Construcción,
esquematismo e imaginación
J. Michael
Young
Universidad de Kansas, USA
(Traducción
de Efraín Lazos*)
Kant sostiene que los juicios
matemáticos son sintéticos —[es decir,] que no podemos fundamentarlos meramente
reflexionando sobre los conceptos que los constituyen. Argumenta, en cambio,
que debemos construir tales conceptos, i.e., “exhibir a priori la intuición que
les corresponde”, fundamentándolos en lo que puede hacerse evidente solo
mediante tal construcción (A 713/ B741).[1] Primero,
esbozo una interpretación de la doctrina de Kant, enfocándome en la
construcción de conceptos aritméticos. Luego, indico cómo una comprensión de lo
que Kant piensa sobre la construcción aritmética puede arrojar luz en lo que
piensa sobre la imaginación.
1. Construcción
La enunciación de Kant de cómo
piensa la construcción de conceptos matemáticos es, lamentablemente, opaca.
Además, su concepción es más enredada de lo que sugieren sus enunciados más
simples. Esto se debe a que la noción de construcción incluye dos casos
bastante diferentes: la construcción ostensiva, en la cual, se dice, descansan
los juicios aritméticos y geométricos, y la construcción simbólica, la cual
presuntamente provee la base para los juicios algebraicos (A 717/ B745, A 734/
B762-3). Sin embargo, si nos concentramos en lo que dice sobre la construcción
ostensiva, parece claro cuál es la concepción de Kant. Él sostiene que los
juicios aritméticos y geométricos descansan, al final, en la representación de
cosas particulares que instancian nuestros conceptos; pues él piensa que solo
mediante tal representación podemos exhibir el contenido de nuestros conceptos,
haciendo así evidente la verdad de nuestros juicios matemáticos.
Es comprensible que algunos comentaristas
hayan sido reacios a aceptar sin más la concepción de Kant, pues resulta
difícil ver cómo podemos fundamentar los juicios matemáticos, los cuales son
presuntamente a priori y, por lo tanto, universales y necesarios (B3-4),
examinando colecciones particulares de marcas o figuras geométricas
particulares. No es de sorprender, pues, que se hayan desarrollado
interpretaciones alternativas. Así, partiendo de la obra de Johann Schultz, quien fuera estudiante de Kant, Gottfried Martin
arguye que la aportación real de Kant, aunque un poco ocluida, fue el
reconocimiento de que tanto la geometría como la aritmética pueden presentarse
en forma axiomática, y que en ambas ciencias la prueba depende no solo de las
definiciones sino de otras proposiciones, que tomamos como necesarias, pero que
pueden ser negadas sin contradicción.[2] Jaakko Hintikka ofrece una
concepción un tanto diferente, desarrollando una sugerencia de E.W. Beth.[3] Hintikka nota que la noción de intuición está ligada
esencialmente, según Kant mismo, solo con la noción de singularidad en la
representación, mas no con la de sensibilidad; pues la intuición se define
simplemente como representación singular, o como aquello que hace posible la
representación singular (A 320/ B376-7, A 19/ B33). La conexión entre la
intuición y la sensibilidad se deriva no del concepto de intuición por sí
mismo, sino de lo que Kant considera una limitación inherente de la
inteligencia humana —o, más generalmente, de la inteligencia finita,
discursiva, esto es, que puede representar cosas particulares solo si es
sensiblemente afectada. Enfatizando este punto, Hintikka
arguye que lo que Kant quiso decir, o debió haber querido decir, no es que el
conocimiento matemático dependa de la representación de objetos sensibles
particulares, sino que depende de argumentos de un tipo específico, en lo que
los términos singulares juegan un papel esencial. Kant se percató tenuemente,
según Hintikka, de que el conocimiento matemático,
tanto en la geometría como en la aritmética, depende de argumentos que, cuando
se les representa en lógica de predicados de primer orden, involucran
esencialmente la introducción de variables libres, i.e., de términos singulares
que se refieren a un miembro particular, pero no especificado, de una cierta
clase de objetos, los cuales hacen así posible extraer conclusiones acerca de
todos los objetos en esa clase.
Ambas interpretaciones despiertan
interrogantes, y ambas sirven para iluminar aspectos importantes de la
concepción de Kant. Como ha argumentado Charles Parsons convincentemente, sin
embargo, ninguna de las dos es satisfactoria como interpretación de Kant, pues
ninguna de ellas hace espacio apropiadamente para la insistencia de Kant en que
el conocimiento matemático depende, al final, de la representación de
particulares en la sensibilidad.[4]
En su
intento por darle sentido a tal insistencia, al menos en el caso de la
aritmética, Parsons señala que es natural pensar que los números son
representados en los sentidos mediante señas numéricas perceptibles [perceptible
numeral tokens].[5] (5) Eso se
debe a que los sistemas numéricos que usamos para representar los números
naturales característicamente proveen no solo nombres para los números, sino
también modelos de lo que tomamos como la estructura de los números mismos. En
el sistema que usa numerales arábigos y base diez, por ejemplo, el numeral ’12’
sirve como un nombre del número doce, pero la secuencia de numerales del ‘1’ al
’12’ también provee un modelo para lo que tomamos como la estructura de los
números correspondientes, puesto que tiene un elemento inicial y una relación
de sucesión. Este punto vale, más aún, no solo para los numerales considerados
como tipos, o como objetos matemáticos abstractos, sino también para las señas concretas
y perceptibles de los numerales. Si producimos señas perceptibles de los
numerales ‘1’ al ’12’ sobre papel o el pizarrón, tenemos un modelo de lo que
tomamos como la estructura de los números uno a doce. Puesto que las señas
perceptibles pueden usarse meramente como representantes de una estructura abstracta,
reemplazable por cualquier otra instancia de esa estructura, podemos usarlos,
como indica Parsons, para verificar proposiciones matemáticas.
Parsons
puntualiza algo relacionado en lo que concierne a las bien conocidas ‘pruebas’
de algunas verdades aritméticas elementales.[6] Parece
claro que éstas no constituyen pruebas en ningún sentido del término que Kant
reconocería, pues para él una prueba sería una pieza de razonamiento
consistente en juicios e inferencias. Pero las ‘pruebas’ bien conocidas no son
piezas de razonamiento sino estructuras simbólicas, las cuales pueden ser
materia del razonamiento y pueden ser usadas para apoyar razonamientos, pero
que no son ellas mismas piezas de razonamiento. Como sugiere Parsons, Kant
probablemente las clasificaría como ‘construcciones simbólicas’.[7] Sin duda
también le daría importancia al hecho de que ellas involucran construcciones
que exhiben o son isomórficas con los números y sus
relaciones, y que por tanto despliegan o hacen evidente, en una estructura que
podemos percibir, la verdad aritmética a ‘probar’. Si representamos los números
mediante un conjunto de numerales definidos mediante un elemento inicial y una
relación de sucesión, por ejemplo, y si incrustamos el sistema numérico en una
teoría de primer orden con ‘axiomas’ y ‘reglas de inferencias’ apropiados,
podemos entonces ‘probar’ que siete más cinco es doce. Hacemos eso produciendo
una construcción en la que el numeral que representa el número doce es
reemplazado, mediante una serie de pasos, por el numeral que representa siete
más cinco, y en el cual la fórmula que representa la verdad trivial de que doce
es doce se transforma en una que representa la verdad no trivial de que siete
más cinco es doce. Kant seguramente querría señalar que la ‘prueba’ funciona
solamente porque el doceavo sucesor del elemento inicial en un conjunto de
numerales es el quinto sucesor de su séptimo sucesor, y porque una secuencia de
cinco traslaciones, autorizada por los ‘axiomas’ y ‘reglas’ apropiados, resulta
entonces en el reemplazo de un numeral por el otro. En otras palabras, la
prueba funciona porque exhibe o despliega, en una estructura que puede
percibirse, la verdad aritmética relevante. Lejos de refutar la concepción de
Kant de que el conocimiento matemático descansa en la construcción de
conceptos, por tanto, la existencia de tales ‘pruebas’ sirve más bien para
confirmarla.[8]
Parsons
tiene mucha razón al insistir en que, para Kant, el conocimiento matemático se
supone que descansa, al final, en la representación de particulares sensibles.
Más aún, Parsons ha indicado exitosamente cómo, usando instancias sensibles de
estructuras abstractas meramente como representantes de esas estructuras,
podemos establecer verdades acerca de las estructuras mismas, verdades que son
más que ‘meramente empíricas’ a pesar de que nuestro conocimiento de ellas
pueda descansar en la percepción concreta[9]. Sin
embargo, Parsons ha focalizado la posibilidad de que usemos construcciones
simbólicas para verificar verdades aritméticas, mientras que la concepción de
Kant, al menos en la Crítica, es que
las construcciones ostensivas dan la base última para nuestro conocimiento de
las verdades matemáticas.[10] No piensa
en los números como objetos no sensibles a ser representados simbólicamente mediante
señas-numerales [numeral-tokens] sensibles. En
cambio, piensa el número como atado al concepto de cantidad y, por lo tanto,
considera fundamentales las construcciones sensibles que exhiben o despliegan
la cantidad en cuestión. En la sección siguiente doy una indicación acerca de
por qué adopta tal concepción, y trataré de mostrar que tiene razón al pensar
que las construcciones ostensivas pueden servir para verificar verdades
matemáticas. Antes de hacerlo, sin embargo, quiero agregar un comentario sobre
la posición que Kant pudiera adoptar en torno a los numerales.
Hasta donde
sé, Kant no discute en ningún lugar la naturaleza de los sistemas numéricos ni
su papel en el conocimiento aritmético.[11] Sospecho,
sin embargo, que la posición que adoptaría es que lo fundamental de tales
sistemas —al menos de aquellos que son adecuados para propósitos aritméticos—
es que nos dan procedimientos mediante los cuales podemos generar
construcciones ostensivas de conceptos numéricos. El conocido sistema que
emplea numerales arábigos y base diez, por ejemplo, nos da un procedimiento por
el cual podemos generar una secuencia indefinidamente larga de señas numéricas.
Cada numeral tiene un lugar determinado dentro de esa secuencia y puede servir
como un índice de la secuencia finita de numerales hasta él mismo, e
incluyéndolo a él mismo. Kant probablemente argüiría que lo más importante
acerca de tales secuencias de señas numéricas es que cada secuencia constituye
al mismo tiempo una colección de objetos perceptibles. Por ejemplo, una
secuencia de señas perceptibles de los numerales ‘1’ a ‘12’ constituye una
colección de doce objetos perceptibles. Así, las colecciones de señas numéricas
perceptibles –marcas o dedos– pueden usarse para desplegar o hacer evidentes
las verdades aritméticas correspondientes. Al producir colecciones de señas
perceptibles de ‘1’ a ‘7’ y al añadirles las señas perceptibles ‘1’ a ‘5’, por
ejemplo, podemos hacer evidente que siete y cinco son doce, tal y como lo
haríamos usando dos colecciones de marcas sensibles. Lo que resulta importante
acerca de las secuencias de señas numéricas perceptibles, a diferencia de las
colecciones de otros tipos de cosas perceptibles, es simplemente que son
fácilmente producidas, identificadas y distinguidas, y que cada secuencia puede
fácilmente ser indexada por uno solo de sus miembros, es decir, el elemento
final. Al tener control de tal sistema numérico tenemos la capacidad de generar
construcciones ostensivas para hacer evidentes las verdades aritméticas
elementales. Más aún, porque cada numeral puede servir como índice de la cardinalidad de la secuencia comenzando con ‘1’ y
terminando en él mismo, tenemos la capacidad de enunciar verdades matemáticas
de una manera económica y fácilmente comprensible. Al escribir ‘7+5=12’, por
ejemplo, estamos afirmando que cualquier colección de la misma cardinalidad que la que resulta de unir las señas
perceptibles de ‘1’ a ‘7’ con las señas perceptibles de ‘1’ a ‘5’, tiene la
misma cardinalidad que una colección de señas de ‘1’
a ‘12’.
Éste último
punto es más importante de lo que podría parecer a primera vista. Sospecho que
Kant querría argumentar que no podríamos afirmar que controlamos el concepto de
número, y que no seríamos capaces de articular o entender verdades aritméticas,
si no contáramos con un medio para designar las cantidades que se despliegan en
varias colecciones de objetos sensibles. Él probablemente querría argumentar,
por tanto, que dominar el concepto de número requiere el empleo de un sistema
numérico.[12] También
concedería, sin duda, que hay mucho más que decir acerca de los sistemas
numéricos que lo hasta ahora indicado. La construcción ostensiva, aunque quizás
es fundamental como base para el conocimiento, es pesada y farragosa,
especialmente con números grandes. Un rasgo importante del sistema numérico que
usa numerales arábigos y base diez es obviamente que facilita el cálculo, y la
conexión entre el cálculo y la construcción ostensiva necesita ser explorada.
Mi interés en este momento, sin embargo, es simplemente anotar que lo que Kant
consideraría como lo más importante en los sistemas numéricos conocidos es su
uso para generar construcciones ostensivas. El tema de la construcción
ostensiva es lo que ahora quiero pasar a considerar.
II. Esquemas
Con estas
observaciones como trasfondo, abordo algunas cuestiones en torno a la
afirmación de Kant que el conocimiento aritmético descansa en la construcción
ostensiva de conceptos.
Kant mismo
se percata de que su afirmación da lugar a requerimientos inconsistentes. Por
un lado, construir un concepto ostensivamente es representar, en la intuición,
algo que exhiba el concepto. En el caso de los conceptos aritméticos, esto
requiere que representemos colecciones particulares de cosas y, por lo tanto,
que nuestra representación involucre contenido sensible.[13] Por otro
lado, como dice Kant, aunque lo que representemos pueda ser particular, debe
“en su representación expresar validez universal para todas las posibles
intuiciones que caen bajo el mismo concepto” (A 713/B 741).
Al explicar
cómo pueden satisfacerse ambos requerimientos, Kant se refiere ocasionalmente a
la intuición pura, a priori, o no empírica. A pesar de lo que sugieren las
frases, una lectura cuidadosa hace patente que él no pretende postular un tipo
especial de intuición que milagrosa, pero también misteriosamente, nos permite
intuir objetos matemáticos y fundar juicios a priori. Su afirmación es
simplemente que nuestra representación puede ser universal, a pesar de que
representemos solo una cosa o una colección particular de cosas. Pues podemos representarla
como una instancia de un concepto y nada más que como una instancia de ese
concepto. Más aún, dado un concepto del tipo adecuado, nos es posible extraer,
en una instancia particular, consecuencias que habrán de valer en todas las
instancias de ese concepto. Cuando construimos un concepto aritmético, por
ejemplo, la concepción de Kant es que representamos una colección de
particulares sensibles que tiene el número en cuestión, y que representamos esa
colección como nada más que una colección que tiene ese número. Kant también
sostiene que al representar tal colección como poseedora de ese número la
representamos como conforme con ciertas “condiciones universales de
construcción” para los conceptos numéricos en cuestión (A 714-16/ B742-4). Lo que
pueda mostrarse que vale para una colección particular como consecuencia de
estas condiciones, Kant mantiene, se muestra por ello mismo que vale para
cualquier colección que pudiera igualmente servir para exhibir el concepto
aritmético en cuestión.
Tal
vez podamos iluminar la concepción de Kant si reflexionamos en un ejemplo donde
encontramos algo análogo a la construcción aritmética. Para establecer cuántas
letras hay en la palabra ‘sintético’, podemos simplemente escribir la palabra y
contar sus letras. Más cuidadosamente, podemos generar una cuerda de
letras-señas, identificarla como una seña (correctamente escrita) de la
palabra, contar el número de caracteres de la cuerda, y con ello determinar
cuántas letras hay en la palabra.
Se
admite que el ejemplo es humilde, y que en algunos aspectos solo es un
accidente histórico que la ortografía aceptada sea la que es, y obviamente, la
ortografía puede cambiar. Aún así, mientras la ortografía aceptada siga así,
cualquier seña (correctamente escrita) de la palabra debe contener
necesariamente nueve letras. Y esto es algo que podemos establecer examinando
un objeto particular y perceptible: la cuerda de caracteres impresa justo
arriba. Bajo estas premisas el ejemplo es interesante.
No
es difícil ver lo que nos permite usar una cuerda de caracteres perceptibles de
esta forma. En primer lugar, lo que determinamos contando no es meramente el
número de caracteres en una cuerda, la cual ha sido especificada
ostensivamente, sino el número de caracteres en una seña (correctamente
escrita) de la palabra. Más aún, habiendo determinado esto, sabemos de
inmediato cuántas letras hay en la palabra, y cuántas debe haber en cualquier
otra de sus señas (correctamente escritas). Pues esta cuerda particular de
caracteres califica como una seña de ‘sintético’ solo porque, y solo en la
medida que, es conforme con una regla que especifica cómo ha de escribirse la
palabra.[14]
Identificamos la cuerda particular como conforme con esta regla. Más aún, no la
representamos como otra cosa sino como una cuerda de caracteres que es conforme
con esta regla, ignorando el tamaño, los colores, etc., de las señas-de-letras.
Puesto que la regla requiere exactamente la misma secuencia de caracteres en
cualquier seña de la palabra, y puesto que, como es obvio, la misma secuencia
va a contener exactamente el mismo número, vemos de inmediato que cualquier
otra seña (correctamente escrita) deberá contener nueve letras, tal y como lo
hace ésta.
Además
de indicar cómo podemos alcanzar conclusiones universales examinando instancias
particulares, el ejemplo también arroja luz sobre otro punto importante. La
regla que determina cómo ha de escribirse una palabra especifica solo qué
secuencia de letras debe haber en una seña de una palabra. Puesto que la
secuencia es única, es obvio que el número de letras no puede variar de una
seña a otra. La regla que determina cómo una palabra ha de escribirse determina
así cuántos caracteres debe haber en cualquiera de sus señas (correctamente
escrita). Sería tentador decir que de aquí se sigue cuántas letras hay en la
palabra. Vale la pena, sin embargo, tener precaución. Kant seguramente querría
insistir que la conexión en cuestión no es analítica. Pienso que estaría en lo
correcto. Pues, en primer lugar, aunque de hecho tiene sentido decir que
tenemos un concepto de la palabra ‘sintético’ (no de la propiedad sino de la
palabra), e incluso si ciertos juicios acerca de la palabra podrían
establecerse mediante un análisis de ese concepto, los hechos que hemos estado
considerando están determinados, no por el concepto de la palabra, sino por la
regla que especifica cómo identificar señas de la palabra así concebida. En
segundo lugar, además, esta regla especifica solo cuál debe ser la secuencia en
cualquier cuerda de caracteres que haya de acreditarse como una seña de la
palabra: ‘s’, seguida de ‘i’, seguida de ‘n’, etc. Para establecer cuántos
caracteres hay en esta secuencia, necesitamos usar la regla para identificar
una seña perceptible de la palabra (o algo con una estructura apropiadamente
análoga), y para enumerar los caracteres en ella. Sin duda, Kant argüiría,
consecuentemente, que el juicio de que ‘sintético’ contiene nueve letras es, él
mismo, sintético y, en efecto, que nuestro conocimiento de ello descansa en
algo muy parecido a la construcción matemática.
Ahora
bien, una palabra es, desde luego, un símbolo. Sin embargo, una seña de esa
palabra no es una representación simbólica de la palabra, sino una instancia
perceptible de la misma. Cuando basamos un juicio acerca de una palabra, o
acerca de todas sus señas posibles, en lo que encontramos verdadero en una sola
seña, estamos en una situación análoga a lo que hacemos al fundar un juicio
acerca de todas las colecciones de n
objetos en lo que encontramos verdadero para una sola colección. Los puntos que
hemos establecido pueden extenderse. Pues si bien no queremos decir que una
colección particular de siete más cinco es una seña del número que posee, ella
está no obstante relacionada con ese número de modo muy similar a como una seña
de una palabra está relacionada con esa palabra.
Cuando
identificamos una colección de 7+5 marcas, podemos determinar que suma 12, y podemos
ver de inmediato que cualquier otra colección como esa también debe hacerlo.
Debe ser evidente, ahora, qué es lo que nos permite hacer esto. Cuando
enumeramos las marcas, no determinamos solamente el número de objetos en una
cierta colección ostensivamente especificada, sino el número de objetos en una
colección (correctamente identificada) de 7+5. Más aún, nos percatamos de que
esta colección particular se acredita como una colección de 7+5 solamente
porque es conforme con las reglas generales que especifican cómo ha de
identificarse tal colección. De hecho, la representamos meramente como algo que
está conforme con estas reglas, ignorando el tamaño, el color, la composición,
etc., de las marcas. Incluso ignoramos el hecho de que los objetos en cuestión
son marcas, representándolas meramente como unidades o ‘unos’, i.e., como
instancias arbitrarias de un concepto arbitrario. Por lo tanto, atribuimos a la
colección de marcas solo lo que requieren las reglas generales que lo destacan
como una colección de 7+5. Puesto que es evidente que cualquier colección que
sea conforme con estas reglas tendrá que tener
exactamente la misma cantidad de miembros que cualquier otra, es evidente que
cualquier otra colección sumará 12 tal y como lo hace ésta en particular.
Es
verdad, desde luego, que cometemos errores. Podemos juzgar que la colección
ante nosotros es una colección de 7+5 cuando no lo es, o que suma 13 cuando en
realidad suma 12. Esto no implica, sin embargo, que no podamos establecer
juicios aritméticos, que son a priori, examinando colecciones
particulares de cosas perceptibles. De nuevo son útiles los paralelos entre los
dos ejemplos. Cuando juzgamos que una cierta cuerda de caracteres perceptibles
es una seña (correctamente escrita) de ‘sintético’, necesitamos hacer varios
juicios empíricos. Necesitamos juzgar que el primer carácter en la cuerda es
una ‘s’, el segundo una ‘i’, etc., que no falta ningún carácter, que ninguno
haya sido accidentalmente incluido, etc. Al enumerar los caracteres de la
cuerda, necesitamos, de nuevo, hacer varios juicios empíricos: que todos los
caracteres hayan sido enumerados, que ninguno haya sido contado dos veces, etc.
Es posible que nos equivoquemos en cualquiera de estos juicios. Pero esto no
implica que los procedimientos que hemos descrito –los procedimientos para
escribir una palabra y contar sus letras— sean un apoyo inadecuado para el
juicio de que cualquier seña de ‘sintético’ debe tener nueve letras. Pues este
último juicio no descansa en el mero hecho de que nos encontremos diciendo
‘nueve’ cuando llegamos al último carácter de la cuerda, sino en el juicio de
que nos encontramos diciendo ‘nueve’ en este punto, después de ejecutar
correctamente todos los procedimientos relevantes. Es obviamente innecesario
ejecutar los procedimientos correctamente cada vez que lo intentemos. Lo que sí
es necesario, empero, es que la ejecución apropiada de estos procedimientos nos
dé un resultado único. Así, determinar el número de caracteres en una seña de
una palabra es determinar el número de caracteres en cualquier otra seña. Se
pueden formular los juicios correspondientes acerca del uso de una colección
particular de n + m objetos para determinar cuántos objetos debe
haber en cualquier colección de ese tipo.
Las
analogías entre los dos ejemplos también ayudan a mostrar cómo Kant sostiene
que los juicios aritméticos son sintéticos. Kant piensa que no podemos dar un
sentido cognitivo claro al discurso acerca de objetos particulares a menos que
podamos, al menos en principio, representar e identificar tales objetos. Puesto
que la representación de objetos particulares siempre involucra la intuición, y
puesto que nuestra intuición es siempre sensible, no podemos dar un sentido
cognitivo claro al discurso acerca de los números como objetos, a pesar de lo
que digan en contra los platónicos. En cambio, Kant piensa que tenemos que
construir el discurso acerca del número como algo concerniente a la cantidad de
colecciones de objetos sensibles (con la “numerosidad” o “el ser-cuánto” de
tales colecciones). La representación de número, por lo tanto, requiere
intuición, de hecho, intuición sensible, puesto que, al menos para nosotros, la
representación de objetos particulares y, por lo tanto, de colecciones de tales
objetos, y del ‘ser-cuánto’ de tales colecciones, requiere que seamos afectados
sensiblemente. Para representar el número 7 debemos, al final, representar una
colección particular, aunque arbitraria, de 7 cosas perceptibles. Para
representar 7+5 debemos hacer algo similar. Para determinar que una colección
de 7+5 suma necesariamente 12 debemos, al final, enumerar las cosas en tal
colección arbitraria.[15]
La razón por la que esto es así se aclara una vez que vemos la analogía entre
nuestros dos ejemplos. Las reglas que especifican cómo ha de escribirse
‘sintético’ son en realidad solo procedimientos para identificar señas
perceptibles de esa palabra. Para determinar cuántos caracteres hay en la
palabra, debemos usar esos procedimientos para identificar una seña y luego
enumerar sus caracteres. Similarmente, las reglas que especifican cómo
representar el número 7+5 son simplemente los procedimientos para identificar
colecciones perceptibles de 7+5. Para determinar cuántas cosas debe haber en
tales colecciones, necesitamos usar estos procedimientos para identificar una
colección arbitraria y luego enumerar sus miembros. Nuestro conocimiento de la
verdad matemática descansa, por lo tanto, no en el mero concepto de la suma de
7 y 5, sino en los procedimientos por los cuales podemos identificar y enumerar
colecciones que exhiben ese concepto y, de hecho, en el empleo de tales
procedimientos en un caso particular, aunque arbitrario.
Vale
la pena notar que la razón de Kant para sostener que los juicios aritméticos
son sintéticos es extremadamente general. El punto gira simplemente en torno al
hecho de que, para nosotros, el pensamiento es siempre meramente general o
discursivo, mientras que la intuición, la cual hace posible la representación
de particulares, es siempre sensible. Si supusiéramos, por tanto, como Kant
parece hacerlo (en B 71-72), que pudiera concebirse una inteligencia en la que
la intuición fuera sensible, como lo es para nosotros, pero ni espacial ni
temporal, entonces para tal inteligencia el conocimiento aritmético requeriría,
presumiblemente, la construcción de conceptos, y los juicios aritméticos
serían, presumiblemente, sintéticos. No obstante, tal inteligencia
identificaría colecciones de n objetos por medios muy diferentes de los
que nosotros debemos emplear. Pues para Kant los procedimientos que debemos al
fin usar involucran, todos ellos, el acto temporal sucesivo de recorrer los
miembros de la colección, logrando lo que describe como “la adición sucesiva de
unidad a unidad (homogénea)”. (A 142/ B 182)
El
punto puede abordarse de un modo alternativo. Sugerí hace un momento que
distinguiéramos el concepto de una palabra de los procedimientos para
identificar señas perceptibles de esa palabra. Una distinción paralela debe
hacerse entre el concepto del número n
y los procedimientos para identificar colecciones de n objetos
perceptibles. Parece claro que el discurso acerca de las palabras particulares
requiere del uso de señas perceptibles de esas palabras. Por razones paralelas,
parace claro que no podemos darle un sentido claro al
discurso acerca del número n excepto empleando colecciones de n objetos sensibles, o empleando una
seña numérica sensible que pueda funcionar como un índice del número solo
porque es la última cosa que se generaría en una colección estándar de n
cosas sensibles, es decir, una colección del primero a la enésima seña
numérica. Parece claro, por tanto, que no podemos darle sentido al discurso
acerca de los números sin apelar a algunos procedimientos mediante los cuales
identificamos colecciones de n objetos. Creo que Kant concordaría en
ambos puntos. No obstante, insistiría en que la distinción entre el concepto y
los procedimientos para identificar instancias del concepto necesita, aún así,
ser trazada. La necesidad de la distinción es tal vez más evidente en el primer
caso, puesto que los procedimientos mediante los cuales generamos e
identificamos señas de palabras podrían ser, obviamente, muy diferentes de lo
que son. Aún así, la distinción sí que es necesaria en el caso de los conceptos
numéricos. Aunque no seamos capaces de visualizar un procedimiento fundamental
para identificar colecciones de n objetos que no involucren finalmente
lo que Kant describe como la “adición sucesiva de unidad a unidad (homogénea)”,
y aunque no podamos por ello darle sentido al discurso sobre el número sin
referencia a los procedimientos que son temporalmente sucesivos; aún así
podemos ver que el concepto y el procedimiento son, no obstante, distintos (16).[16]
La
concepción de Kant sobre la aritmética involucra, así, dos tesis distintas. La
primera es que, puesto que nuestro pensamiento es meramente discursivo y
nuestra intuición siempre sensible, nuestro conocimiento aritmético descansa en
la construcción de conceptos, y nuestros juicios aritméticos son, así,
sintéticos. La segunda tesis, más específica, es que, dada la forma de nuestra
intuición, la construcción de conceptos aritméticos requiere que controlemos
los procedimientos para generar o identificar colecciones de n objetos, y estos procedimientos son
temporalmente sucesivos.
Como
lo indiqué previamente, Kant se refiere a estos procedimientos como a
“condiciones universales de construcción” para los conceptos numéricos
correspondientes. También les llama ‘esquemas’ de estos conceptos (A714/B742, A
142-3/B 182), y los adscribe no al entendimiento sino a la imaginación. Deseo
ahora abordar este último punto.
III.
La imaginación
Kant
caracteriza la imaginación como “la facultad de representar en la intuición un
objeto que no está presente” (B 151). Podría fácilmente pensarse que esto
significa que la imaginación es simplemente la capacidad para hacer imágenes
mentales, para representar en imágenes sensibles las cosas que no están de
hecho presentes. Si fuera eso lo que Kant quiso decir, no obstante, mucho de lo
que dice acerca del papel de la imaginación en el conocimiento resultaría
insostenible. Pues si bien es concebible que se argumentara la afirmación de
que hacer imágenes mentales juega algún papel causal en ocasionar el desarrollo
de ciertos conceptos o hacer ciertos juicios, es obvio que no es esa la
afirmación que Kant desea hacer. Sugiero, por tanto, que su caracterización sea
leída de otra manera muy diferente.
Vale
la pena notar que en el habla ordinaria, cuando usamos
‘imagina’ y sus asociados, no implicamos necesaria ni característicamente que
hacer imágenes mentales deba tener lugar. De un niño jugando puede decirse que
imagina que su trozo de madera es un arma. De un paranoide puede decirse que
meramente imagina que una mirada al pasar es una amenaza. En ninguno de esto
casos, como lo mostrará la reflexión, consideramos esencial que ocurran
episodios de hacer imágenes mentales. Lo que es importante es simplemente que
alguien construya o considere, o tome lo que está presente sensiblemente como
algo distinto, o al menos como algo más, de lo que se presenta inmediatamente.
El niño, por ejemplo, considera el trozo de madera como un arma. El paranoide
construye la mirada inocente como amenazadora.
Estas
observaciones sugieren lo que, considero, es la concepción de Kant. Él no
sostiene que la imaginación es la capacidad para hacer imágenes mentales de
objetos ausentes, como uno podría suponer a primera vista. Sostiene, más bien,
que se trata de la capacidad de construir (construe)
o interpretar lo sensiblemente presente como algo distinto, o algo más, que lo
que inmediatamente se presenta. Es, por lo tanto, la capacidad de representar
en la intuición algo que, estrictamente, no está presente ahí, al menos
completamente.
Estas
observaciones sobre los usos comunes de ‘imagina’ son útiles si nos ayudan a
resistir la tentación de suponer que Kant debe concebir la imaginación como una
capacidad para hacer imágenes mentales. Su concepción de la imaginación va
mucho más allá de la reflexión de sentido común, sin embargo. No sostiene
meramente que cuando percibimos algo, también podemos imaginarlo –i.e.,
construirlo, tomarlo— como algo distinto, algo más, que lo que percibimos.
Sostiene, más fuertemente, que percibir algo en primer lugar, esto es,
percibirlo como algo, involucra construir o tomar la consciencia sensible [sensible
awareness] como la consciencia de algo que puede
presentarse sensiblemente de muchas otras maneras, y como algo que no está, por
tanto, presente, al menos no completamente presente, en nuestra consciencia
sensible inmediata. Este, sugiero, es precisamente el punto de la conocida
afirmación de Kant de que “la imaginación es un ingrediente necesario de la
percepción misma” (A 120n). Él no quiere con ello afirmar que la percepción involucra
necesariamente hacer imágenes mentales, una afirmación que sería de poco
interés filosófico incluso si fuera plausible. En cambio, quiere rechazar la
concepción de que la percepción puede ser entendida como meramente un estado
pasivo de consciencia sensorial, tal y como Hume lo
había pensado, e insistir más bien en que involucra, además de la consciencia
pasiva, el acto de construcción o interpretación de tal consciencia como la
consciencia de algo.
No
es este el lugar para intentar elaborar la totalidad de la concepción de Kant
de la imaginación.[17]
(17) Deseo puntualizar, no obstante, que si aceptamos
mi sugerencia sobre lo que Kant quiere decir con ‘imaginación’, podemos echar
mano de los puntos indicados en la sección II para iluminar su concepción de la
imaginación, así como para explicar por qué sostiene que la construcción de
conceptos aritméticos involucra el ejercicio de la imaginación.
Kant
piensa que concebir el número n es concebir la cantidad o el
‘ser-cuánto’ de una colección de n cosas. Para representar esta
cantidad, sostiene, debemos al final representar una colección particular,
aunque arbitraria, de n cosas perceptibles. La representación de tal
colección –como una colección de n— requiere obviamente de presencia
sensible. También requiere que controlemos procedimientos por los cuales
podemos determinar, para esta o para cualquier colección de cosas sensibles, si
es que suma n. Tales procedimientos son generales y, por lo tanto, nuestra
representación de ellos no es meramente sensible. Sin embargo, tampoco es
meramente conceptual. Pues, como vimos en la sección II, hay una distinción que
trazar entre el concepto del número n y los procedimientos mediante los
cuales identificamos colecciones de n objetos perceptibles. El concepto
es simplemente la representación de la cantidad o ‘ser-cuánto’ de tal
colección. Los procedimientos son actividades regladas que usamos para
determinar si una colección dada de cosas sensibles exhibe esa cantidad,
actividades que requieren recorrer secuencialmente las cosas en la colección y
tomarlas conjuntamente como una colección (cf. el uso de ‘Zusammennehmung’
en A99), logrando así lo que Kant llama “la adición sucesiva de unidad a unidad
(homogénea)” (A 142/B 182). Kant denomina tales procedimientos ‘esquemas’ de
los conceptos correspondientes debido al papel que juegan al permitirnos
identificar cosas sensibles como exhibiendo un concepto.
La
construcción de conceptos aritméticos involucra el ejercicio de la imaginación,
no porque Kant piense que tal conocimiento descanse de algún modo en hacer
imágenes mentales, sino porque piensa que depende de nuestra habilidad para
usar tales procedimientos generales para construir cosas sensibles como
constituyendo colecciones de números determinados. Construirlos
(interpretarlos) así es construirlos como algo más que lo que se presentan,
puesto que es construirlos conforme a ciertas reglas generales o
procedimientos. El conocimiento aritmético descansa, así, en el ejercicio de la
imaginación justamente en el sentido que he sugerido que Kant le da a este
término en general.
Para
ver por qué mantiene Kant que el conocimiento aritmético descansa en el
ejercicio de la imaginación ‘pura, a priori’ (A 141-2/ B 180-1) o ‘productiva’
(B 151-2), necesitamos considerar más detenidamente el carácter de los
conceptos aritméticos, y el de los procedimientos mediante los cuales
identificamos las colecciones de cosas sensibles como instancias y exhibiciones
de esos conceptos.
Cuando
construimos nuestra consciencia sensible como la consciencia de, digamos, un
árbol de maple, Kant diría presumiblemente que tal cosa requiere ser construida
como la consciencia de algo conforme con ciertos procedimientos generales, viz., aquellos que emplearíamos para determinar que lo que
está presente es, de hecho, un árbol de maple. Si consideramos lo que podrían
ser tales procedimientos, sin embargo, se hace evidente rápidamente que
inevitablemente involucrarán la comparación de lo que está sensiblemente
presente ahora con lo que ha estado sensiblemente presente, ante mí o ante
otros, en otras ocasiones. Pues sin importar si nuestro concepto de un árbol de
maple es naive o sofisticado, la identificación de
cualquier cosa como instancia de ese concepto involucrará una red más o menos
compleja de comparaciones entre la cosa con la que nos ocupamos ahora y una
diversidad de otras cosas que han sido percibidas. Construir (interpretar)
nuestra consciencia sensible como la consciencia de un árbol de maple es, así,
construirlo como la consciencia de algo de un tipo determinado. Pero el tipo en
cuestión solo puede especificarse mediante la referencia a otras cosas,
previamente encontradas, que tomamos asimismo como de ese tipo. El tipo en cuestión,
en otras palabras, debe inevitablemente ser identificado como el mismo tipo que
fue exhibido en otras cosas. Para ponerlo de otro modo, cuando identificamos
algo como un árbol de maple, lo identificamos como reproduciendo el tipo que
hemos encontrado exhibido en otras cosas previamente. Y esto, sugiero, es el
punto importante detrás del uso de Kant del término ‘imaginación reproductiva’.
Su concepción, de nuevo, no es que la imaginación es la capacidad para hacer
imágenes mentales. La ‘imaginación reproductiva’, en particular, no ha de ser
entendida como la capacidad para generar imágenes mentales que replican o
reproducen sensaciones previas. La imaginación, como lo he sugerido, es la
capacidad para construir [construe] la consciencia sensible como la consciencia de
algo –algo que, debido al carácter meramente pasivo de la consciencia sensible,
no puede estar completamente presente en la consciencia sensible. La
‘imaginación reproductiva’, a su vez, es la capacidad para construir/
interpretar nuestra consciencia sensible como la consciencia de algo de un tipo
cuya caracterización requiere comparación con, y referencia a, otras cosas que
hemos encontrado en la consciencia sensible.
La
imaginación productiva, en contraste, es la capacidad de construir o
interpretar la consciencia sensible como la consciencia de algo de un tipo cuya
caracterización no depende de la comparación con otras cosas previamente
encontradas. Es, por ello, la capacidad para construir lo que está presente
sensiblemente como algo que exhibe lo que Kant clasificaría como conceptos
puros más que empíricos. El concepto de una colección o totalidad de cosas es
un concepto puro, Kant argüiría, pues es simplemente el concepto de todas las
instancias de un concepto, cualquiera que el concepto sea y, por lo tanto, es
un concepto implícito en la mera forma del juicio, sin importar cuál pudiera
ser el contenido del juicio. El concepto de la cantidad o el ‘ser-cuántos’ de
tal colección es, asimismo, puro. Así, identificar un grupo de cosas
perceptibles como una colección de n, de n+m,
etc., es identificarlo como una instancia y una exhibición de un tipo, pero de
un tipo cuya caracterización no requiere comparación ni referencia a otras
cosas previamente encontradas. (De hecho, el punto importante es precisamente que si bien uno puede ser consciente sensiblemente de las
cosas en una colección, uno no puede ser consciente sensiblemente de la
colección misma. Interpretar estas cosas como cosas en una colección involucra,
así, interpretarlas como instancias de un concepto que no puede ser explicado,
o definido, mediante la referencia a la consciencia sensible.) Un concepto de
este tipo es, como le gusta decir a Kant, uno que aportamos a la experiencia,
no uno que derivemos de ella. Más aún, es un concepto que según Kant está
presupuesto en el conocimiento empírico de las cosas, y uno que, por ello,
puede decirse que constituye o produce la forma de la experiencia, i.e., de
todo conocimiento empírico. Así, los procedimientos mediante los cuales
determinamos que ciertas cosas sensibles instancian tal concepto –los
procedimientos, en el caso de la aritmética, mediante los cuales determinamos
que un grupo dado de cosas constituye una colección de n, n+m, etc.— son procedimientos que no requieren la
comparación de las cosas en cuestión con otras cosas previamente encontradas en
la sensibilidad. Son procedimientos mediante los cuales identificamos cosas
sensibles como instancias de conceptos que son constitutivos o productivos de
la forma de la cognición empírica. Puesto que debemos dominar tales
procedimientos para ser capaces de identificar grupos de cosas sensibles como
colecciones de n, de n+m, etc., y
puesto que debemos ser capaces de realizar tales identificaciones para
fundamentar los juicios aritméticos, puede decirse que estos procedimientos son
ellos mismos contribuciones a la experiencia más que derivaciones de ella, y
que son constitutivos o productivos de la experiencia, o de la cognición
empírica, en su forma. Como procedimientos, distintos de los conceptos que nos
permiten usar y poseer, Kant los adscribe a la imaginación y no al
entendimiento. Como procedimientos constitutivos de la cognición empírica, se los
adscribe a la imaginación ‘productiva’. En la medida en que hayamos arrojado
luz sobre la doctrina de Kant sobre la construcción de conceptos aritméticos,
hemos así arrojado luz al mismo tiempo sobre su concepción de la imaginación
productiva.
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