construcción requerida para la prueba ya es
suficiente.
Las consideraciones sobre el papel de las operaciones
simbólicas se aplican igualmente a la lógica y, por lo tanto, socavan el
aparente deseo de Kant de distinguirlas sobre esta base. Esto aparece con más
fuerza en la lógica moderna, donde en lugar de una breve lista de formas de
inferencia válida, uno tiene una lista infinita que debe ser especificada por
alguna condición inductiva. En mi opinión, esta es una consecuencia que debe
aceptarse e incluso está de acuerdo en general con las declaraciones de Kant de
que la síntesis subyace incluso a la posibilidad de juicios analíticos.[34]
Creo que la conexión especial de la aritmética y el
tiempo puede explicarse de la siguiente manera: si uno construye de alguna
manera, como en el papel o en la cabeza, una secuencia de símbolos como los
primeros n números, la estructura ya está representada en la secuencia
de operaciones y, más generalmente, en la sucesión de actos mentales de correr
a través de un grupo de n objetos, como en contar. Así, el tiempo entra a través de la
sucesión de actos involucrados en la construcción o en la aprehensión sucesiva.
Esto se conecta con la observación de Kant sobre el número en el Esquematismo. En las operaciones involucradas en la
representación de un número para los sentidos, también generamos una estructura
en el tiempo que representa el número. El tiempo proporciona una fuente
universal de modelos para los números. En particular, Kant sostuvo que es solo
a través de la percepción sucesiva de diferentes aspectos de un múltiple y, sin
embargo, teniendo en cuenta como aspectos de una intuición, podemos tener una
concepción clara de una pluralidad. Para
números bastante pequeños, esto parece dudoso, aunque no para los más grandes.
No obstante, el elemento de sucesión aparece incluso para los más pequeños en
la comparación involucrada en generarlos o percibirlos en orden, y el
orden es ciertamente parte de nuestro concepto de número. Lo que le daría al
tiempo un papel especial en nuestro concepto de número que no tiene en general
no es su necesidad, ya que el tiempo es de alguna manera u otro necesario para
todos los conceptos, ni una referencia explícita al tiempo en declaraciones
numéricas, que no existe, pero es suficiente, porque el orden temporal proporciona
un representante del número que está presente en nuestra conciencia, si es que
hay alguno presente.
Por supuesto, una cosa es hablar de representación en
el espacio y el tiempo y otra hablar de representación para los sentidos.
Lo que está representado para los sentidos está presumiblemente representado en
el espacio y el tiempo, pero quizás no al revés. Establecer un vínculo de estos
dos Kant apelaría a su teoría del espacio y el tiempo como formas de
sensibilidad. La parte relevante de esta teoría es que las estructuras que se
pueden representar en el espacio y el tiempo son estructuras de posibles
objetos de percepción. El tipo de posibilidad en juego aquí debe ser
esencialmente matemático e ir más allá de la posibilidad "práctica" o
física.[35]
Considere una vez más un procedimiento para generar
números, digamos comenzando con 'o' y anteponiendo las ocurrencias de 'S'. El
uso real de estos como símbolos requiere que sean objetos perceptibles. No
obstante, decimos que es posible repetir el procedimiento
indefinidamente y, por lo tanto, construir indefinidamente muchos números. Por
lo tanto, está claro que los números (tipos de números)[36]
que en este sentido es posible construir se extienden mucho más allá de los
símbolos numéricos que se han producido en la historia o que, en cualquier
sentido concreto, podrían usarse como símbolos.[37]
Esta posibilidad de iteración es necesaria para la posibilidad de construir
indefinidamente muchos números y, por lo tanto, para el infinito de los números
naturales a través de una construcción intuitiva. Además, parece necesaria
cierta comprensión de dicha iteración para la inducción matemática.
En la medida en que se supone que la apelación a la
intuición pura para la evidencia de enunciados matemáticos es una analogía del
conocimiento matemático y perceptivo, no sirve tanto para las proposiciones que
involucran el concepto de iteración indefinida, como las probadas por
inducción, que para proposiciones como 2 + 2 = 4. Parece que hay dos tipos
independientes de comprensión de nuestras formas de intuición que una visión
kantiana requiere que tengamos, lo que permite que una percepción particular
funcione como una "intuición formal" y lo que tenemos en la posible
progresión de la generación de intuiciones según una regla. Hablar de un tipo
de intuición peculiar en el segundo caso parece bastante engañoso. El
conocimiento matemático involucrado tiene una relación altamente compleja con
la "intuición" en el caso más específicamente kantiano.
La complejidad debe estar presente de alguna manera en
las "intuiciones" del espacio y el tiempo, ya que el espacio es un
individuo dado, pero su estructura también determina los límites de la posible
experiencia y contiene varios aspectos infinitos. Sin duda, la plausibilidad de
la idea de que el espacio está presente en la experiencia inmediata hizo que a
Kant le resultara más difícil apreciar las diferencias de los tipos de
evidencias cubiertas por sus nociones de intuición pura. Estoy seguro de que se
podría hacer más para explicar la visión kantiana de su conexión.
En nuestra discusión sobre la intuición, hemos perdido
un poco de vista la visión de la lógica que al principio atribuimos a Kant, que,
a excepción de la cuestión de la existencia, se asemeja a los puntos de vista
modernos llamados platónicos. Aunque la visión de la intuición de Kant encaja
mejor con las tendencias modernas llamadas constructivistas o intuicionistas,
parece cierto que el concepto de intuición pura estaba destinado a ir con esta
visión de la lógica y no reemplazarla. Sin utilizar nociones como
"conceptos" y "objeto" de una manera bastante general,
probablemente no sea posible describirlo. Sería apresurado por esa razón
identificar la concepción de intuición de Kant con la de los intuicionistas
holandeses, aunque Brouwer indudablemente muestra cierta afinidad. También
sería apresurado considerar que la crítica de Brouwer a las matemáticas
clásicas está totalmente de acuerdo con el kantismo.
