1. Introducción
Uno de los rasgos característicos del abordaje científico de la
física del siglo XVII es lo que usualmente se conoce como la
“matematización de la naturaleza”, es decir, en términos más o menos
generales, el uso de la matemática para la investigación física. Ahora
bien, hay muchas cosas que pueden interpretarse bajo la idea de la
matematización de la naturaleza o el uso de la matemática en física, por
lo que la mera enunciación de este rasgo característico no es suficiente
para entender a qué nos estamos refiriendo. Así, por ejemplo, podríamos
estar aludiendo al empleo de diagramas geométricos para el abordaje de
problemas físicos y mecánicos, o bien al modo
geométrico de exposición de los resultados obtenidos en una
investigación. En el caso particular del pensamiento de Leibniz, podemos
incluir otras posibilidades, tal como el hecho de que las leyes del
movimiento deban conservar la forma de ecuación que tiene el principio
de la mecánica, de equipolencia entre causa plena y efecto íntegro.
Ahora bien, además de todas estas maneras de concebir el uso en
general de la matemática, Leibniz se refiere a la aplicación de
la matemática en el contexto del tratamiento de un problema en
particular. Como mostraremos en este trabajo, esta referencia muy
posiblemente no se condiga con lo que el lector actual podría suponer.
Entre las pocas veces que Leibniz se refirió explícitamente a la
aplicación de la matemática a la física en el período que va
aproximadamente de 1677 a 1690, se destaca el siguiente pasaje del
Praefatio ad libellum elementorum physicae (de aquí en más:
Prefacio), redactado entre la segunda mitad de 1678 y comienzos
del año siguiente: “[e]n esta consideración de los atributos distintos
que acompañan a los confusos consiste la aplicación de la matemática a
la física (…)”. Como vemos, cuando Leibniz se
refiere a la aplicación de la matemática a la física, no está pensando
en la idea general de hacer uso de la matemática en algún sentido, sino
en algo más específico. La especificidad de esta referencia no siempre
ha sido observada. Por ejemplo, Elawani se refiere indistintamente a la
aplicación de la matemática a los fenómenos naturales y al uso de la
matemática para el conocimiento del mundo. El
objetivo de este trabajo es precisamente analizar cómo entendió y
justificó Leibniz la aplicación de la matemática a la física, en el
período ya mencionado de su producción intelectual. Si bien, como
dijimos, las referencias explícitas a la aplicación de la matemática son
escasas, hay otros conceptos muy relacionados, como el de “atributos” o
“cualidades acompañantes” (attributa comitantia), que han
recibido una mayor atención por parte de Leibniz, tanto en escritos de
filosofía natural como en textos sobre enciclopedia y ciencia general.
Procuraremos cumplir con el objetivo sobre la base de estas referencias
indirectas.
Vale la pena en este contexto hacer la siguiente advertencia: no es
el objetivo de este trabajo analizar si la matemática es o no
útil para el conocimiento de la naturaleza ni, supuesto que lo
fuera, considerar cuáles serían los diversos modos de esta utilidad.
Esta estrategia es válida y ha sido objeto de diversos estudios. En este
sentido, merece ser destacado el mencionado trabajo de Elawani, quien
analiza, por un lado, el modo en que para Leibniz las nociones
matemáticas se involucran en el conocimiento humano de los objetos
naturales, así como también, por otro, la
preferencia por las explicaciones que hacen uso de la matemática en
física, esto es, las explicaciones mecánicas en general. Por su parte,
de acuerdo con Kurt Smith, Leibniz habría hecho uso de conceptos
matemáticos como metáforas para esclarecer el significado de algunos
términos metafísicos fundamentales, lo que también tendría un impacto en
la física. Así, por ejemplo, el concepto
metafísico de orden se esclarece a partir de las nociones matemáticas de
regla y ecuación, de acuerdo con lo que Leibniz exhibe en el sexto
parágrafo del Discours de métaphysique.
Nuestro abordaje no está en desacuerdo con ninguno de ellos, sino que en
un sentido es más específico. Así, distinguimos el análisis de la
utilidad que tiene la matemática en general para el
conocimiento humano de la naturaleza, de lo que es la cuestión de la
manera de concebir la aplicación de la matemática a la física,
con la que Leibniz se refiere específicamente a un problema determinado,
relativo, como veremos, a la posibilidad de dar explicaciones acerca de
las cualidades confusas. De alguna manera, el segundo aspecto se incluye
dentro del primero, como un caso particular. Por ello, el tratamiento
que proponemos en este trabajo procura examinar qué implicó para Leibniz
la aplicación de la matemática a la física cuando se refirió
directamente a ella y cómo justificó dicha aplicación.
La razón por la cual circunscribiremos nuestro abordaje al período
del pensamiento de Leibniz antes señalado es clara. Por un lado, entre
1676 y 1680, Leibniz se dedicó intensamente al estudio de la mecánica y
de la filosofía natural. Si bien es cierto que el interés de Leibniz no
es nuevo, pues hay tratados de física datados varios años antes (como,
por ejemplo, la Theoria motus abstracti y la Hypothesis
physica nova, ambos textos de 1670/71), lo cierto es que, en los
escritos de estos años, formuló algunas de sus propuestas más decisivas,
tales como la ley fundamental de conservación de la fuerza y de su
estimación como el producto de la masa por el cuadrado de la velocidad
(esto es, mv2) en De corporum concursu, o la concepción de la reducción de
todas las leyes del movimiento al principio único de la mecánica de
equipolencia entre causa plena y efecto íntegro (en De arcanis motus
et mechanica ad puram geometriam reducenda).
Vale la pena añadir en este contexto la concepción leibniziana de la
relatividad del movimiento o de las hipótesis de los sistemas de
referencia (así, en Principia
mechanica, Spatium et motus revera
relationes y Quod motus sit ens
respectivum). Si bien no lo desarrollaremos
aquí, estas cuestiones han jugado papeles clave en la filosofía
posterior de Leibniz, como, por ejemplo, en el contexto de la
correspondencia con Clarke. En segundo lugar, vale la pena señalar que
antecede al período circunscrito en este escrito la etapa parisina de
Leibniz, en la que se dedicó intensamente al estudio y desarrollo de la
matemática (como puede verse en múltiples tomos hasta ahora publicados
de A VII). No es de extrañar entonces que la
cuestión de la aplicación de la matemática a la física sea
recurrentemente abordada en los textos físicos del período delimitado.
Así, por ejemplo, en Revocatio qualitatum confusarum ad
distinctas, De modo perveniendi ad veram
corporum analysin et rerum naturalium causas,
Physica scientia attributorum corporis,
Conspectus libelli elementorum physicae y
el mencionado Prefacio.
2. Dilucidación de la ciencia
física
El modo como Leibniz concibe la aplicación de la matemática a la
física depende directamente de la concepción que tuvo de estas ciencias,
en especial, como veremos, de la física. Sucintamente, Leibniz concibe a
la física como la ciencia de los atributos o cualidades del cuerpo. La física tiene dos partes, una
primera en la que se abordan las cualidades y una segunda, acerca de los
sujetos de tales cualidades, esto es, los cuerpos del mundo, tales como
los cuerpos elementales, los astros o los cuerpos orgánicos. En esta ocasión nos centraremos en
la primera parte. En el cuerpo pueden reconocerse
distintos tipos de cualidades o atributos, pero solamente uno de estos
tipos es propio de la física, esto es, el de las cualidades sensibles.
Hay ciertamente atributos del cuerpo que son reductibles a nociones
matemáticas: por ejemplo, ser extenso es un atributo del cuerpo, que se
reduce a las nociones de magnitud y situación, que se toman de la
matemática. Ya volveremos sobre este tipo de cualidades. Lo relevante
por el momento es, como decíamos, que, en su carácter de ciencia
empírica, las cualidades propias y distintivas de la física son las
sensibles. El estudio específico o la ciencia de las cualidades
sensibles comporta para Leibniz el nombre de “poiografía”.
Si bien lo retomaremos con más detalle más adelante, anticipemos que,
para Leibniz, las cualidades sensibles son de dos tipos. En cierta
medida, como veremos, en estas consideraciones Leibniz anticipa
concepciones que abordará en 1684 en Meditaciones sobre el
conocimiento, la verdad y las ideas.
Por un lado, están las cualidades sensibles que son “simples” para los
sentidos, que, por lo tanto, podemos conocer de manera ostensiva, pero
de las que no podemos dar una explicación o definición, como es el caso
de los colores, sonidos, sabores y demás. No podemos entender el verde,
un sonido agudo, un sabor amargo, como tampoco el calor, sino solamente
sentirlos. Como dice Leibniz en reiteradas ocasiones, no es posible
explicarle a un ciego de nacimiento en qué consiste la luz o la rojez. Estas cualidades, precisamente por
el hecho de no poder ser definidas, son “confusas”. Ahora bien, hay un
segundo tipo de cualidades sensibles, que no son confusas, sino
“distintas”, en algún grado. Esto implica, en consecuencia, que son
compuestas y pueden explicarse, aunque sea descriptivamente, de manera
que, de algún modo, son inteligibles. Tal es el caso, por ejemplo, de la
firmeza, la fluidez, la blandura, la tenacidad y otras cosas
semejantes. Decimos que son distintas “en algún
grado” y por ello que son inteligibles “de algún modo”, pero no
plenamente, porque, para explicarlas, debemos recurrir en algún momento
a cualidades confusas. Por ejemplo, podemos explicar la fusibilidad como
la facilidad o disposición que un cuerpo tiene para derretirse o
fundirse, para lo que en algún momento debemos recurrir a la noción de
“calor”, que es confusa.
Este contexto nos permite anticipar algo acerca del modo como Leibniz
concibió la aplicación de la matemática a la física, a saber: ella está
relacionada con el esfuerzo por dar explicaciones de algún tipo acerca
de las cualidades sensibles simples de los cuerpos, que por sí solas no
son explicables, en la medida en que esto sea posible y de acuerdo con
ciertas condiciones que señalaremos más adelante.
Entretanto, esta observación nos permite advertir algo por la vía
negativa: la aplicación de la matemática a la física no es, por decirlo
así, un abordaje de objetos y cuestiones físicas que esté incorporado a
la matemática. Tengamos en cuenta que, entre los últimos años de la
década de 1670 y especialmente a lo largo de la década siguiente,
Leibniz desarrolló una concepción de la matemática “general” o
“universal” (la denominación varía según los textos) de una manera que
no la restringía a la consideración de la cantidad en general (o “acerca
del orden y la medida no adscrito a una materia especial”, como fue
concebida por Descartes), sino que incorporaba también la
consideración de la cualidad. En otras palabras, fue concebida
por Leibniz como la ciencia “sobre la Magnitud, es decir, la Cantidad, y
la Semejanza, es decir, la cualidad”.
En De rebus in scientia mathematica tractandis, Leibniz señaló
en este sentido: “Ciertamente, en matemática, además de la comparación
de cantidades, suele tratarse a menudo sobre la comparación de
cualidades, es decir, sobre la semejanza (…)”.
La idea de Leibniz es que podemos demostrar recurriendo a la semejanza
de cualidades, cosas que de hecho podrían también demostrarse, aunque
con mayor dificultad, recurriendo solamente a cantidades.
Así, por ejemplo, que dos círculos cualesquiera son semejantes entre sí,
o bien que son entre sí como los cuadrados respectivamente
circunscriptos. Ahora bien, si, como dijimos, la física es una ciencia
sobre cualidades (más concretamente, sobre las cualidades de los
cuerpos, en especial las sensibles), podría pensarse, como decíamos, que
de alguna manera queda incorporada en la matemática universal. Sin
embargo, como veremos, la aplicación de la matemática a la física no se
trata de examinar la semejanza entre cualidades, sino, como decíamos, de
emplear conceptos matemáticos para dar explicaciones relativas en algún
respecto a las cualidades sensibles. En este sentido, sostenemos,
Leibniz entendería la “aplicación” en términos más bien epistemológicos,
esto es, en función de la posibilidad de dar explicaciones de algún
género acerca de cualidades sensibles. Por una cuestión de orden,
analizaremos un poco más adelante cuál es el género de explicaciones al
que hacemos aquí referencia. En cualquier caso, como veremos, es ante
todo una cuestión de explicación y solo luego, por concomitancia, de uso
en física de técnicas matemáticas.
3.
Presupuestos metodológicos y epistemológicos. Las explicaciones
mecánico-causales
Ahora bien, si nuestra lectura es correcta, la aplicación de la
matemática a la física tiene algunos presupuestos, que son de naturaleza
metodológica y epistemológica. Desde el punto de vista metodológico, hay
en la investigación de la naturaleza cuatro métodos posibles que se
configuran de acuerdo con dos pares de oposiciones, a saber: un método
puede proveer resultados ciertos o conjeturales y puede proceder de
manera a priori o a posteriori.
Así, por combinación, los métodos son estos cuatro: el cierto a
priori, el conjetural a priori, el cierto a
posteriori y el conjetural a posteriori. No nos
detendremos en detalle en ellos, lo que nos desviaría de nuestro
objetivo. Solamente analizaremos brevemente el método “cierto a
posteriori”, que es para Leibniz el método por excelencia de la
física y que, como veremos, está esencialmente conectado con la cuestión
de la aplicación de la matemática. Este método consiste en un
procedimiento analítico o resolutivo (y por eso es “cierto”) a partir de
los fenómenos (y por eso es “a posteriori”). De esta manera, se
procede a descomponer un fenómeno en sus atributos, que se consideran
individual o aisladamente. La resolución no se detiene allí, sino que
prosigue luego con el análisis de los atributos mismos hasta alcanzar
eventualmente atributos simples para el intelecto, es decir, los que no
sean resolubles en otros. Que el análisis se detenga en los atributos
simples “para el intelecto” implica, entre otras cosas, que no es el
punto de detención final el arribo a atributos simples “para los
sentidos”. Esto muestra, en particular, que el
método de Leibniz consiste en una resolución intelectual, no empírica,
y, por lo tanto, en la resolución que permiten los atributos que son
distintos, esto es, los que pueden explicarse o definirse. No es que
Leibniz no admita en física una resolución empírica; más aún, no sólo la
admite, sino que incluso incentiva su uso.
No obstante, por la naturaleza de esta resolución, mediante ella no
llegamos a los requisitos que explican la cosa analizada. En suma,
metodológicamente, la aplicación de la matemática a la física supone un
método de resolución intelectual del fenómeno en sus atributos y de
ellos en otros “más simples”, hasta llegar eventualmente a los que sean
realmente simples intelectualmente hablando. Como veremos, la aplicación
de la matemática a la física se da precisamente cuando no todas las
nociones involucradas en la resolución sean distintas, es decir, en
otras palabras, cuando resolutivamente llegamos a atributos confusos,
que, como tales, no podemos explicar.
Ahora bien, decir que la aplicación de la matemática a la física
permite dar explicaciones es decir algo excesivamente general, en el
sentido de que resta esclarecer a qué nos referimos con “explicación” en
este contexto, o bien, más precisamente, qué tipo de explicación está
aquí implicada. De alguna manera, en el contexto de las investigaciones
físicas, “explicar” implica para Leibniz dos cosas distintas, por lo
que, concomitantemente, podemos distinguir dos tipos de explicaciones.
Vale la pena señalar que en ambos géneros hay una referencia a la
matemática, por lo que su distinción no es en absoluto trivial en este
contexto. Cuando Leibniz se refiere a la aplicación de la matemática a
la física, no lo hace en un sentido general, sino que se refiere
especialmente a uno de estos tipos de explicaciones. Si bien no nos
detendremos en detalle en esto, en esta cuestión Leibniz de alguna
manera anticipa una distinción, que es muy contemporánea, entre un
modelo de explicación axiomático-deductivo y un modelo causal-mecánico.
Ya Nancy Cartwright concibió de esta manera la distinción entre las
explicaciones provistas por las leyes “fenomenológicas” respecto de las
que corresponden a las leyes “fundamentales”.
Más recientemente, Manuel DeLanda, entre otros, recoge esta
clasificación de tipos de explicaciones.
Por un lado, “explicar” puede ser para Leibniz dar una razón de algo
en términos deductivos. Así, una ley empírica de nivel inferior puede
ser deducida a partir de leyes de orden superior (o bien de principios)
que no sean fenomenológicas, sino teóricas, y que sean de carácter
matemático. Este es precisamente el modelo de tratamiento de cuestiones
mecánicas que Leibniz persigue al menos desde que en 1676 estableció el
principio de la mecánica de equipolencia entre causa plena y efecto
íntegro. En otras palabras, Leibniz mantiene
un modelo deductivo para la mecánica, que se funda en principios de
carácter racional gracias a los cuales puede darse un tratamiento
geométrico del movimiento. Así, dice Leibniz,
“(…) es necesario que las leyes del movimiento, que hasta el momento
parecen ser diversas, se reduzcan a un único principio con cuyo auxilio
puedan formarse algunas ecuaciones analíticas”.
En consecuencia, a partir del principio de equipolencia o de igualdad de
potencia entre causa plena y efecto íntegro se sigue, a modo de ejemplo,
la ley de conservación de la fuerza como el producto de la masa y el
cuadrado de la velocidad (mv2), formulada en estos
términos en De corporum concursu, sobre la que se fundan a su
vez las leyes fenomenológicas del movimiento de orden inferior. Dado que
el principio de la mecánica a partir del que se deducen las leyes tiene
la forma de una ecuación, el modelo deductivo de la mecánica permite
expresar las leyes del movimiento en términos de un sistema de
ecuaciones. Como la física se asienta sobre la
mecánica, el mismo procedimiento deductivo continúa hasta las leyes
físicas fenomenológicas.
Ahora bien, por otro lado, “explicar” puede también ser para Leibniz
proveer un mecanismo que dé cuenta de los fenómenos en términos
causales. Este segundo tipo de explicación no procura ofrecer una
deducción a partir de leyes más generales, sino de dar la causa, en
términos mecánicos, del fenómeno explicado. Esto permite dar una
descripción matemática de los fenómenos, cuyo resultado son leyes
fenomenológicas descriptivas, como, por ejemplo, la ley óptica de la
reflexión de la luz. Cuando Leibniz se refiere a la aplicación de la
matemática a la filosofía natural, se refiere explícitamente a este
segundo tipo de explicaciones. En este sentido, podemos explicar la
causa inmediata e inteligible por la cual tienen lugar los
atributos sensibles que conocemos ostensivamente, pero de los que no
podemos llevar a cabo una resolución analítica en los conceptos
componentes que los explican. Dice Leibniz a propósito de la posibilidad
de dar una explicación de las cualidades sensibles:
Los atributos compuestos han de resolverse en simples; y aquellos que
son simples respecto de los sentidos, pero no en razón del intelecto,
deben reducirse a su causa inmediata.
Así, aunque no podamos explicar, por ejemplo, un color, como el
verde, podemos explicar la causa por la cual algo es percibido por
nosotros como verde. Esto nos remite a un segundo presupuesto de la
aplicación de la matemática a la física, que es de naturaleza
epistemológica, a saber, que toda explicación física ha de darse en
términos mecánicos:
Ante todo, tomo por cierto que todas las cosas, esto es, las que
podrían ser percibidas por nosotros, suceden por algunas causas
inteligibles, si algún ángel nos las quisiera revelar. Y ya que nada es
percibido por nosotros con precisión, más que la magnitud, figura,
movimiento y la percepción misma, de aquí se sigue que todas las cosas
deben explicarse por medio de estas cuatro y que, puesto que hablamos de
aquellas cosas que parece que suceden sin percepción, como las
reacciones de los líquidos o las precipitaciones de las sales, por ello,
resta que sean explicadas mediante la magnitud, la figura y el
movimiento, esto es, mediante el mecanismo [per machinam].
Como vemos, la explicación “mediante la máquina” remite a conceptos,
tales como magnitud, figura y movimiento, que son tomados de la
matemática: la noción de magnitud se toma del álgebra o de la
aritmética, la figura y la de situación (que está incluida en la de
“movimiento”), de la geometría. Magnitud, figura y
movimiento son de hecho atributos del cuerpo, o más concretamente,
atributos “comunes a muchos sentidos”. No nos detendremos en este
momento a analizar de qué manera Leibniz argumenta que sean comunes a
muchos sentidos (cosa que, por lo demás, explica, en simultáneo, por qué
son confusos los atributos simples para los sentidos).
Nos interesa en esta ocasión resaltar, en primer lugar, que estos
atributos en los que se basan las explicaciones mecánicas son distintos,
a pesar de ser sensibles, en tanto que son sensibles “comunes”. Es más,
si tomamos el conjunto de atributos distintos, ellos están por encima
del resto en lo que respecta a la distinción. En otras palabras, si
hiciéramos una escala de distinción, ellos se encontrarían por encima de
otros que incluyen notas confusas en su resolución. Recordemos en este
momento que antes señalamos que hay atributos sensibles que son
distintos, tales como la firmeza, la fluidez, la blandura, la tenacidad
o la fusibilidad. No obstante, al resolverlos encontramos que no todas
sus notas son a su vez distintas, sino que de hecho en algún momento
arribamos a nociones confusas. En este sentido, dice Leibniz, “pueden
sin embargo tenerse por distintos hasta tanto se resuelvan”. Con los atributos comunes ocurre
algo diferente: en su resolución no nos encontraremos con atributos
confusos, sino solamente con nociones que proceden del intelecto, es
decir, siempre distintas. Por tal razón, como dice el pasaje que citamos
más arriba, magnitud, figura y movimiento son atributos que percibimos
con precisión, de manera distinta. Son los atributos “más distintos” que
percibimos en lo material y que, por tanto, merecen ser considerados con
anterioridad al resto, lo que implica, como dijimos, que “(…) las cosas
que son materiales pueden explicarse por la Magnitud, Figura y
movimiento”.
Ahora bien, en segundo lugar, vale la pena resaltar que esta
resolución en atributos distintos, o lo que es lo mismo, el hecho de que
todos los fenómenos de la naturaleza deban explicarse mecánicamente,
implica que la física de alguna manera está subordinada a la
matemática:
Pues, aunque los atributos confusos de los cuerpos puedan reducirse a
[atributos] distintos, debe saberse que los atributos distintos son de
dos géneros. En efecto, unos deben tomarse de la Ciencia Matemática,
pero otros, de la Metafísica. De la ciencia Matemática [se toman] sin
duda la magnitud, la figura, la situación y sus variaciones, pero de la
metafísica [se toman] la existencia, la duración, la acción y pasión, la
fuerza de actuar y fin de la acción o percepción del agente.
No nos detendremos en esta ocasión a esclarecer detalladamente la
referencia a la metafísica, que, sin lugar a duda, cumple un rol
fundacional en relación con la física. Nos limitaremos a señalar en este
sentido, por un lado, que la física está subordinada tanto a la
matemática como a la metafísica y, por otro, que, a
pesar de ello, la dependencia respecto de la metafísica no es relevante
para la cuestión que estamos abordando, dado que Leibniz es explícito
acerca del hecho de que la atribución de una “forma sustancial” al
cuerpo de hecho no contribuye en nada a la explicación de los
fenómenos materiales. Digámoslo una vez más: no implica
esto que para Leibniz la metafísica no cumpla un papel fundacional
respecto de la física. Sin embargo, como dijimos, para Leibniz todos los
fenómenos de la naturaleza han de explicarse mecánicamente. La
dependencia respecto de la metafísica, por lo tanto, apunta a esclarecer
otro tipo de cuestiones, como la de la unidad real, la fuente de la
acción y demás, pero no a dar explicaciones acerca de los fenómenos. En consecuencia, se dan diferentes
tipos de explicaciones de acuerdo con la naturaleza de las cuestiones a
abordar, motivo por el cual tales explicaciones son entre sí
compatibles. De allí que cobren especial
importancia los atributos comunes, que, como dijimos, son los únicos que
percibimos de manera precisa. Así, en suma, podemos decir que la
explicación de los fenómenos depende de la matemática, en tanto que
implica una reducción a atributos que se toman de la matemática.
Como vemos, la subordinación de la física respecto de la matemática
está relacionada con el hecho de que las explicaciones físicas deban ser
mecánicas. En otras palabras, los atributos que se toman de la
matemática son algunos de los que se emplean para explicar los
fenómenos. Esto conlleva que la mecánica tiene de alguna manera un rol
articulador entre la física y la matemática, en el sentido de que las
“conecta”. En el diálogo Pacidius
Philalethi, Leibniz ya había observado la necesidad de una ciencia
sobre el movimiento con la que transitar de la geometría a la física. En este contexto, vale la pena
mencionar que, en el marco del proyecto enciclopédico que desarrolla en
los años delimitados en este trabajo, Leibniz en ocasiones establece un
orden entre las ciencias que trasluce este rol articulador. A modo de
ejemplo, en un texto de 1679, titulado Initia Scientiae Generalis.
Conspectus Speciminum, Leibniz se refiere al siguiente orden:
primero la matemática general, como la ciencia acerca de la
determinación de la magnitud, es decir, la cantidad, y de la semejanza,
es decir, la cualidad. Segundo, la geometría, como la
ciencia en la que la magnitud y la semejanza se aplican a la situación.
En tercer lugar, la mecánica, en la cual, además de la magnitud y la
situación, se considera la fuerza, es decir, la causa del cambio. En
cuarto y último lugar, Leibniz se refiere a un “ensayo físico”:
IV. Un ensayo físico, en el cual se exhibe primeramente una
investigación acerca de las cualidades. A través de ellas,
comprendiéndolas primero de manera exacta y reduciéndolas luego a
principios mecánicos, se puede conocer la naturaleza interior de las
especies, las cuales, ciertamente, se pueden distinguir por sus
cualidades. Luego se exponen aquellas cosas que pueden afirmarse con
certeza acerca de nuestro sistema y de aquellas que se perciben en él.
Finalmente, se presentan los inicios de una física conjetural, es decir,
la hipótesis que podemos usar hasta que se encuentre otra mejor o se
corrija esa misma.
Como vemos, el tránsito de la matemática a la física a través de la
mecánica es claro. El ensayo físico recorre el itinerario que señalamos
antes, esto es, primero las cualidades y luego, los sujetos o “especies”
de cuerpos orgánicos. La comprensión “exacta” de las
cualidades se da precisamente por su reducción a cualidades distintas,
como magnitud, figura y movimiento. Con este trasfondo, estamos en
condiciones de ver con más detalle en qué consiste para Leibniz la
aplicación de la matemática a la física.
4. Las
cualidades acompañantes y la estructura a parte rei
Como señalamos antes, en la medida en que la física es una ciencia
empírica, las cualidades propias de esta ciencia son las sensibles,
entre las que se encuentran las simples para los sentidos, esto es, las
confusas. Ahora bien, en la medida en que estas cualidades confusas no
son explicables, con ellas, en el mejor de los casos, podríamos hacer
observaciones y enumeraciones, esto es, recopilar datos o información
empírica, pero no podríamos hacer ciencia. Lo que procura la ciencia es
precisamente lo que estas cualidades no permiten, es decir, explicar.
Para dar cuenta de la causa inmediata e inteligible de las cualidades
confusas, debemos recurrir a atributos comunes que se toman precisamente
de la matemática. Dicho en otras palabras, aplicamos la matemática a
la física:
Ahora bien, antes que los restantes hay que considerar los atributos
distintos, a saber, duración, magnitud, movimiento, figura, ángulo y
otras circunstancias; en efecto, podemos razonar en tanto y en cuanto
consideramos atributos distintos. En esta consideración de los atributos
distintos que acompañan a los confusos consiste la aplicación de la
matemática a la física, de modo que, una vez que aprendimos que los
ángulos de incidencia y reflexión de los rayos de luz son iguales y que
estos ángulos deben tomarse respecto de la recta incidente
perpendicularmente en el plano tangente a la superficie, fácilmente
hemos constituido ya la ciencia catóptrica; del mismo modos, son
necesarios pocos experimentos sobre la refracción para poner los
fundamentos de la dióptrica.
Notemos que, en buena medida, la aplicación de la matemática a la
física permite la constitución de las ciencias acerca de las cualidades
sensibles, como, por ejemplo, la óptica (sobre la luz) o la acústica
(sobre el sonido), precisamente porque es esta aplicación lo que nos
permite dar explicaciones. Esta aplicación de la matemática da cuenta de
la constitución de las ciencias históricamente concebidas como ciencias
“medias” o matemáticas “mixtas”. Damos, así, explicaciones mecánicas
relativas a las cualidades sensibles (sin que esto implique que lo que
explicamos sean precisamente los qualia o datos sensibles),
porque se aplican a ellas nociones distintas matemáticas. En
consecuencia, la aplicación de la matemática a la física no implica
ante todo hacer uso de técnicas y herramientas matemáticas en
el estudio de la naturaleza. Más bien, como vemos, implica
principalmente la posibilidad de dar explicaciones mecánico-causales que
en cierta manera describen el funcionamiento que da lugar a las
cualidades sensibles. Así, la posibilidad de usar técnicas matemáticas
es más una consecuencia de la aplicación de la matemática a la física,
que la razón de ello. Por poner un ejemplo, la posibilidad de medir los
sonidos según el tono o la altura supone que pueden darse explicaciones
mecánicas relativas al sonido en las que se involucran los conceptos que
luego nos permitirán precisamente llevar a cabo esta cuantificación. De una manera semejante, la
posibilidad de llevar a cabo una colorimetría, lo que implica la
aplicación de técnicas de medición a los colores, supone la óptica, es
decir, que pueden darse explicaciones mecánicas relativas a la luz.
Dicho de otra manera, la aplicación no es ante todo de las herramientas
de la matemática para ser usadas en la filosofía natural, sino de los
conceptos matemáticos para ser usados en las explicaciones
físicas. No es que lo primero quede relegado, sino que es una
consecuencia de lo segundo. Lo que a Leibniz le interesa es dar
explicaciones de cosas que no podríamos explicar de otra manera.
Como vemos, Leibniz entiende que podemos observar que hay cualidades
distintas que acompañan siempre a las confusas, en el sentido, por
ejemplo, de que, de acuerdo con el autor, a todo color “lo acompaña” un
rayo de luz refractado a partir del que se origina.
Por lo tanto, damos una explicación apelando a nociones tales como la de
“rayo” y “refracción”, que, en pocas palabras, recurren respectivamente
a las nociones de “línea” y “ángulo”, que son nociones matemáticas.
Entiéndase bien: no es el color en cuanto dato sensible lo que
estamos explicando. No es el verde o el rojo que sentimos lo que se
explica, pues eso es precisamente lo que se conoce ostensivamente. Lo
que podemos explicar, digámoslo una vez más, es la causa inmediata e
inteligible a partir de la que tiene lugar la sensación. Es por medio de
las cualidades acompañantes y, por tanto, aplicando la matemática, que
podemos dar tal explicación.
El color, el calor, y otras cosas de este género han de conocerse
[notanda] por medio de cualidades anteriores que Siempre las
acompañan. Deben explicarse, por lo tanto, por medio de la extensión y
el movimiento.
Como lo que explicamos es la causa de las cualidades confusas, las
cualidades acompañantes las acompañan “siempre” y comportando una cierta
“anterioridad”. Dicha anterioridad debe entenderse en términos causales,
precisamente porque lo que explicamos con las cualidades acompañantes es
la causa de las confusas. De esta manera, la aplicación de la matemática
a la física configura el camino para explicar lo que debe tener lugar en
las cosas, a parte rei, para que se produzca en nosotros la
sensación. En otras palabras, permite “(…) hallar, mediante un rodeo,
qué hay de real y distinto en las cualidades confusas”.
La anterioridad causal de las cualidades acompañantes implica que son
anteriores por naturaleza, es decir, constituyen la estructura a partir
de la cual resultan las cualidades confusas (necesse est etiam
qualitates confusas ex tali structura resultare).
La aplicación de la matemática a la física, entonces, permite explicar
la estructura materialmente “real”, es decir, extramental, que subyace a
las cualidades sensibles que son propias de la física, es decir, la
estructura a partir de la que tienen lugar los colores, olores, sabores
y demás en el sujeto percipiente, a pesar de no poder explicar la
sensación misma, no por incapacidad nuestra, sino por la naturaleza
misma de la sensación.
Ahora bien, ¿cuál sería la utilidad de la aplicación de la matemática
a la física?, es decir, ¿qué es lo que permitiría el conocimiento de
esta estructura? Leibniz parece reconocer tres usos que el conocimiento
de la estructura o del “tejido del sujeto” permite:
Finalmente, reduciendo las cualidades confusas a las simples,
estableceremos el tejido del sujeto [texturam subjecti
constituamus], una vez tenido el cual en cierta medida podríamos no
sólo hallar las causas de los fenómenos, sino también predecir fenómenos
aún inexplorados y aplicar la cosa propuesta a varios usos de la vida.
La aplicación de la matemática permite, entonces, tres cosas: por un
lado, hallar las causas mecánicas de los fenómenos, es decir, como
vimos, explicarlos; permite también, en segundo lugar, predecir
fenómenos no explorados, pues, conociendo la causa, podemos inferir el
efecto; por último, da lugar a aplicaciones útiles para la vida.
5. Conclusiones
Cuando decimos que la matemática se aplica al estudio de la
naturaleza, solemos pensar una apelación a los recursos técnicos que
tiene la matemática para establecer cuantificaciones acerca de fenómenos
empíricos. En este trabajo mostramos que la manera en la que Leibniz
concibe la aplicación de la matemática a la física parece ser ante todo
la posibilidad de dar explicaciones correspondientes a fenómenos
empíricos por medio de conceptos matemáticos. Una vez más: no decimos
con esto que Leibniz no haya tenido la intención de hacer un uso de la
matemática en la física que, por ejemplo, permita la cuantificación.
Decimos solamente que esto es para Leibniz de algún modo secundario,
posibilitado por el hecho de que con los conceptos matemáticos podemos
describir la estructura materialmente “real” a partir de la cual
resultan las cualidades confusas. Por ejemplo, al margen de que Leibniz
haya hecho o dicho esto, podríamos cuantificar el grado de dispersión
refractiva de la luz, desde el que menos se desvía (el rojo) al que más
lo hace (el violeta). Ciertamente allí estaríamos aplicando la
matemática al estudio de la naturaleza en algún sentido. Sin embargo,
tal aplicación, para Leibniz, habría comenzado antes, una vez que
explicamos conceptualmente la causa del color a partir del hecho de que,
a la sensación de un color, siempre la acompaña un rayo refractado. Del
mismo modo, podemos usar un termómetro de mercurio para cuantificar la
temperatura, para lo cual necesitamos primero saber que al calor lo
acompaña siempre la dilatación de este metal.
Una consecuencia que se sigue de este examen y que vale la pena poner
de relieve es que las explicaciones que tienen lugar gracias a la
aplicación de la matemática describen algo que es “real”, es decir,
extramental, aunque sea material. En este trabajo no abordamos las
concepciones metafísicas de Leibniz relativas, por ejemplo, a lo que
constituye la realidad en un sentido sustancial. No es eso, en cualquier
caso, lo que la matemática nos permite explicar, pues todo lo que sea
relativo a la unidad sustancial y en general a la sustancia no es
fenoménico. No por ello, sin embargo, las explicaciones mecánicas
provistas implican dar cuenta de fenómenos en un sentido subjetivo, es
decir, de representaciones en un sujeto. Si bien no es un tema que
directamente competa a este trabajo, obsérvese que el sentido de
“fenómeno” que subyace a la intención de explicar mecánicamente los
“fenómenos de la naturaleza” no es un sentido psíquico o epistémico,
sino más bien, en principio, el sentido físico más bien clásico que se
encuentra, por ejemplo, en la astronomía. La consideración de las
cualidades acompañantes explica el mecanismo que causa la
sensación, es decir, lo que no puede ser explicado por lo sentidos: “en
efecto, los sentidos no nos muestran mediante qué mecanismos invisibles
se produce ese estado del cuerpo, que efectúa la sensación de lo cálido
en nosotros”. La sensación, en este ejemplo, de calor, “(…) se entenderá
suficientemente solo cuando fuera explicado en qué consiste o qué es su
causa próxima y recíproca”. Dicha causa, el
mecanismo, es de algún modo “real”, es decir, externo y ajeno a la
sensación producida en el sujeto. Hay, en consecuencia, una concepción
realista de Leibniz relativa al mecanismo, sin que esto entre en
conflicto con el hecho de que el ámbito empírico sea metafísicamente
fenoménico.
6. Agradecimientos:
Trabajo realizado en el marco del proyecto PIBAACONICET
28720210100086CO: “La idealidad de la matemática y las explicaciones de
la naturaleza en Leibniz (1675-1686)”.
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