Kant sobre las definiciones
matemáticas[1]
Mirella
Capozzi
Universidad
de Roma “La Sapienza”, Italia
(Traducción
de Laura Pelegrín*, con la colaboración de Luciana
Martínez**)
I
I.1. La definición y la teoría del esquematismo.
¿Qué quiere
decir Kant con ‘definición’? Estrictamente hablando,
(*) definir
es “exponer originariamente el concepto detallado de una cosa, dentro de los
límites de él” (A 727 = B755)[2].
Es decir, el
concepto debe ser presentado con todas las notas (Merkmale) que son suficientes para su distinción y que puede verse
que le pertenecen directamente, es decir, sin ninguna prueba. En otras
palabras, el concepto original debe
ser presentado en su completitud y precisión (A727 = B755 nota al pie; Logik §99). De acuerdo con Kant, solo
algunos pocos conceptos son definibles en el sentido de la afirmación citada
(*) y esos pocos son conceptos matemáticos.
Sin embargo,
a lo largo de la Crítica, la
definición se vincula con la noción de significado. Por ejemplo, al hablar de
las categorías, Kant sostiene que son modos de darle al objeto “su significado según una función cualquiera
del entendimiento (...), es decir, de definirlo”
(A245. Las cursivas son mías). Esto nos coloca ante el problema de cómo encaja
el sentido (*) de la definición en la teoría del significado de Kant, ya que
seguramente él no creía que los conceptos que no son definibles en el sentido
(*) carecieran de significado. Para resolver el problema, comenzaremos por
explicar en qué consiste para Kant dar un significado a un concepto, y luego
compararemos el sentido (*) de la definición con tal explicación.
Kant dice
que un concepto tiene significado cuando "se refiere a un objeto"
(B303), es decir, cuando se "hace real" a través de una referencia,
ya sea a priori o a posteriori, a una intuición. El modo
en el que se establece tal referencia se describe en la teoría del
esquematismo. (Por cierto, Kant parece admitir una conexión entre definición y
significado incluso con independencia de cualquier referencia de conceptos a
objetos, como en el caso del "significado lógico" puro (A147 = B186)
de categorías no esquematizadas. Esta cuestión se abordará más adelante).
[424] La
teoría del esquematismo, aunque aparentemente concebida para explicar cómo las
categorías se refieren a las intuiciones, es una teoría omnicomprensiva de las
relaciones que los conceptos en general tienen con las intuiciones (y
viceversa). Como es bien sabido, el esquematismo es un procedimiento de la
facultad de la imaginación (Einbildungskraft)
destinado a proporcionarles a los conceptos esquemas que puedan actuar como
intermediarios entre ellos y las "imágenes", es decir, intuiciones.
Kant distingue cuidadosamente los esquemas y las imágenes. Un esquema es una
determinación a priori de la
intuición del tiempo que depende de la Einbildungskraft
"productiva" y relaciona conceptos con imágenes; una imagen, por otro
lado, depende de la Einbildungskraft
"reproductiva" y es el producto final de todo el procedimiento de
esquematización.
Esta teoría
general no solo no ignora las diferencias entre los diversos tipos de
conceptos, sino que incluso las realza al facilitarnos la comprensión de
aquello que diferencia los conceptos definibles de todos los demás. De hecho,
si bien todo concepto esquematizable tiene un significado, los esquemas no son
todos del mismo tipo y solo algunos de ellos pueden garantizar una definición
estricta de los conceptos a los que se refieren.
Por lo
tanto, "el esquema de un concepto puro del entendimiento [el esquema
trascendental de una categoría] es algo que no puede ser llevado a imagen
alguna" (A142 = B181). Esto significa que los conceptos categoriales,
aunque capaces de referirse a objetos y, por tanto, significativos, no tienen
un significado determinado de forma completa y precisa. Por tanto, en el
sentido estricto (*) de la definición, las categorías pueden tener una
“exposición” pero nunca una “definición” (A729 = B757; A244 - 5).
En cuanto a
los conceptos empíricos, Kant está tan seguro de su significatividad que
sostiene que "[n]os servimos de una multitud de conceptos empíricos sin
oposición de nadie, y nos consideramos autorizados, aun sin deducción, a
asignarles un sentido y una significación imaginaria, porque siempre tenemos a
mano la experiencia, para demostrar la realidad objetiva de ellos" (A84 =
B117). Sin embargo, los conceptos empíricos plantean un problema opuesto al
planteado por las categorías: sus esquemas pueden reducirse a innumerables
imágenes, pero tales esquemas guardan una semejanza demasiado estrecha con
ejemplos empíricos comunes y, por lo tanto, no pueden alcanzar una precisión y
una completitud mayores que las obtenidas mediante la ejemplificación[3]. De modo que es fácil
entender por qué los conceptos empíricos no logran satisfacer los requisitos en
sentido (*) para una definición y solo son posibles de una
"denominación" por la que son explicados
pero nunca propiamente definidos (A728 = B756; R 2917).
Finalmente,
el Schematismuskapitel trata de
"conceptos sensibles puros" [425] que, a juzgar por los ejemplos de
Kant, son conceptos de figuras en el espacio, es decir, conceptos geométricos.
Sus esquemas son "un producto y, por así decirlo, un monograma de la
imaginación pura a priori, por el
cual, y según el cual, las imágenes llegan a ser, ante todo, posibles"
(A141 = B181). Ahora bien, la naturaleza monogramática de estos esquemas es lo
que permite atribuir un significado completo y preciso a los conceptos
sensibles puros. De hecho, tales esquemas, a diferencia de los de los conceptos
puros, pueden reducirse a imágenes; y tales imágenes, a diferencia de las de
los conceptos empíricos, están completamente "prefiguradas" por el typus de sus esquemas monogramáticos[4]. Por lo tanto, los conceptos
sensibles puros son los únicos estrictamente definibles entre los conceptos
significativos.
Esto muestra
que la teoría de la definición de Kant es consistente con su teoría del
significado, que a su vez se basa en la división de conceptos en conceptos dados y conceptos hechos[5], a priori o a posteriori (Logik §4). Dentro de este marco, el
sentido (*) de la definición fija un conjunto de condiciones solo satisfacibles
por conceptos que no están dados "ni por la naturaleza del entendimiento,
ni por la experiencia" (A729 = B757), sino que se fabrican arbitrariamente
(a priori), es decir conceptos
matemáticos. Luego, se podría concluir que es su origen específico lo que distingue los conceptos definibles en
sentido (*) de todos los demás.
Sin embargo,
esta conclusión no explica realmente cómo los conceptos matemáticos se
diferencian de otros conceptos con respecto a lo que tienen en común, es decir, la búsqueda y el
hallazgo de un significado. Además, queda por verse por qué Kant habla también
de "definiciones nominales" y, al referirse a las categorías, como ya
hemos mencionado, de un significado "lógico". Por tanto, parece
necesario profundizar en su teoría de la definición para desentrañar estas
cuestiones que no son meras cuestiones de terminología.
1.2. Las diferenciaciones entre
definiciones analíticas y sintéticas, nominales y reales. Extensión e
intensión. La conexión entre las dos diferenciaciones.
Para
empezar, Kant es perfectamente consciente de las dificultades a las que se
enfrenta cualquier teoría de la definición que deba hacer uso de la lengua
alemana, que tiene un solo término (Erklärung)
para indicar “definición”, así como “exposición” y “explicación” (A730 = B758).
No obstante, siguiendo una tradición filosófica profundamente arraigada, sí da
una clasificación de definiciones en sus lecciones sobre lógica, a saber, en la
Logik Jäsche y en otras Vorlesungen sobre el mismo tema. [426]
Específicamente,
se dice que las definiciones son (1) analíticas o sintéticas y (2) nominales o
reales. Hay definiciones analíticas
de conceptos dados, a priori o a posteriori (Logik §§100, 101). Las
definiciones sintéticas se refieren a conceptos hechos (concepti factitii)
(Logik §§ 100, 102). Sin embargo,
dado que los conceptos hechos por una síntesis empírica de fenómenos dados no
son propiamente definibles (Logik §
103), las definiciones sintéticas son posibles solo en el caso de los conceptos
hechos a priori por medio de una construcción,
es decir, los conceptos matemáticos. Obviamente, esta primera distinción entre
definiciones es una fiel réplica de la clasificación de conceptos en cuanto a
su origen y como tal, no dice más de
lo que ya sabíamos a partir de nuestro análisis previo.
La
distinción entre definiciones nominales y reales es más compleja, debido a los
numerosos sentidos y funciones que tienen los términos "nominal" y
"real" en las afirmaciones de Kant sobre las definiciones. He
seleccionado tres de ellas para cada uno de los términos en cuestión:
Definiciones nominales: (1) contienen el significado dado arbitrariamente a un
cierto nombre (Logik § 106), es
decir, dan un "significado convencional" a un nombre (R 3006); (II) son aquellas cuyo concepto
indica suficientemente todo lo que se sabe subjetivamente
de una determinada cosa[6]; (III) indican solo la
esencia lógica (logische Wesen) de
los conceptos que definen (Logik
§106; R 3966).
Definiciones reales: (I) como todas las definiciones, realizan la función
principal de 'dar un nombre' a los conceptos para poder distinguirlos entre sí
(Logik Philippi, p.460); (II)
permiten expresar todo lo que objetivamente
pertenece a los conceptos definidos; (III) contienen la esencia real (Realwesen) de los conceptos definidos y
son suficientes para el conocimiento del objeto (Object) de acuerdo con sus determinaciones internas (Bestimmungen), en la medida en que
muestran la posibilidad del objeto (Gegenstand)
a partir de sus notas internas (Merkmale)
(Logik §106; R 3006).
Dado que las
definiciones nominales y reales en el sentido (I) equivalen esencialmente a lo
mismo, comencemos directamente con el sentido (II). Aquí claramente Kant está
considerando las definiciones desde el punto de vista de la relación entre el
sujeto y el objeto de conocimiento y, por tanto, desde el punto de vista de la Materie de los definienda. Esto significa que un concepto que le es dado a uno mismo puede tener una
definición nominal, pues basta con que su definiens contenga [427] lo que uno
conoce subjetivamente del concepto,
es decir, su forma. Pero como no se
puede hacer explícito todo lo que objetivamente pertenece a un concepto, a
menos que lo haya fabricado
realmente, una definición real solo es posible para un concepto cuyo definiens se pensó originalmente como perteneciente a él. En un caso como éste, sin
embargo, la definición nominal coincidirá con la real.
Se puede ver
fácilmente que aquí Kant vuelve a distinguir entre definiciones apelando al origen de los definienda: los conceptos dados a
priori (RR 2914, 2918,2926,2995)
o a posteriori (RR 2934,2936,2945; Logik Philippi, p. 460) solo pueden
definirse nominalmente, mientras que los conceptos hechos a priori pueden tener definiciones reales.
Para
apreciar la distinción entre definiciones nominales y reales en el sentido
(III) anterior, debemos recordar algunos aspectos de la teoría de los conceptos
de Kant. Esta teoría, en conformidad con la lógica tradicional, coloca los
conceptos en un orden jerárquico en el que los conceptos subordinados son la
extensión (Umfang) de los conceptos
superiores y los conceptos superiores son el contenido (Inhalt) de los conceptos subordinados[7].
Consecuentemente, cualquier concepto superior está contenido en los conceptos subordinados (como en
el caso de 'metal' que está contenido en 'oro', 'cobre', 'plata', etc.)
mientras los contiene bajo sí mismo (Logik §7).
Ahora bien,
la esencia lógica, de la que se trata en las definiciones nominales en el
sentido (III), corresponde al Inhalt
de un concepto en la medida en que este último contiene todas las Merkmale necesarias (es decir, las notas
que siempre deben encontrarse en la cosa representada; Logik, AA 9: 60, 61) de ese concepto. Por tanto, una definición
nominal caracteriza al definiendum en
términos de los essentialia que son
su intensión. Para hacer esto, no es necesaria la intervención de la intuición
(ya sea a priori o a posteriori), ya que todo lo que está
en cuestión en una definición nominal es el aspecto lógico del concepto. Así,
cuando Kant habla de un significado lógico independiente de la intuición de
conceptos dados a priori (categorías),
tiene en mente su esencia lógica, que puede ser objeto de una definición
nominal. En este sentido, podemos explicar cómo se vinculan definición y
significado también desde un punto de vista puramente lógico, aclarando así la
expresión “significado lógico”, mencionada en I.1.
Una
definición real en el sentido (III) apunta, en cambio, a la Realwesen de un concepto y tiene que
explicar su posibilidad sobre la base de las Merkmale internas solamente. Ahora bien, conocer la Realwesen de algo significa conocer los
predicados de los cuales (como principios de determinación) depende todo lo que
pertenece a la existencia de esa cosa[8].
Por lo tanto, una definición real es tal que [428] permite a uno decidir,
cuando se enfrenta a cualquier objeto, si este objeto cae bajo el concepto del definiendum o no. Así, una definición
real permite usar el concepto definido como un Erkenntnisgrund con respecto a todos los conceptos que constituyen
su extensión. Obviamente, los conceptos empíricos no pueden ser determinados de
tal modo que se tornen aplicables (como principios de determinación) a la totalidad de su extensión, ya que uno no
puede determinar completa y precisamente los límites de esta extensión. En
resumen, uno no puede enunciar una regla que le permita decidir, por ejemplo,
si, para cualquier x posible, 'x es un metal' es verdadero o falso.
Entonces,
¿sería correcto concluir que solo los conceptos no empíricos tienen
definiciones reales? La respuesta es sí, aunque solo en parte. Para Kant, de
hecho, las definiciones reales deben mostrar la posibilidad de los definienda
con respecto no solo a su forma sino también a su Materie. Esto restringe el rango de las definiciones reales a los
conceptos hechos a priori, que son
los únicos cuya posibilidad der Materie
nach puede mostrarse simplemente sobre la base de sus Merkmale internas, sin ninguna apelación a la experiencia efectiva.
Esto significa que los conceptos realmente definidos también tienen un tipo de existencia que se puede establecer a priori. Pues, en toda definición real,
el definiens contiene una marca clara
mediante la cual la "realidad objetiva" del definiendum se prueba más allá de toda duda (A242, nota al pie).
Así, una definición real (1) nos permite reconocer
todo lo que pertenece al definiendum como
el ámbito de su aplicación, es decir, como su Umfang; (2) efectivamente produce
el concepto que define. Claramente, esta producción no debe entenderse como la
producción de una instancia particular del concepto, sino más bien, al
involucrar solo la intuición pura,
como el establecimiento de una regla para producir (o reconocer) cualquiera de
sus instancias.
Todo esto
proporciona una evidencia concluyente de la insuficiencia del origen como
criterio para juzgar la referencia objetiva de los conceptos definidos.
Afortunadamente, sin embargo, esto no crea ninguna oposición entre las distinciones
analítico-sintético y nominal-real de las definiciones. Por el contrario, tales
distinciones están estrechamente relacionadas, ya que las definiciones
nominales indican la esencia lógica de los conceptos solo sobre la base de un
análisis de su Inhalt[9]. Por otro lado, las
definiciones analíticas de conceptos dados son nominales en los sentidos (II) y
(III ): en el sentido (II), porque el análisis de las Merkmale[10] coordinadas o subordinadas de conceptos dados
da como resultado lo que se sabe subjetivamente
sobre ellos; en el sentido (III), porque ningún análisis de conceptos dados a priori puede conducir a su Realwesen, mientras que cualquier
análisis de conceptos dados a posteriori
está dirigido solo a su Inhalt lógico
(si se analizan las Merkmale que están
subordinados a parte post).
De manera
similar, las definiciones reales solo son posibles en el caso de los conceptos
hechos a priori [429], es decir, los
conceptos definibles sintéticamente. Nótese que en este caso las dos
distinciones entre definiciones se reducen en realidad a nada. Un concepto
hecho a priori no solo tiene
definición real sino también nominal (completa y precisa): pues, en
"conceptos arbitrarios" lo que es subjetivo y lo que es objetivo
coinciden (R 4016), y tanto la
síntesis como el análisis de las Merkmale
coordinadas o subordinadas (tanto a parte
ante como a parte post) son
completos y precisos[11]. A la inversa, una definición
sintética solo es posible en el caso de los conceptos cuyas Merkmale subordinadas y coordinadas
pueden analizarse exhaustivamente. En resumen, la capacidad peculiar de los
conceptos hechos a priori de tener
definiciones reales y sintéticas les permite satisfacer los requisitos de
definiciones de nuestro sentido (*) incluso cuando están definidos analítica y
nominalmente. Por esta razón, las definiciones sintéticas y reales tienen un
estatus especial y, en ciertos contextos, parecen ser las únicas que 'merecen'
el nombre de definiciones.
Todo esto no
deja lugar a dudas sobre que la atención de Kant al Inhalt y Umfang de los
conceptos va más allá del respeto obediente a la lógica tradicional, ya que
parte de su interés por el significado
considerado como la referencia objetiva de los conceptos (como es especialmente
claro a partir de las definiciones reales en el sentido III). Es en esta
perspectiva que las definiciones reales se convierten en “el ideal”, por así
decirlo, al que cualquier definición intenta acercarse pero que solo las
definiciones de conceptos hechos a priori
pueden alcanzar[12].
I.3. El esquematismo. El estatus
especial de las definiciones matemáticas.
Hemos visto
lo que Kant quiere decir con "definición nominal" y con "significado
lógico" de conceptos. Por lo tanto, nos quedamos con solo una de las
preguntas mencionadas al final de la Sección I.1, a saber, cómo los conceptos
definibles en sentido (*) difieren de los otros conceptos significativos con
respecto a la forma en que establecen su propio significado.
Para
encontrar una respuesta a esta pregunta, reconsideraremos brevemente el
esquematismo desde el punto de vista de las definiciones reales. Es obvio que
las definiciones reales, que involucran tanto conceptos como intuiciones, son
el resultado de una esquematización. No es tan obvio, sin embargo, que indiquen
el significado de los definienda no
solo a través de, sino también en sus
esquemas: una definición real, como hemos visto anteriormente, corresponde al
establecimiento de una regla (un esquema) a la que todas las instancias del definiendum
deben adecuarse, más que a la producción de cualquiera de sus instancias.
En cuanto a
los conceptos empíricos y a priori, ya hemos mostrado que [430] su
indefinibilidad en el sentido (*) depende de la naturaleza ejemplar de los
esquemas de los conceptos empíricos y de la incapacidad de los esquemas
trascendentales de ser reducidos a imágenes particulares. Ahora podemos decir
con más precisión que lo que impide definir tales conceptos es la imposibilidad
de definirlos en sus esquemas.
Inversamente, la completitud y precisión de las definiciones reales son
consecuencia de la naturaleza esquemática de su referencia objetiva o, como
dice Kant, de la "construcción esquemática" (Entdeckung, AA 8: 192 n.) hecha por el sujeto.
Sin embargo,
la prioridad del significado sobre el origen como criterio para clasificar las
definiciones no es motivo para subestimar la importancia de este último, ya que
ambos criterios se basan en la misma teoría de los conceptos, que proporciona
tanto su vocabulario como la evidencia de su conexión. Simplemente queremos
enfatizar que, dado este trasfondo común, la prioridad del criterio del
significado es la verdadera contribución kantiana a la teoría de la definición.
Esto es en
gran parte resultado de la constante reflexión de Kant sobre la naturaleza de
la matemática y, en particular, sobre la definición matemática. Si las
referencias a las definiciones matemáticas se han mantenido al mínimo en las páginas
precedentes, esto no se debe solo a que ya se ha puesto bastante énfasis en la
identificación de Kant del sentido (*) con el sentido matemático de la
definición, sino también para evitar en esta etapa algunas distinciones que
pertenecen a la esfera de la definición matemática (ver Parte III). Además,
todo lo que realmente debe destacarse en este momento es que las definiciones
matemáticas pueden establecerse como el modelo sobre el que se ha construido la
teoría de Kant de las definiciones sintéticas y reales, hasta
el punto que se puede apreciar plenamente la importancia creciente del
criterio de significado a través de un análisis del desarrollo del pensamiento
kantiano sobre las definiciones matemáticas desde algunos de sus escritos
anteriores hasta su obra principal. En la Parte II nos ocuparemos, de manera
sucinta, justamente de esto.
II
II.1. Clasificaciones tempranas de
los conceptos y las definiciones. El criterio del origen.
La mejor
evidencia de que el criterio del significado es el novum de la Crítica es el
hecho de que en los escritos tempranos el origen era el único criterio para
clasificar los conceptos y las definiciones. De hecho, el así llamado Preisschrift, publicado en 1764,
comienza afirmando que la matemática siempre forma y [431] define sus conceptos
a través de un “enlace arbitrario” de conceptos (AA 2:276). Esa afirmación ha
sido frecuentemente interpretada de dos maneras contradictorias entre sí: o
bien como precursora de la doctrina crítica de la definición matemática en A713/B741,
o como un pensamiento kantiano unicum,
que exhibe un abordaje convencionalista-combinatorio de las definiciones en
matemática.
Las dos
interpretaciones son insatisfactorias. El Preisschrift
es precursor de la Crítica, pero
sólo en la medida en que sostiene que los conceptos matemáticos son conceptos
hechos y sus definiciones son, por consiguiente, sintéticas. Sin embargo, no
contiene nada parecido a la idea crítica de que los conceptos matemáticos deben
ser construidos, en el sentido de que
debemos exhibir a priori la intuición que les corresponde (A713 = B741). El Preisschrift carece de una teoría acerca
de la referencia objetiva de los conceptos; es decir, carece precisamente de un
criterio del significado.
Por otro
lado, el Preisschrift no es tan
diferente de la Crítica como para
justificar que sea considerado como una concesión, única en la carrera
filosófica de Kant, al convencionalismo. En primer lugar, el
anti-convencionalismo de Kant en matemática es una de las pocas características
de su pensamiento que permanecen inalteradas en todos los estadios de su
pensamiento filosófico.[13] En segundo lugar, el término “arbitrario”,
como bien señala L. W. Beck, no significa “aleatorio”[14],
sino, antes bien, “independiente de la experiencia”. Por último, Kant habla de
una conexión arbitraria de conceptos, lo
que significa que algunos conceptos individuales están dados como los únicos
con los que puede comenzar una conexión “arbitraria”. Kant llega a mencionar
esos conceptos: son los conceptos “de magnitud[15] en general, el de unidad, el de conjunto, el
de espacio…”, que deben presuponerse para la aritmética general, el álgebra, la
geometría (AA 2: 279). Así, la arbitrariedad de la conexión se restringe a una
esfera de contenido precisamente determinada por una serie de conceptos dados y
por un número de principios (Grundsätze)
que expresan sus propiedades generales y regulan su uso.[16]
Sin embargo,
se ha afirmado que la interpretación convencionalista-combinatoria también se
apoya en la mención, en el Preisschrift, de
la capacidad, específica de la matemática, de representar conceptos bajo, y no sólo a través de, signos (AA
2: 278) y de operar con ellos. Esto es ciertamente así, pero uno no debería
pasar por alto el cuidado de Kant en explicar que (i) hay una relación mutua de
semejanza (Ähnlichkeit) entre los
conceptos geométricos y sus representaciones (AA 2: 292); (ii) los signos
aritméticos (Buchstabenrechnung) son
suficientes para la certeza (ibid.); (iii) los símbolos algebraicos deben ser
interpretados (AA 2: 278). Además, [432] todos estos signos son “visibles” (sichtbare, AA 2: 279), es decir, signos
sensibles que conllevan la evidencia inmediata de la sensibilidad,
especialmente cuando son semejantes a los conceptos que representan.
Ahora, más
allá de contradecir la interpretación convencionalista, ¿llega todo esto (la
restricción del contenido y la conexión con la sensibilidad) a un solapado
criterio del significado? Pienso que no. Seguramente la cuestión del
significado esté presente en el Preisschrift,
pero éste no contiene (ni necesita) en sentido propio un criterio de
significado. Por un lado, las restricciones del contenido de las definiciones
matemáticas tienen la función de reglas de formación de los conceptos
matemáticos y, como tales, constituyen un criterio concerniente a su origen. Por otro lado, el trasfondo
metafísico del Preisschrift, como
veremos, es suficiente para garantizar el significado de conceptos definidos
arbitrariamente. Por esto, no hay necesidad de reglas especiales para asignarles
un significado a conceptos en general y a conceptos matemáticos en particular.
Así, sin reglas, no hay criterio del que hablar.
Para
comprender mejor la situación puede ser útil prestar atención a otro texto de
este período, en el que, en un contexto más amplio, Kant investiga el estatus
modal de los conceptos matemáticos: el Beweisgrund.
En él, Kant afirma que los conceptos matemáticos pertenecen a la esfera de la
posibilidad, en la medida en que no son ni “necesarios” en sí mismos, ni
efectivamente “existentes” (AA 2: 75). Se ve fácilmente que esto concuerda con
la tesis del Preisschrift, según la
cual los conceptos matemáticos no son “dados” ni “encontrados”, sino fabricados
por sus definiciones.
El paso
siguiente de Kant consiste en analizar algunos de esos conceptos, llegando a la
siguiente conclusión: en todos los conceptos posibles, podemos distinguir lo formal (o lógico) y lo material (o dato) de la posibilidad (AA 2: 77-78).
Sobre esta base defiende la dependencia de la posibilidad en la existencia,
sosteniendo que si se quitara todo lo que existe, no quedaría nada, ni siquiera el dato para conceptos posibles, como los
matemáticos (AA 2:78).
Desde luego,
Kant no quiere decir que para fabricar (o definir) un concepto posible, como el
del triángulo rectángulo, sus materialia,
es decir “ángulo recto” y “triángulo”, deban efectivamente existir.
Simplemente dice que debe suponerse que algo existe y que, en el caso de la
geometría, esto es el espacio (AA 2: 80-81). Así, mientras que desde el punto
de vista del Preisschrift es
suficiente considerar el espacio como primitivo, desde el punto de vista del Beweisgrund es necesario atribuir al
espacio algún tipo de existencia.
Por
consiguiente, la conexión entre los conceptos matemáticos y la existencia [433]
puede remontarse a los términos primitivos de la matemática y a las
proposiciones fundamentales acerca de ellos. Así sabemos que y dónde la cuestión
del significado está activa en este momento del pensamiento filosófico de Kant,
pero no podemos decir que tenga una teoría establecida al respecto.
II. 2. Del criterio del origen al
criterio del significado.
La prioridad
de la existencia sobre la posibilidad, desde un punto de vista gnoseológico
tiene pocas consecuencias, la más interesante de las cuales es que el modo como
uno llega a conocer lo que existe, es decir la experiencia, debe tener un
estatus privilegiado entre los modi
cognoscendi. Una vez que este resultado autónomo de la investigación
kantiana en el tema del conocimiento entra en contacto con Hume a fines de los
‘60, un período de radical empirismo estaba casi destinado a sobrevenir. No
intentaré proponer una reconstrucción, detallada o no, de este período. Sin
embargo, creo que los siguientes comentarios proporcionan al menos una pista de
las razones por las que este período marcó el comienzo de la emergencia del
significado como criterio.
La repentina
eliminación de la metafísica de la filosofía de Kant, causada por su “crisis”
empirista, hizo imposible seguir dando por sentada la conexión entre la
matemática y el mundo existente. Y esto vale tanto para los términos primitivos
como para los derivados. Entonces Kant, para salvaguardar la referencia
objetiva, la significatividad de la matemática, no dudó en vincularla
directamente con la existencia por medio de la experiencia: la matemática
renunció su carácter a priori (RR 3750, 3738, 3923).[17] Lo más importante aquí, aparte de la extravagancia
de la resolución con respecto a las doctrinas críticas, es que la referencia
objetiva de los conceptos matemáticos había ganado tal importancia, que Kant
pasó por alto (temporariamente) sus propias afirmaciones acerca del carácter no
empírico de la matemática.
Como se
sabe, esa posición extrema (para Kant) sería abandonada principalmente porque
la posesión segura de significado via inducción
se contrarrestaba por la pérdida de universalidad de los conceptos matemáticos,
así como de las leyes físico-matemáticas. Muchas
“caídas” (Umkippungen) intelectuales,
registradas en el Nachlass, se
producirían todavía por soluciones provisionales de este problema antes de la
revolución que conduciría a la Crítica[18]. La importancia del
significado como un test para todos los conceptos, empero, permanecería
establecida sin cuestionamiento.
Desde luego
que el criterio del origen volvió a ser valorado, pero sólo después de haber
sido [434] privado (al menos con respecto a los conceptos matemáticos) de
cualquier connotación “combinatoria” que pueda haber tenido. Esto fue posible
porque Kant estableció finalmente las reglas,
es decir el criterio, para el significado de los conceptos en el
(lamentablemente demasiado breve) Schematismuskapitel.
III
III.
1. Las definiciones de la matemática desde un punto de vista sistemático:
algunas preguntas abiertas.
En la Parte
I y la Parte II nos hemos ocupado de la teoría de la definición matemática de
Kant en general. Ahora discutiremos una sospecha de unilateralidad que podría
surgir de la teoría misma: es un hecho que en la
mayoría de los escritos críticos y precríticos, Kant se refiere a las
definiciones de términos geométricos no primitivos y reconoce un estatus
especial a los esquemas monogramáticos de conceptos geométricos.
Esta
sospecha de un sesgo geométrico es aún más desconcertante si se confronta con
la clara conciencia de Kant del carácter sistemático de la matemática. Pues él
concibe la matemática como un sistema con respecto a (1) su objeto de estudio y
(2) su estructura interna. Desde estos dos puntos de vista, no se le asigna una
posición privilegiada a la geometría, ni a
fortiori a las definiciones de sus términos derivados.
Podemos
corroborar la visión sistemática de Kant de la matemática en lo que respecta a
su objeto de estudio a partir de la evidencia proporcionada por las notas de
sus lecciones tomadas por Herder en los años 1762-1763. Las dos series de notas
que constituyen la parte matemática de los Nachschriften
de Herder coinciden en indicar la cantidad en general como objeto de estudio de
la matemática y en organizar sus contenidos como se indica en la Tabla I[19].
Las ligeras
diferencias entre las dos series se superan fácilmente ya que la subdivisión de
la Mathesis universalis en la serie I corresponde a la de la serie II si se
descartan el cálculo común y todas las partes del análisis excepto el álgebra.
Asimismo, la subdivisión de la Mathesis specialis en la serie I corresponde, en
su parte “pura”, a la subdivisión relativa al espacio en la serie II, siendo la
geometría precisamente la parte especial de la matemática que se ocupa del
espacio puro. Todo esto muestra que las diferentes partes de la matemática
están orgánicamente relacionadas entre sí, de modo que todas las afirmaciones
kantianas sobre la matemática, incluidas las que versan sobre las definiciones,
deberían estar destinadas a referirse, a menos que se indique lo contrario, a
la totalidad de la matemática.
En cuanto al
aspecto sistemático de la matemática desde el punto de vista de
[435]
|
|
Serie I |
Serie II |
|
Mathesis Universalis |
(1) Cálculo común (2) Cálculo superior (A) Buchstabenrechnung [álgebra de enteros] (B) Análisis: Álgebra de ecuaciones Cálculo del infinito |
(A) Aritmética ("durch Zahlen") ['a través de
números'] (B) Álgebra ("durch andre Zeichen") ['a través
de otros signos'] |
|
Mathesis Specialis |
(1) "Pura" (A) geometría pura (B) trigonometría (2) "Impura sive applicata"" ['impura o aplicada'] |
(1) espacio: geometría
trigonometría (2) del tiempo (2) de la fuerza |
su
estructura interna, Kant asignó indiscutiblemente un carácter deductivo a todas las disciplinas
matemáticas, independientemente de su capacidad de tener 'axiomas'. Por tanto,
no podía desconocer algunos de los problemas concernientes a los sistemas
deductivos, tales como: ¿se introducen sus términos primitivos por definición o
de otro modo? ¿Cuál es la relación entre los términos primitivos y los
principios de tales sistemas?
Para encontrar
una respuesta a estas preguntas y, en general, para disipar las sospechas de
unilateralidad sobre la teoría de las definiciones matemáticas de Kant,
trataremos por separado cada parte de la matemática pura de acuerdo con la
división del objeto de estudio presentada.
III.2. Mathesis universalis
Mathesis
universalis (allgemeine Grössenlehre)
es la ciencia de la cantidad (Grösse,
quantitas) y de las operaciones que se pueden realizar sobre la cantidad.
Su objetivo principal es proporcionar un conjunto de proposiciones
fundamentales universales válidas para todas las ciencias cuantitativas. Es de
notar que Kant no habla aquí de axiomas o 'principios' (Prinzipien; Logik §36
Anmerkung 2), sino solo de los analytische
Grundsätze que, según los ejemplos que da, corresponden a las κοιναί
'έννοιαι [nociones comunes] de Euclides[20].
Su analiticidad los hace flexibles con respecto a la interpretación: para Kant,
un Grundsatz analítico, como 'el todo
es mayor que la parte', es válido (es decir, origina una proposición verdadera)
cualquiera sea su interpretación cuantitativa,
pues no requiere ninguna ‘traducción’ preliminar, por ejemplo, en términos
aritméticos. Obviamente, una vez interpretadas, todas estas proposiciones dejan
de ser [436] analíticas y fundamentales y se convierten en proposiciones
sintéticas a priori de la rama
específica de la matemática en cuyos términos han sido interpretadas.
Sin embargo,
la allgemeine Grössenlehre tiene otra
función muy importante: es también una allgemeine
Arithmetik (AA 2: 282) en la medida en que, según H. Nach, contiene el álgebra como una de sus partes. En este
sentido, constituye el instrumento de cualquier generalización aritmética (ver
sección III.4) y, al sustituir los Zahlen
por sus Zeichen[21],
se convierte en una ciencia sintética a
priori: esta relación especial con la aritmética puede explicarse mejor
haciendo referencia a las definiciones.
Lo primero
que hay que notar en este respecto es que el objeto de estudio y el único
término primitivo del álgebra es (como en el caso de la allgemeine Grössenlehre) la magnitud indeterminada (AA 2: 287).
Este es un concepto matemáticamente indefinible ya que, según el Preisschrift, es un concepto
inanalizable que debe ser asumido en la matemática sin definición (AA 2: 279);
según la Crítica, es una categoría.
Sin embargo,
el concepto de cantidad es esquematizable y, por tanto, significativo, pero,
dada su naturaleza categorial, su esquematización es un proceso que está lejos
de ser directo. De hecho, la cantidad busca "su soporte y sentido en el
número, y éste a su vez en los dedos, en las cuentas del ábaco, o en las rayas
y puntos que se ofrecen a la vista" (A240 = B299). Por tanto, aquí están
involucrados dos pasos: de la cantidad categorial a los conceptos de número (es
decir, a los conceptos de la cantidad determinada con respecto a la unidad); de
los conceptos de número a la intuición sensible. Ambos pasos implican el
esquema numérico, "una representación que abarca la adición sucesiva de lo
uno a uno (homogéneos)" (A142 = B182). Pero mientras todo el proceso
necesario para indicar la referencia objetiva de la cantidad no la define, el
segundo paso es suficiente para producir la determinación de la definición
estricta. Por supuesto, dado que esta determinación depende del hecho de que el
esquema numérico no se aplica directamente (como esquema trascendental) a la
categoría, sino más bien a los conceptos de número, estos últimos, y no la cantidad
unbestimmte, son susceptibles de
definición estricta (ver Sección III.3).
En cuanto a
las operaciones algebraicas, Kant no las define sino
que simplemente menciona algunas "reglas fáciles y seguras" (AA 2:
278) que regulan su uso. No establece estas reglas claramente, pero se refiere
a ellas como si fueran capaces de definir implícitamente los signos de
operaciones algebraicas. Obviamente, tales definiciones implícitas no tienen
suficiente precisión y completitud y, por lo tanto, no son definiciones estrictas.
Además, las reglas que constituyen estas definiciones implícitas son analíticas
y se les puede asignar una [437] referencia objetiva solo a través de una
interpretación. En efecto, requieren de
una interpretación aritmética: deben dárseles valores numéricos si se quiere
que sean verdaderas y sintéticas a priori.
Por eso, en
cuanto álgebra, la allgemeine
Grössenlehre tiene una relación especial con la aritmética, tanto que
también una regla como "Gleiches zu
Gleichem addiert gibt gleiche Summe", que se demuestra por medios
puramente algebraicos (H. Nach, p. 23) y es independiente de la
definición de adición de números específicos (véase la sección III.4), no puede
ser sintética a menos que se le asigne un significado aritmético al transformar
referencias a cantidades indeterminadas en referencias a cantidades
determinadas[22].
Ahora bien,
dado que la determinación insuficiente es responsable de la indefinibilidad de
la cantidad en el sentido (*), debemos preguntarnos si la aritmética
propiamente dicha (Zahlwissenschaft),
que es la ciencia de la cantidad determinada con respecto a la unidad, admite
definiciones sintéticas y reales y, de ser así, qué son y cómo se introducen
los términos primitivos que se incluyen en las definiciones de los números.
III.3. Definiciones aritméticas.
Números y términos primitivos.
La
esquematización de la cantidad considerada arriba muestra que el número es un
concepto que pertenece a la categoría de totalidad (B111) y sintetiza
(relaciona) unidad y pluralidad. Por tanto, los números, al ser el resultado de
una relación, es decir, de un acto intelectual, son conceptos intelectuales:
como dice Kant, el número es un concepto "se quidem intelectuales"
(Disertación Inaugural; AA 2: 397). Sin embargo, ¿no hemos visto que los conceptos
definibles en sentido (*) tienen esquemas monogramáticos y, por tanto, son
conceptos puros y sensibles?
Recordemos
los requisitos de definibilidad de Kant resumidos en A729 = B757: "no
quedan otros conceptos que sean aptos para ser definidos, que aquellos que
contienen una [1] síntesis [2] arbitraria [3] que pueda ser construida a priori". Ahora bien, los conceptos
de número satisfacen:
Requisito
[1]: "ningún otro concepto puramente arbitrario de la razón pura puede
surgir en nosotros sino los [obtenidos] por repetición, consecuentemente.
conceptos de número y cantidad" (R
3973)[23];
Requisito
[2]: "nuestro contar (esto se nota especialmente en lo números mayores) es
una síntesis según conceptos, porque
ocurre según un fundamento común de unidad (p.ej. la decena)" (A78 =
B104);
Requisito
[3]: en cualquier conocimiento racional “solo se deben considerar [438] las
relaciones, y estas son dadas [...] o inventadas [gedichtet]. Pero no podemos establecer ninguna otra relación de
cuya posibilidad podamos estar seguros, salvo por los compuestos según la
cantidad mediante la repetición en Zahlwissenschaft”
(R 3940). Además, "nuestra razón
no contiene más que relationes. Ahora
bien, si estas no se dan a través de las relaciones según el espacio y el
tiempo en la experiencia, o mediante la repetición y la síntesis de muchos en
uno en matemática pura, entonces estas no son relationes que se refieran a objetos sino sólo relationes de nuestro concepto según nuestra razón" (R 3969)[24].
Todo esto
equivale a decir que los conceptos de número están hechos a priori (gedichtet, willkürlich) y, por tanto, satisfacen el criterio de origen para
las definiciones sintéticas. Al mismo tiempo, el énfasis en la “repetición” y
en la “síntesis de muchos en uno”, como las únicas relaciones (aparte de las
dadas en la experiencia) que se refieren a los objetos, muestra que los
conceptos de la Zahlwissenschaft
también satisfacen el criterio de significado para las definiciones reales. En
resumen, los conceptos de número pueden construirse porque tanto su Inhalt como su Umfang pueden ser determinados de manera completa y precisa por
nuestro esquema de cantidad (el esquema de número), tal como sucede con los
conceptos sensibles puros, gracias a sus esquemas monogramáticos.
Esto no
significa que no existan diferencias entre los conceptos de número y los
conceptos sensibles puros. En lo que respecta a la definición, las definiciones
de números, a diferencia de las definiciones geométricas, siempre deben ser
técnicamente genéticas, es decir,
deben mostrar la regla que los genera también en su forma. Esto depende del
hecho de que el esquema de número, a diferencia de los esquemas monogramáticos,
no solo es el mismo para todos los conceptos de número, sino que también les
proporciona significado de una sola manera (A165 = B205-6), a saber,
considerándolos bajo la forma de un tiempo unidimensional.
Vale la pena
señalar que las primeras obras de Kant ya contienen, además de una definición
de número que se hace eco de la tradicional euclidiana[25],
una definición fundada en la repetición de la unidad. Pero, mientras que en el
período precrítico la noción de repetición parece depender enteramente de la
noción de medida[26], en el período crítico la
noción de repetición se convierte en el elemento que -dentro del esquematismo-
determina la realidad de las definiciones de números utilizando, más bien que
dependiendo de, la relación número-medida. Esto apoya nuestra tesis de que el novum crítico consiste en el énfasis
puesto en la realidad de las definiciones matemáticas que eclipsa en parte la
atención prestada al origen de los definienda.
La cuestión
de los términos primitivos surge tan pronto como uno se da cuenta de que,
aunque las definiciones de números son definiciones de conceptos hechos a priori, en ninguna parte Kant dice que
tales conceptos se fabrican ex nihilo.
[439] Por el contrario, los conceptos de número se originan en una síntesis de
unidad y pluralidad, y, entonces, sus definiciones presuponen unidad (que no se
debe confundir con el número uno) y pluralidad.
Una vez más,
si miramos las teorías precríticas de Kant, encontramos que el Preisschrift en realidad indica la unidad y el conjunto (Einheit y Menge) como los conceptos inanalizables (unanflösliche) de la aritmética (AA 2: 279-80), mientras que H. Nach (p. 21), refiriéndose a la
unidad, dice que en matemática debe considerarse como un "bekandter
Begrif".
También en
la Crítica estos conceptos son
simplemente “asumidos”, pero ahora por la razón de que son categoriales, es
decir, conceptos dados a priori. Como
tales, tienen una definición nominal (e inútil para la matemática), o se fundan
en la intuición a priori a través del
esquematismo. En este último caso, dado que su esquema es trascendental, no
pueden tener definiciones reales y sintéticas, pero son, sin embargo, conceptos
cuantitativamente significativos y, por tanto, pueden utilizarse en matemática.
III.4. Operaciones aritméticas. La
cuestión de los axiomas.
La Zahlwissenschaft no es solo la ciencia
de los números, sino también la ciencia de las operaciones que se pueden
realizar con los números. Por tanto, también debemos investigar si Kant cree
que esas definiciones son estrictamente definibles. Ciertamente, no las
identifica con las de la allgemeine
Grössenlehre, ya que no tienen definiciones implícitas. De hecho, en H. Nach (p. 22) "addiren" se
califica explícitamente como la operación que "encuentra un número (la
suma), que es igual a diferentes números (del mismo tipo
pero no de la misma magnitud) tomados
en conjunto"[27]. Así, las operaciones
aritméticas sí se refieren a algo preciso que, en el caso de la adición, es la
combinación, la síntesis, de diferentes números en uno. Por cierto, una
síntesis está involucrada no solo en la adición sino también en la sustracción
(AA 11: 555) y presumiblemente en las cuatro operaciones fundamentales de la
aritmética.
Sin embargo,
¿esta referencia objetiva de las operaciones aritméticas las hace estrictamente
definibles? Consideremos, por ejemplo, el caso de la adición. Podemos notar que
(1) es una operación esquematizada por el esquema numérico ya que se refiere al
conteo de unidades; (2) como los conceptos de número, puede determinar su Umfang a priori, completa y precisamente
a través de la construcción. Por lo tanto, la definición de la adición como la
combinación de unidades satisface los requisitos de definibilidad estricta.
Esto se puede deducir también del hecho de que esta operación está sujeta a las
restricciones impuestas a los números por su origen y significado [440]. Pues
cualquier adición de números puede tener lugar de una sola manera y no es posible la adición de un número
efectivamente infinito de addenda (así como tampoco la adición de addenda de
magnitud infinita) porque no tendría una referencia objetiva.
Podemos
generalizar esta conclusión diciendo que las cuatro operaciones aritméticas son
estrictamente definibles. Pero, por esta misma razón, también tienen un campo
de aplicación limitado y no tienen otra universalidad que la universalidad de
uso. De hecho, debemos recordar que para Kant, una
operación aritmética es solo una operación realizada en números específicos. Como sostiene con tanta
fuerza, 7 + 5 = 12 es una proposición sintética a priori, pero también es "singular" y una "fórmula
numérica" (A164 = B204).
Esto nos
lleva directamente a la pregunta de por qué, para Kant, "la aritmética no
tiene axiomas" (AA 11: 555; A164 = B204). Para comprender el verdadero
significado de esta afirmación tenemos que examinarla a la luz tanto de la
relación entre allgemeine Arithmetik
(álgebra) y la aritmética, como de la influencia de la intuición en los
fundamentos de la aritmética.
Ante todo,
la relación álgebra-aritmética es, como hemos mencionado antes, una relación de
interpretación de la primera en términos de la segunda. Es por interpretación
que el álgebra adquiere un significado aritmético. En particular, las
operaciones aritméticas proporcionan un significado para los signos algebraicos
de operaciones. Pero la relación entre álgebra y aritmética es una relación mutua: por un lado, las operaciones
aritméticas dan un significado a las algebraicas, por otro lado, las reglas que
constituyen las definiciones implícitas de operaciones algebraicas también
pueden aplicarse a las operaciones aritméticas. De hecho, la aritmética, en la
medida en que pertenece al sistema general de la matemática, presupone una allgemeine Arithmetik. En H. Nach
(p. 27), Kant da una demostración de 8 + 4 = 12 que hace un uso esencial de la
regla algebraica "Gleiches zu
Gleichem addiert gibt gleiche Summe". El álgebra, por tanto, es
importante para la ampliación del conocimiento aritmético: como dice Kant,
"el álgebra es una ciencia ampliativa" (AA 11: 554).
El hecho de
que la demostración de 8 + 4 = 12 antes mencionada se encuentre en un texto
precrítico no quita mérito al papel que también desempeña el álgebra en la
aritmética según la teoría crítica posterior. Esto es algo que debe enfatizarse
porque algunas de las observaciones de la Crítica
sobre 7 + 5 = 12 han engañado a muchos de los lectores de Kant haciéndoles
creer no solo que todas estas operaciones requieren contar con los dedos, sino
también que Kant no tenía una teoría sobre operaciones con números más grandes
o que consideró que los números pequeños (y las operaciones con ellos) eran muy
diferentes a la de los números más grandes (y las operaciones con ellos).
[441] Ahora
bien, Kant nunca se ha expresado de forma tan ambigua como para justificar
tales malas interpretaciones. Para él, no hay diferencias entre números
pequeños y más grandes, tanto que, para explicar la verdadera naturaleza del
esquema numérico, se refiere al caso de números más grandes (A140 = B179).
Además, en contraste con su crítico, Eberhard, quien sostenía que el concepto
de quiliágono es una idea de la razón porque difícilmente podría ser
representado inmediatamente en la intuición, Kant argumentó que el número de lados de una figura geométrica
es irrelevante en lo que concierne a su la naturaleza matemática "porque
[...] la construcción del objeto puede ser completamente prescrita" (AA
11: 47).
Pero si Kant
no distingue entre números según su magnitud, tampoco distingue entre
operaciones a realizar sobre números, cualquiera que sea su magnitud. Esto
explica cómo el álgebra puede ser el trasfondo común para todas las operaciones
aritméticas. Consideremos, por ejemplo, una igualdad como 1000 + 2000 + 1 =
1000 + 2001. Esto parecería establecerse como una igualdad correcta solo
calculando cada uno de sus miembros y luego apelando al siguiente Grundsatz analítico de la allgemeine Grössenlehre: cosas iguales a
una tercera cosa son iguales entre sí. Sin embargo, la regla algebraica "Gleiches zu Gleichem addiert gibt gleiche
Summe" nos permite establecer la igualdad anterior, independientemente
del cómputo de sus miembros, considerándola como una de sus instancias. La
posibilidad de esta prueba indirecta, naturalmente, muestra toda su importancia
cuando se trata de números más grandes porque elimina la dificultad del cómputo
práctico[28].
Esto no
significa que la Zahlwissenschaft tenga
axiomas (proposiciones universales sintéticas a priori) después de todo. Pues tan pronto como se da un
significado aritmético a proposiciones como "Gleiches zu Gleichem addiert gibt gleiche Summe", dejan de ser
tanto analíticas y universales como Grundsätze
analíticos. Sin embargo, su mera existencia proporciona evidencia suficiente
para una conexión entre el álgebra y la aritmética. Tal conexión impide que uno
atribuya a Kant una concepción de la aritmética como que conste sólo de
infinitas fórmulas de números singulares, mutuamente independientes[29]. Por el contrario,
parafraseando un famoso dicho kantiano: el álgebra sin aritmética es vacía, la
aritmética sin álgebra es ciega.
Finalmente,
el hecho de que la aritmética no tenga axiomas deja claro que Kant nunca la
consideró como la ciencia del tiempo en el mismo sentido en que la geometría es
la ciencia del espacio: la intuición del tiempo no tiene influencia directa
sobre las propiedades de los números (AA 9: 556) y "los objetos [442] de
la aritmética y el álgebra, según su posibilidad, no están sujetos a
condiciones temporales" (R 13). Esto es perfectamente consistente con la
Estética Trascendental donde los axiomas del espacio corresponden a axiomas
geométricos, pero los axiomas del tiempo[30] no tienen nada que ver con la aritmética. Así,
la falta de un objeto especial de la aritmética y de axiomas sobre tal objeto
conlleva, desde un punto de vista estructural, lo que hemos visto como típico
de las definiciones aritméticas desde un punto de vista gnoseológico, es decir,
la necesidad de que sean genéticas tanto con respecto a su forma como a su
contenido. En geometría, por otra parte, como veremos más adelante, incluso las
definiciones no genéticas son aceptables porque los axiomas son suficientes
para garantizar la realidad de los conceptos geométricos.
III.5. Las definiciones en
geometría.
La geometría
es una ciencia más específica que la aritmética porque es la parte de la
matemática pura que tiene un objeto especial, a saber, el espacio y las
relaciones espaciales (AA 2: 397, 403; A163 = B204). Ahora bien, el espacio no
puede definirse matemáticamente: en el Preisschrift,
Kant lo llama un unanflöslich Begriff
que debe asumirse en matemática simplemente de acuerdo con su representación
común (AA 2: 278); en la Crítica se
dice que el concepto de espacio geométrico no requiere legitimación filosófica
(A87 = B120). Además, en consistencia con la tesis general de Kant según la
cual los conceptos dados a priori pueden
tener una "exposición" en lugar de una definición, la Estética
Trascendental da una exposición pero no define el
espacio. Naturalmente, no hay dudas sobre la validez objetiva y la
significatividad del espacio (objective
Gültigkeit y Sinn und Bedeutung)
porque se puede establecer su aplicación necesaria a los objetos de la
experiencia (A156 = B195). Por lo tanto, siendo un concepto matemáticamente
indefinible pero significativo, el espacio es el verdadero primum geométrico[31].
Sin embargo,
tradicionalmente, los primitivos de la geometría se identifican con nociones
como "punto", "línea", etc. ¿Cómo lidia Kant con ellos? La
respuesta a esta pregunta marca la diferencia entre cantidad y espacio y, en
consecuencia, entre aritmética (universal o particular) y geometría. De hecho,
el espacio, en cuanto objeto de la geometría, "contiene más" que la
simple forma de la intuición, porque contiene la intuición formal (formale Anschauung)
que proporciona la unidad de la representación (B161, Nota). En otras palabras,
el objeto de la geometría no es tanto la forma de nuestra sensibilidad como la
organización de patrones espaciales de acuerdo con tal forma.
[443] Esto
implica que, si bien se puede hablar propiamente de una cantidad indeterminada,
no se podría hablar de un espacio vacío.
Pues los conceptos (y categorías) dependen de la actividad del sujeto para
adquirir su forma, mientras que no se da originalmente ninguna representación
intuitiva (a priori o a posteriori)
al sujeto independientemente de su forma[32].
Así, por un lado, el espacio indeterminado no puede representarse en absoluto,
por otro lado, el espacio está necesariamente presupuesto por todas sus
determinaciones. En palabras del propio Kant, esto significa que "[a]l
espacio, propiamente, no habría que llamarlo compositum, sino totum, porque las partes de él sólo son
posibles en el todo, y no el todo mediante las partes. [...] [S]i suprimo toda
composición en él, no debe quedar nada, ni siquiera el punto; pues éste sólo es
posible como el límite de un espacio "(A438 = B466-68)[33].
Así, Kant
evita las definiciones negativas habituales de los términos geométricos
primitivos tradicionales (una definición negativa "no es una definición
real", Logik, §106 n, R
2916). Al mismo tiempo, obedece al imperativo aristotélico de probar la
existencia de términos introducidos en geometría. Porque Kant prueba la
existencia de términos no primitivos mediante definiciones sintéticas reales,
es decir constructivas, y asume términos primitivos junto con su existencia. Lo
hace (1) eligiendo arbitrariamente sobre qué partes simples construir
geometría, ya que las partes espaciales simples no se dan per se; (2) indicando ostensiblemente (y mostrando así la
existencia de) las partes elegidas[34].
El hecho de
que los términos geométricos derivados de Kant tengan definiciones sintéticas y
reales es un hecho bien establecido que no necesita explicación ulterior. Más bien,
es interesante considerar la cuestión de los axiomas con respecto a las
definiciones.
Para
empezar, podemos notar que para Kant los axiomas geométricos "expresan las
condiciones de la intuición sensible a
priori" (A163 = B204) y "se pueden exponer en la intuición"
(Logik §35). Además, los axiomas son
principios universales sintéticos a
priori inmediatamente ciertos (A 732 = B760; A299 = B356). Ahora bien,
incluso un examen superficial de los ejemplos de axiomas de Kant aclara que
ellos corresponden a algunos de los postulados de Euclides. Por ejemplo,
desde Proclo, se ha demostrado que el axioma kantiano "dos líneas rectas
no encierran un espacio" (A163 = B204) es reducible al primer postulado de
Euclides[35]. Claramente, Kant considera
axiomas (es decir, como Principia y
no simplemente Grundsätze) aquellos
postulados euclidianos que expresan propiedades generales del espacio
geométrico y retienen la función clásica de restricciones extra-lógicas sobre
la arbitrariedad de las definiciones geométricas. El hecho de que algunos
postulados euclidianos no se encuentren entre [444] los
ejemplos de axiomas de Kant puede explicarse sobre la base de que su
función originaria como supuestos existenciales en términos no primitivos se
vuelve redundante en la Crítica por
la esquematización involucrada en la definición de conceptos. Esto es evidente
en el caso del tercer postulado de Euclides[36].
Ahora bien,
dado que la imposibilidad de dar una definición real de una figura encerrada
entre dos líneas rectas (A220 = B268) puede establecerse simplemente
reconociendo que es imposible construirla (y por lo tanto no necesariamente
apelando al axioma anterior), podría plantearse la siguiente pregunta: ¿se
podría prescindir de los axiomas geométricos? La respuesta es claramente que
no.
En primer
lugar, Kant es perfectamente consciente de que la ciencia no se preocupa tanto
por la forma en la que se obtienen sus objetos como por las propiedades de
estos objetos (AA 9: 40-48). Pero las propiedades de los objetos geométricos se
establecen probando teoremas sobre ellos y, a su vez, las pruebas apelan a las
propiedades generales del espacio expresadas por los axiomas. En segundo lugar,
la pregunta anterior parece análoga a la de la dispensabilidad - desde un punto
de vista supuestamente 'kantiano' - de proposiciones como "Gleiches zu Gleichem addiert gibt gleiche
Summe", dado que las proposiciones numéricas, por ejemplo: 1000 + 2000
+ 1 = 1000 + 2001, pueden y deberían calcularse independientemente de ellas.
Pero, de manera similar a lo ya señalado para la aritmética, las proposiciones
universales (y a fortiori los axiomas
geométricos) garantizan la constructibilidad y demostrabilidad de propiedades
de conceptos matemáticos que son altamente complejos y difíciles de construir
en la práctica. Esto significa que quienquiera que plantee la pregunta anterior
se preocupa más por la formulación explícita que por la asunción de un conjunto
de axiomas, pues es evidente que los asume tácitamente en todos los casos
"fáciles" de construcción.
Lo que es más, la pregunta refleja un punto de vista que es tan
poco ‘kantiano’ como para pasar por alto el hecho de que Kant, aunque
convencido del carácter euclidiano de la intuición del hombre (que, por su
singularidad, justificaría la falta de una formulación explícita de los
axiomas), ciertamente podría acomodar una geometría diferente dentro de su
marco filosófico. Tal geometría (o geometrías) tendría la naturaleza de un
“juego” (A239 = B298; A175 = B196) y sería incapaz de aplicarse a la realidad,
pero aun así no sería absurda. Esta afirmación está apoyada indirectamente por
el hecho de que la aritmética, que no tiene axiomas, no permite nada de ese
tipo: solo hay una aritmética[37].
Esta
diferencia estructural entre geometría y aritmética es responsable [445] del
hecho de que las proposiciones aritméticas sean universales solo con respecto a
su uso. De hecho, los axiomas en general no sólo expresan restricciones
extralógicas sobre la Willkürlichkeit
de las definiciones, sino que también garantizan la universalidad de los
definienda. Por tanto, al no tener axiomas, la aritmética, por un lado, tiene
que mostrar en cada caso la posibilidad de sus objetos mediante una definición
técnicamente genética; por otro lado, no puede enunciar a priori las condiciones de su universalidad intrínseca.
La geometría
es un caso diferente. Como se mencionó antes, para Kant no hay necesidad de
definir conceptos geométricos en una forma estrictamente genética: "Si un
círculo se define como una curva cuyos puntos son equidistantes de un punto
medio, ¿no se da este concepto en la intuición? Y esto
aunque la proposición práctica que sigue, a saber, describir un círculo (como una línea recta es rotada uniformemente
alrededor de un punto), no se considere en absoluto"[38].
Obviamente, en el caso de conceptos geométricos complejos, se utiliza una forma
de definición estrictamente genética, pero esto sólo significa que al definir
tales conceptos uno sigue más de cerca sus esquemas. En efecto, las
definiciones genéticas de figuras complejas son una cuestión de utilidad
práctica más que una necesidad. Más aún, todas las definiciones geométricas, a
diferencia de las aritméticas, otorgan a sus definienda una universalidad
intrínseca; por ejemplo, una vez que se da un triángulo por medio de una definición,
también se dan todos los triángulos[39].
A pesar de
estas diferencias entre geometría y aritmética, la geometría es una ciencia
solo en la medida en que forma parte de la matemática, es decir, en la medida
en que las figuras espaciales se someten a una determinación cuantitativa. Por
tanto, no sólo los Grundsätze
analíticos de la allgemeine Grössenlehre,
sino también las reglas y operaciones de la aritmética particular, se aplican a
la geometría. Esto es lo que Kant quiere decir cuando dice que "Zahlwissenschaft [...] ist [...] das Instrument der ganzen Mathematik" (H. Nach, p. 17). La peculiaridad de la geometría
consiste en ser una ciencia cuantitativa cuyos objetos se consideran
"juntamente con la cualidad de ellos" (A720 = B748). Los esquemas de
las figuras geométricas son de hecho monogramas, es decir, esquemas
‘figurativos’.
Sin embargo,
según Kant, la relación entre geometría y aritmética no es ni una mera cuestión
de arquitectónica matemática, es decir, de una conexión ‘externa’ representada
por compartir el lenguaje de los números, ni va en una sola dirección (es
decir, de la aritmética a la geometría). En una carta a A.W. Rehberg (AA 9:
207-10) Kant enfatiza una vez más la "síntesis necesaria [Zusammenhang] del sentido interno con el
sentido externo" cuando está involucrada una cuantificación: "el tiempo [...] tiene que ser imaginado como
una línea, si ha de cuantificarse, del mismo modo que [...] [446] una línea
sólo puede cuantificarse si se construye en el tiempo". Pero lo que
realmente es digno de mención en esta carta es que Kant asume una conexión
entre aritmética y geometría más estricta que la Zusammenhang
IV
Observaciones finales
Se pueden
agregar tres observaciones generales como conclusión.
(1) La
teoría de la definición de Kant concuerda con su visión general de que la
verdad no es ni el resultado de una adaequatio
inmediata entre la mente y el mundo ni el producto de una convención. En primer
lugar, esto explica por qué Kant pone tanto cuidado al establecer los criterios
para la significatividad de los conceptos: todos los conceptos significativos
deben tener una referencia en el objeto, pero esta referencia debe estar
mediada por esquemas. Ahora bien, aunque todos los conceptos que no tienen tal
referencia no son significativos (lo que no significa que sean absurdos), solo
los conceptos matemáticos cuya referencia objetiva se exhibe a priori en sus esquemas tienen un significado estrictamente definido. En
segundo lugar, esto también explica la negativa de Kant a reducir la matemática
a la lógica: todos los conceptos matemáticos deben mostrar su referencia
objetiva, si bien sin ninguna intervención de la experiencia.
La
construcción de conceptos matemáticos satisface estos requisitos. En este sentido,
la intuición en la matemática no es sinónimo de "visualización": la
completitud y precisión del significado, que se obtienen por construcción, se
alcanzan mediante todos los conceptos cuyo Umfang
está dado en su totalidad por sus
esquemas. Esto significa que la constructibilidad es una propiedad no solo de
los conceptos que son visualizables por el "ojo de la mente", sino
también de aquellos [447] conceptos matemáticos cuya complejidad y abstracción
difícilmente podrían permitir alguna visualización.
(2) La
segunda observación concierne a la atención que se ha prestado en este artículo
a la teoría de los conceptos de Kant, tal como la expone en sus Vorlesungen de lógica. Creo que esta
teoría puede servir no solo como una ayuda terminológica, sino también como una
poderosa herramienta conceptual para una comprensión más profunda del
pensamiento de Kant en general.
Por ejemplo,
al dirigir el enfoque, en este artículo, a la teoría de las definiciones
matemáticas a través de la teoría de los conceptos de Kant, se puede
reconsiderar el viejo tema de los juicios sintéticos a priori desde una nueva perspectiva. Pues, dado que toda
definición es un juicio, toda definición matemática estricta es un juicio
sintético a priori. Hace veinte años,
L.W. Beck ya se movió en esta línea, pero me parece que se debe prestar más
atención al Inhalt y al Umfang como responsables de la
analiticidad y sinteticidad de los conceptos y los juicios. De esta manera, una
investigación de la teoría de conceptos no sería un sustituto sino un
complemento para el estudio del esquematismo, ya que, al considerar la
extensión e intensión de los conceptos, no solo se trasciende su ordenamiento jerárquico sino que también se mira la teoría (esquematismo)
sobre la forma en que se podría conocer su intensión y extensión. Y esto es de
gran importancia para una filosofía que depende esencialmente de una
epistemología.
(3) La tercera observación es más
pertinente en relación con la matemática. Hemos visto cómo la teoría de las
definiciones matemáticas se aplica a las diferentes partes y niveles de la
matemática. Esto ha puesto de manifiesto la importancia que tiene la evaluación
de Kant de la matemática como un sistema para su concepción del conocimiento
matemático. De hecho, constituye tanto el punto de partida de sus reflexiones
sobre el tema en su conjunto, como el territorio de prueba para los resultados
de tales reflexiones. Además, todo esto debería situar el carácter elemental de
los ejemplos matemáticos de Kant en la perspectiva correcta, ya que ha dado
lugar a especulaciones sobre los límites de su conocimiento efectivo de la
matemática. Como hemos visto, la consideración de la matemática como un sistema
enfatiza el aspecto cuantitativo, es decir, conceptual, de todas sus partes.
Por lo tanto, por un lado, el carácter elemental de los ejemplos no es la
consecuencia de una supuesta necesidad de visualizar los conceptos matemáticos;
por otro lado, como hemos visto, las partes no elementales de la matemática
(por ejemplo, lo que en ese momento se consideraba álgebra) y las clases de
números distintos de los números naturales pueden acomodarse dentro de la
concepción de Kant general de la matemática.